资源简介

5．1　导数的概念及其意义
5．1.1变化率问题
[新课程标准]
1．借助物理背景了解平均速度与瞬时速度．
2．借助几何背景了解曲线的割线与切线，并会求切线方程．
3．体会极限思想，培养学生数学抽象、数学运算的核心素养．　
(一)教材梳理填空
1．瞬时速度的定义
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
2．瞬时速度的计算公式
把当＝中Δt无限趋近于0时，＝的极限，记为 ，为物体在t s时的瞬时速度．
3．抛物线的切线的斜率
(1)切线的概念
如图，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线在点P0处的切线．
(2)斜率的计算公式
当Δx无限趋近于0时，k＝的极限，记为 .
(二)基本知能小试
1．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为(　　)
A．6＋Δt B．6＋Δt＋
C．3＋Δt D．9＋Δt
答案：A
2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为(　　)
A．6 B．18
C．54 D．81
解析：选B　∵s(t)＝3t2，t0＝3，
∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32
＝18Δt＋3(Δt)2.
∴ ＝(18＋3Δt)＝18，故应选B.
3．抛物线f(x)＝3x2＋1在点(2,13)处的切线方程为________．
解析：切线的斜率为 ＝12＋3Δx＝12，
∵切线过点(2,13)，
∴所求切线方程为y－13＝12(x－2)，
即12x－y－11＝0.
答案：12x－y－11＝0
题型一　运动物体的平均速度
[学透用活]
[典例1]　已知s(t)＝5t2.
(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；
(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度．
[解]　(1)＝＝＝＝30.5 (m/s)．
(2)＝＝＝＝30.05 (m/s)．
求平均速度的一般步骤
(1)先计算对应值的改变量f(x2)－f(x1)；
(2)再计算自变量的改变量x2－x1；
(3)求平均速度.　　
[对点练清]
1．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为(　　)
A．0.41 B．3 C．4 D．4.1
解析：选D　＝＝4.1.
2.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为(　　)
A．v2＝v3＜v1 B．v1＜v2＝v3
C．v1＜v2＜v3 D．v2＜v3＜v1
解析：选C　由题意得，v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC，由题图易知kOA＜kAB＜kBC，∴v1＜v2＜v3，故选C.
题型二　求瞬时速度
[学透用活]
[典例2]　已知质点M做直线运动，且位移(单位：cm)随时间(单位：s)变化的函数为s＝2t2＋3.
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求平均速度；
(2)求质点M在t＝2时的瞬时速度．
[解]　＝＝＝4t＋2Δt.
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)．
(2)当t＝2时，瞬时速度v＝＝(4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝8(cm/s)．
即质点M在t＝2时的瞬时速度为8 cm/s.
设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下．
(1)写出时间改变量Δt，位移改变量Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))；
(2)求平均速度：＝；
(3)求瞬时速度v：当Δt→0时，→v(常数)．　　
[对点练清]
一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)．
(1)求该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；
(2)求该质点在t＝1时的瞬时速度．
解：(1)该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为＝
＝(－6－3Δt)(m/s)．
(2)由(1)知，当Δt趋近于0时，趋近于－6，
所以该质点在t＝1时的瞬时速度为－6 m/s.
题型三　抛物线的切线
[学透用活]
[典例3]　已知函数f(x)＝x2，x0＝－2.
(1)分别令Δx＝2,1,0.5，求f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的相应割线的斜率，并画出过点(x0，f(x0))的相应割线；
(2)求函数f(x)＝x2在x＝x0处的切线的斜率，并画出曲线f(x)＝x2在点(－2,4)处的切线．
[解]　(1)当Δx＝2,1,0.5时，区间[x0，x0＋Δx]相应为[－2,0]，[－2，－1]，[－2，－1.5]．
函数f(x)＝x2在这些区间上相应割线的斜率分别为
＝＝－2，
＝＝－3，
＝＝－3.5.
其相应割线如图(1)所示，分别是过点(－2,4)和点(0,0)的直线l1，过点(－2,4)和点(－1,1)的直线l2，过点(－2,4)和点(－1.5,2.25)的直线l3.
(2)f(x)＝x2在区间[－2，－2＋Δx]上割线的斜率为＝＝－4＋Δx.
当Δx趋近于0时，函数f(x)＝x2在区间[－2，－2＋Δx]上割线的斜率趋近于－4，
所以函数f(x)＝x2在x＝x0处的切线斜率k0＝－4.
曲线f(x)＝x2在点(－2,4)处的切线为直线l，如图(2)．
求曲线的切线方程，首先求割线的斜率，然后利用极限思想得切线的斜率，最后由切点在切线上求曲线切线方程．　　
[对点练清]
1．求曲线f(x)＝x2＋1在点P处的切线的斜率以及切线方程．
解：由已知可得，切线的斜率为
k＝
＝
＝
＝＝1.
故切线方程为y－＝x－1，即y＝x＋.
2．已知函数f(x)＝－x2＋x图象上两点A(2，f(2))，B(2＋Δx，f(2＋Δx))(Δx>0)．
(1)若割线AB的斜率不大于－1，求Δx的范围；
(2)求函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的方程．
解：(1)由题意得，割线AB的斜率为
＝
＝
＝＝－3－Δx，
由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2，
又因为Δx>0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞)．
(2)由(1)知函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的斜率为
k＝＝(－3－Δx)＝－3，
又f(2)＝－22＋2＝－2，
所以切线的方程为y－(－2)＝－3(x－2)，
即3x＋y－4＝0.
[课堂思维激活]　
一、应用性——强调学以致用
1．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(　　)
A．2 B．1 C．－1 D．6
解析：选B　由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1，故选B.
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2.某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)＝H3(H为常数)，其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为′ m3/h，观察图象可知瞬时融化速度等于 m3/h的时刻是(　　)
A．t1 B．t2 C．t3 D．t4
解析：选C　如图所示，平均融化速度实际上是点A与点B连线的斜率k；瞬时融化速度实际上是曲线V(t)在某时刻的切线斜率．通过对比，曲线在t3时刻的切线斜率与k相等，故瞬时融化速度等于 m3/h的时刻是t3.
[课下过关检测]　
1．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么Δt趋于0时，为(　　)
A．从t时刻到t＋Δt时刻物体的平均速度
B．在t 时刻物体的瞬时速度
C．当时间为Δt时物体的速度
D．在时间t＋Δt时物体的瞬时速度
解析：选B　中Δt趋于0时得到的数值是物体在t时刻的瞬时速度．
2．某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1,1＋d]上的平均速度为(　　)
A．2d＋4 B．－2d＋4
C．2d－4 D．－2d－4
解析：选D　平均速度为＝－4－2d.故选D.
3．一根金属棒的质量y(单位：kg)关于长度x(单位：m)的函数关系式为f(x)＝3，则从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是(　　)
A. kg/m B． kg/m
C. kg/m D． kg/m
解析：选B　从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是＝＝(kg/m)．
4．曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　)
A．1 B．
C．－ D．－1
解析：选A　切线的斜率为＝2a.
又∵切线的斜率为2，∴a＝1.
5．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)＝t＋t3，则该物体在时间间隔内的平均加速度为________．
解析：平均加速度＝＝.
答案：
6．过曲线y＝x2上两点A(2,4)和B(2＋Δx,4＋Δy)作割线，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为________．
解析：因为kAB＝＝＝＝Δx＋4，所以当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为4.1.
答案：4.1
7．曲线y＝－3x2＋2x＋1在点(－2，－15)处的切线方程为________．
解析：由
＝(－3Δx＋14)＝14，可得所求切线方程为y＋15＝14(x＋2)，即14x－y＋13＝0.
答案：14x－y＋13＝0
8．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(s表示位移大小，单位：m；t表示时间，单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度大小为8 m/s，则常数a为________．
解析：因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝4a＋aΔt.当t＝2时，瞬时速度大小为li ＝4a，可得4a＝8，所以a＝2.
答案：2
9．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
解：(1)初速度v0＝
＝ ＝ (3－Δt)＝3，
即物体的初速度为3 m/s.
(2)v＝
＝
＝ ＝ (－Δt－1)＝－1，即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反．
(3)＝＝＝1，
即t＝0 s到t＝2 s时的平均速度为1 m/s.
10．若一物体的运动方程如下：(位移s的单位：m，时间t的单位：s)s＝
求：(1)物体在[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
解：(1)因为物体在[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
所以物体在[3,5]内的平均速度为＝＝24 m/s.
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为＝
＝
＝3Δt－18，
所以物体在t＝0处的瞬时速度为＝(3Δt－18)＝－18.
即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度，即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
因为＝
＝
＝3Δt－12，
所以函数在t＝1时的瞬时变化率为＝(3Δt－12)＝－12.
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
1．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析：选A　因为点(0，b)在切线x－y＋1＝0上，所以b＝1.又＝＝a，由切线方程x－y＋1＝0知斜率k＝1，故a＝1.
2．物体的运动方程为S＝(位移单位：m；时间单位：s)，求物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度．
解：物体在[1,1＋Δt]内的平均速度为
＝
＝＝
＝(m/s)，
即物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度为 m/s.
3．已知某化学物质在溶液中反应时的浓度随时间变化而变化(温度不变)，下表记录了某温度下该化学物质在溶液中反应时不同时刻t的浓度C(t).
t 0 2 4 6 8
C(t) 0.080 0 0.057 0 0.040 8 0.029 5 0.021 0
试根据上表求下列时间段内的平均反应速率：
(1)2≤t≤6；(2)2≤t≤4；(3)0≤t≤2.
解：(1)＝＝0.006 875.
(2)＝＝0.008 1.
(3)＝＝0.011 5.

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