资源简介

5．2　导数的运算
5.2.2　导数的四则运算法则
[新课程标准]
1．能利用导数的四则运算法则求简单函数的导数．
2．会使用导数公式表．
3．通过对导数的运算法则的学习，培养学生数学运算的核心素养．　
(一)教材梳理填空
　导数的四则运算法则
(1)条件：f(x)，g(x)是可导的．
(2)法则：①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
③′＝(g(x)≠0)．
④[cf(x)]′＝cf′(x)．
[微提醒]
(1)导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．
(2)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)·…·w(x)]′＝u′(x)v(x)·…·w(x)＋u(x)v′(x)·…·w(x)＋…＋u(x)v(x)·…·w′(x)．
(3)①注意′≠.
②(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，＝，′＝－.
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　　)
(2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(　　)
(3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
2．函数y＝sin x·cos x的导数是(　　)
A．y′＝cos 2x＋sin 2x B．y′＝cos 2x
C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x
答案：B
3．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为(　　)
A．1 B．
C．－1 D．0
解析：选A　∵f(x)＝ax2＋c，
∴f′(x)＝2ax.
又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
题型一　利用导数的四则运算法则求导
[学透用活]
[典例1]　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x2ln x；(2)y＝；
(3)y＝2x3＋log3x；(4)y＝x－sincos.
[解]　(1)f′(x)＝(x2ln x)′＝(x2)′ln x＋x2(ln x)′＝2xln x＋x.
(2)法一：y′＝′＝＝.
法二：∵y＝＝1－，
∴y′＝′＝′
＝－＝.
(3)y′＝(2x3＋log3x)′＝(2x3)′＋(log3x)′＝6x2＋.
(4)∵y＝x－sincos＝x－sin x，
∴y′＝′＝1－cos x.
(1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．
(2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化．　　
[对点练清]
求下列函数的导数：
(1)y＝x3－x2－x＋3；
(2)y＝＋.
解：(1)y′＝(x3－x2－x＋3)′＝(x3)′－(x2)′－x′＋3′＝3x2－2x－1.
(2)法一：因为y＝2x－2＋3x－3，
所以y′＝(2x－2＋3x－3)′＝(2x－2)′＋(3x－3)′＝－4x－3－9x－4＝－－.
法二：y′＝′＝′＋′
＝＋＝－－.
题型二　导数运算法则的简单应用
[学透用活]
[典例2]　设f(x)＝a·ex＋bln x，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值．
[解]　f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋，
由f′(1)＝e，f′(－1)＝，得
解得所以a，b的值分别为1,0.
利用导数值求解参数问题是高考的热点问题．它能比较全面地考查导数的应用，突出了导数的工具性作用．而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是解决此类问题的关键．　　
[对点练清]
1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)＝________.
解析：由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋.所以f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.
答案：－1
2．若函数f(x)＝在x＝c(c≠0)处的导数值与函数值互为相反数，求c的值．
解：∵f(x)＝，∴f(c)＝.
又f′(x)＝＝，∴f′(c)＝.
依题意知f(c)＋f′(c)＝0，∴＋＝0，
∴2c－1＝0，解得c＝.
题型三　与切线有关的综合问题
[学透用活]
[典例3]　已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[解]　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.
(2)法一：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16.
整理得，x＝－8，∴x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝.
又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，
∴＝3x＋1.
解得x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1.
∴或
即切点为(1，－14)或(－1，－18)．
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
[方法技巧]　关于函数的导数的应用及其解决方法
应用 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用
方法 先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用
[对点练清]
1．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　)
A．y＝x　　　　　　 B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
解析：选C　由题意可知y′＝＝，则曲线y＝在点处的切线斜率k＝y′|x＝1＝，所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝(x－1)，
即y＝x＋，故选C.
2.若曲线f(x)＝x3＋ax2＋x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围为(　　)
A.∪[1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[0，＋∞) D．
解析：选B　f′(x)＝x2＋2ax＋1，
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，
∴f′(x)＝0有解，即x2＋2ax＋1＝0有解，
∴Δ＝(2a)2－4≥0，
∴a≥1或a≤－1，
即a的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
[课堂思维激活]　
一、综合性——强调融会贯通
1．已知函数f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲线y＝f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y＝x垂直．求a的值和切线l的方程．
解：∵f(x)＝x3－2x2＋ax，
∴f′(x)＝x2－4x＋a.
由题意可知，方程f′(x)＝x2－4x＋a＝－1有两个相等的实根．
∴Δ＝16－4(a＋1)＝0，∴a＝3.
∴f′(x)＝x2－4x＋3＝－1.
化为x2－4x＋4＝0.解得切点横坐标为x＝2，
∴f(2)＝×8－2×4＋2×3＝.
∴切线l的方程为y－＝－(x－2)，
即3x＋3y－8＝0.
∴a＝3，切线l的方程为3x＋3y－8＝0.
二、应用性——强调学以致用
2．如果某导体在t s时的电荷量为q C(库仑)，且q＝2t2＋3t，则该导体在时刻t的电流强度为q′A(安)，求第5 s与第7 s的电流强度，并求出什么时候电流强度达到43 A.
解：∵q′＝4t＋3，
∴q′|t＝5＝4×5＋3＝23，
q′|t＝7＝4×7＋3＝31.
令q′＝4t＋3＝43，
解得t＝10.
故第5 s与第7 s的电流强度分别为23安，31安，且t＝10 s时电流强度达到43 A.
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是(　　)
A．f(x)＝sin x－cos x B．f(x)＝ln x－2x
C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝xex
解析：选AD　对于A，f′(x)＝cos x＋sin x，
f″(x)＝－sin x＋cos x，当x∈时，f″(x)>0，
故f(x)＝sin x－cos x不是凸函数；
对于B，f′(x)＝－2，f″(x)＝－<0，
故f(x)＝ln x－2x是凸函数；
对于C，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x，
当x∈时，f″(x)<0，故f(x)＝－x3＋2x－1是凸函数；
对于D，f′(x)＝(x＋1)ex，f″(x)＝(x＋2)ex，
当x∈时，f″(x)>0，故f(x)＝xex不是凸函数．故选A、D.
[课下过关检测]　
1．函数y＝x2sin x导数为(　　)
A．y′＝2x＋cos x B．y′＝x2cos x
C．y′＝2xcos x D．y′＝2xsin x＋x2cos x
解析：选D　y′＝(x2sin x)′＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
2．已知函数f(x)＝xex＋ax，若f′(0)＝2，则实数a的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：选C　因为f(x)＝xex＋ax，所以f′(x)＝ex＋xex＋a，所以f′(0)＝e0＋a＝2，所以a＝1.故选C.
3．已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是(　　)
解析：选A　∵f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos x，
∴f′(x)＝x－sin x．易知f′(x)＝x－sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,D.由f′＝－<0，排除C，故选A.
4．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)
A．－ B． C．－ D．
解析：选B　y′＝
＝，把x＝代入得导数值为，即为所求切线的斜率．
5．曲线f(x)＝x＋x3在点处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为(　　)
A．3 B．2 C. D．
解析：选D　由题意知，f′(x)＝1＋x2，故切线的斜率k＝f′(1)＝2.又切线过点，∴切线方程为y－＝2(x－1)，即y＝2x－，切线和x轴、y轴交点为，.故所求三角形的面积为××＝.
6．运动物体的位移s＝3t2－2t＋1，则此物体在t＝10时的瞬时速度为________．
解析：∵t＝10时的瞬时速度即为t＝10时的导数值，s′＝6t－2.∴t＝10时，s′＝6×10－2＝58.
答案：58
7．点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且点P在第二象限内，已知曲线 C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
解析：∵y′＝3x2－10，设切点P(x0，y0)(x0<0，y0>0)，则曲线C在点P处切线的斜率k＝3x－10＝2，
∴x0＝－2.∴点P的坐标为(－2,15)．
答案：(－2,15)
8．求下列函数的导数．
(1)y＝(2x2＋3)(3x－2)；
(2)y＝；
(3)y＝2x－exlog2x.
解：(1)y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′
＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)
＝12x2－8x＋6x2＋9
＝18x2－8x＋9.
(2)y′＝′
＝
＝
＝.
(3)y′＝2xln 2－exlog2x－.
9．已知两曲线f(x)＝x3＋ax和g(x)＝x2＋bx＋c都经过点P(1,2)，且在点P处有公切线，试求a，b，c的值．
解：∵点P(1,2)在曲线f(x)＝x3＋ax上，
∴2＝1＋a，∴a＝1，
函数f(x)＝x3＋ax和g(x)＝x2＋bx＋c的导数分别为f′(x)＝3x2＋a和g′(x)＝2x＋b，且在点P处有公切线，
∴3×12＋a＝2×1＋b，得b＝2.
又由点P(1,2)在曲线g(x)＝x2＋bx＋c上可得2＝12＋2×1＋c，得c＝－1.
综上，a＝1，b＝2，c＝－1.
1．若曲线f(x)＝xsin x在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析：选D　由题可得f′(x)＝sin x＋xcos x，f′＝1.
∴曲线f(x)＝xsin x在x＝处的切线的斜率为1.
∵曲线f(x)＝xsin x在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，且直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，∴×1＝－1，解得a＝2.故选D.
2．若曲线f(x)＝xsin x－1在x＝π处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则(　　)
A．f′(x)＝sin x－xcos x B．f′(x)＝sin x＋xcos x
C．f′(π)＝－π D．a＝－
解析：选BCD　选项A，已知曲线f(x)＝xsin x－1，所以f′(x)＝sin x＋xcos x，故该选项错误；选项B，已知曲线f(x)＝xsin x－1，所以f′(x)＝sin x＋xcos x，故该选项正确；
选项C，因为f′(x)＝sin x＋xcos x，所以f′(π)＝sin π＋πcos π＝0－π＝－π，故该选项正确；
选项D，直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，而f′(π)＝－π，由已知，曲线f(x)＝xsin x－1在x＝π处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，所以－·(－π)＝－1，所以a＝－，该选项正确．
3．[多选]已知曲线y＝f(x)在(0,0)处的切线与曲线y＝xf(x)在(2,6)处的切线重合，则(　　)
A．f(2)＝3
B．f′(2)＝3
C．f′(0)＝3
D．曲线y＝f(x)在(2,3)处的切线方程为
解析：选ACD　由题意可得f(0)＝0，曲线y＝f(x)在(0,0)处的切线方程为y＝f′(0)x.令g(x)＝xf(x)，则g(2)＝2f(2)＝6，即f(2)＝3，A正确．g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，曲线y＝xf(x)在(2,6)处的切线方程为y＝[f(2)＋2f′(2)](x－2)＋6，即y＝[f(2)＋2f′(2)]x－2[f(2)＋2f′(2)]＋6，所以解得f(2)＋2f′(2)＝f′(0)＝3,2f′(2)＝0，B错误，C正确．曲线y＝f(x)在(2,3)处的切线方程为y＝3，D正确．故选A,C,D.
4．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
解：(1)∵y′＝2x＋1，∴直线l1的斜率为2×1＋1＝3.
由直线的点斜式方程可得直线l1的方程为y＝3x－3.
设直线l2与曲线y＝x2＋x－2切于点B(b，b2＋b－2)，
则曲线在点B处的切线的斜率为2b＋1.
∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－，即b＝－，
∴B，
故直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组得
∴直线l1和l2的交点坐标为.
又l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)，，
故所求三角形的面积为S＝××＝.
5．已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)．
(1)求f(1)＋f′(1)；
(2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，
由f(x)＝ax2＋ln x，得f′(x)＝2ax＋，
所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为当x＞0时，导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，
即f′(x)＝0 2ax＋＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a＜0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．

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