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5．2　导数的运算
5．2.3　简单复合函数的导数
[新课程标准]
1．了解复合函数的复合过程．
2．能利用复合函数的求导法则求简单函数的导数．
3．通过复合函数导数的运算，培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养．　
(一)教材梳理填空
1．复合函数的定义
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
2．复合函数的导数
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[微思考]
函数y＝log2(x2－3x＋5)是由哪些函数复合而成的？
提示：y＝log2(x2－3x＋5)是由y＝log2u，u＝x2－3x＋5复合而成．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.(　　)
(2)若f(x)＝sin(x＋1)，则f′(x)＝cos x．(　　)
答案：(1)×　(2)×
2．下列所给函数为复合函数的是(　　)
A．y＝ln(x－2)　　　 B．y＝ln x＋x－2
C．y＝(x－2)ln x D．y＝
解析：选A　函数y＝ln(x－2)是由函数y＝ln u和u＝φ(x)＝x－2复合而成的，而B、C、D中的函数分别为函数y＝ln x与函数φ(x)＝x－2的加、乘、商的形式，不符合复合函数的定义，选A.
3．设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝________.
解析：因为f′(x)＝－－2sin 2x，所以f′(0)＝－.
答案：－
题型一　求复合函数的导数
[学透用活]
(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．
(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y′＝(ax＋b)′·f′(ax＋b)＝a·f′(ax＋b)．
[典例1]　求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝esin(ax＋b)；
(3)y＝sin2；
(4)y＝5log2(2x＋1)．
(2)设y＝eu，u＝sin v，v＝ax＋b，
则yx′＝yu′·uv′·vx′＝eu·cos v·a
＝acos(ax＋b)·esin(ax＋b)．
(3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋，
则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2
＝4sin vcos v＝2sin 2v＝2sin.
(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，
则y′＝5(log2u)′·(2x＋1)′
＝＝.
[方法技巧]　求复合函数的导数的步骤
[对点练清]
1．函数y＝cos(2x2＋x)的导数y′＝________.
解析：∵y＝cos(2x2＋x)，∴y′＝－sin(2x2＋x)·(4x＋1)＝－(4x＋1)sin(2x2＋x)．
答案：－(4x＋1)sin(2x2＋x)
2．函数y＝ln 的导数y′＝________.
解析：y′＝′
＝·′
＝··
＝·＝.
答案：
题型二　与复合函数有关的切线问题
[学透用活]
[典例2]　已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f′(x)是f(x)的导函数，且a＝f′，求过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程．
[解]　由f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，
得f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，
则a＝f′＝3－2sin＋2cos＝1.
又b＝a3，∴b＝1，∴点P的坐标为(1,1)．
由y＝x3，得y′＝3x2.
当P点为切点时，切线的斜率k＝3×12＝3，
∴曲线y＝x3上以点P为切点的切线方程
为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
当P点不是切点时，设切点坐标为(x0，x)，
此时切线的斜率k′＝3x，
∴切线方程为y－x＝3x(x－x0)．
将P(1,1)代入切线方程，
得1－x＝3x(1－x0)，
∴2x－3x＋1＝0，∴2x－2x－x＋1＝0，
∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
解得x0＝－(x0＝1舍去)，
∴切点坐标为，
又切线的斜率为3×2＝，
∴切线方程为y＋＝，
即3x－4y＋1＝0.
综上，满足题意的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.
有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在求有关切线的问题中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义、导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．　　
[对点练清]
1．已知函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x－e1－x，则曲线y＝f(x)在x＝－处的切线方程为(　　)
A．y－e2＋1＝0
B．y＋1＝0
C．(e2－1)x－y＋e2－2＝0
D．2x＋y＋3＝0
解析：选D　因为f(x)为偶函数，设x<0，则－x>0，所以f(x)＝f(－x)＝ln(－x)－e1＋x，所以f(－1)＝－1.因为当x<0时，f′(x)＝－e1＋x，所以f′(－1)＝－2，所以曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为y＋1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋3＝0.
2．(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝__________.
解析：由y＝ex＋x，得y′＝ex＋1，y′|x＝0＝e0＋1＝2，
故曲线y＝ex＋x在(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1.
由y＝ln(x＋1)＋a，得y′＝，
设切线与曲线y＝ln(x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln(x0＋1)＋a)，
由两曲线有公切线得y′＝＝2，解得x0＝－，则切点为，
切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2，
根据两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2.
答案：ln 2
题型三　导数在实际问题中的应用
[学透用活]
[典例3]　某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则在时刻t＝40 min的降雨强度为(　　)
A．20 mm/min　　　　　　 B．400 mm/min
C. mm/min D. mm/min
[解析]　由f(t)＝，
得f′(t)＝·(10t)′＝，
所以f′(40)＝＝.
[答案]D
将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数，反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．　　
[对点练清]
一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化满足关系：x＝4＋16e－2t.
(1)求汽水温度x在t＝1处的导数；
(2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系x＝y－32.写出y关于t的函数解析式，并求y关于t的函数的导数．
解：x′＝－32e－2t.
(1)当t＝1时，x′＝－.
(2)y＝(x＋32)＝(16e－2t＋36)，
y′＝e－2t×(－2)＝－e－2t.
[课堂思维激活]　
一、综合性——强调融会贯通
1．设函数f(x)＝cos(x＋φ)，其中常数φ满足－π＜φ＜0.若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)(其中f′(x)是函数f(x)的导数)是偶函数，求φ的值．
解：由题意得g(x)＝f(x)＋f′(x)＝cos (x＋φ)－sin(x＋φ)＝2cos.
因为函数g(x)为偶函数，
所以φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z.
又－π＜φ＜0，所以φ＝－.
二、应用性——强调学以致用
2．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，求t＝60时，铯137的含量．
解：M′(t)＝－ln 2×，
[课下过关检测]　
1．函数y＝exsin 2x的导数为(　　)
A．y′＝2excos 2x
B．y′＝ex(sin 2x＋2cos 2x)
C．y′＝2ex(sin 2x＋cos 2x)
D．y′＝ex(2sin 2x＋cos 2x)
解析：选B　由题意结合导数的运算法则可得y′＝(ex)′·sin 2x＋ex·(sin 2x)′＝ex(sin 2x＋2cos 2x)．故选B.
2．[多选]已知f(x)＝sin4x＋cos4x，则下列结论中正确的是(　　)
A．f′(x)＝sin 4x B．f′(x)＝－sin 4x
C．f′＝ D．f′＝－
解析：选BD　因为f(x)＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－sin22x＝cos 4x＋，所以f′(x)＝－sin 4x·(4x)′＝－sin 4x，故A错误，B正确；
f′＝－sin＝－，故C错误，D正确．
3．设a∈R，函数f(x)＝ex＋ae－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数，则a的值为(　　)
A．1 B．－
C. D．－1
解析：选A　f′(x)＝ex－ae－x，由奇函数的性质可得f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1.
4．若f(x)＝a－2＋asin 2x为奇函数，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为(　　)
A．－2 B．－4
C．2 D．4
解析：选D　∵f(x)是奇函数，∴a－2＝0，得a＝2，
∴f(x)＝2sin 2x，f′(x)＝4cos 2x，∴f′(0)＝4.
∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为4.故选D.
5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
解析：选B　设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0.又y′＝，所以y′x＝x0＝＝1，即x0＋a＝1.又y0＝ln(x0＋a)，所以y0＝0，则x0＝－1，所以a＝2.
6．已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，则f′＝________.
解析：∵f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，∴f′＝1.
答案：1
7．若f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为________．
解析：∵f(x)＝(ax2－1)，
∴f′(x)＝(ax2－1)·(ax2－1)′＝ .
又f′(1)＝2，∴＝2，
∴a＝2.
答案：2
8．函数y＝2cos2x在x＝处的切线斜率为________．
解析：由函数y＝2cos2x＝1＋cos 2x，得y′＝(1＋cos 2x)′＝－2sin 2x，所以函数在x＝处的切线斜率为－2sin＝－1.
答案：－1
9．求下列函数的导数：
(1)y＝sin(2x－1)；(2)y＝x·e2x＋1.
解：(1)∵y＝sin(2x－1)由y＝sin u与u＝2x－1复合而成，∴yx′＝(sin u)′·(2x－1)′＝2cos u＝2cos(2x－1)．
(2)y′＝(x·e2x＋1)′＝x′·e2x＋1＋x·(e2x＋1)′
＝e2x＋1＋x·e2x＋1·(2x＋1)′＝e2x＋1(1＋2x)．
10．求曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离．
解：设直线l与曲线y＝ln(2x－1)相切于点P(x0，y0)，且与直线2x－y＋3＝0平行．由直线l的斜率k＝＝2，得x0＝1，所以P(1,0)，因此直线l的方程为2x－y－2＝0.直线l与直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 .
1．设f0(x)＝sin 2x＋cos 2x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f1＋n(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 020(x)＝(　　)
A．22 020(cos 2x－sin 2x) B．22 020(－sin 2x－cos 2x)
C．22 020(sin 2x＋cos 2x) D．22 020(－cos 2x＋sin 2x)
解析：选C　∵f0(x)＝sin 2x＋cos 2x，
∴f1(x)＝f′0(x)＝2(cos 2x－sin 2x)，
f2(x)＝f′1(x)＝22(－sin 2x－cos 2x)，
f3(x)＝f′2(x)＝23(－cos 2x＋sin 2x)，
f4(x)＝f′3(x)＝24(sin 2x＋cos 2x)，
通过以上可以看出fn(x)满足以下规律：
对任意n∈N，fn＋4(x)＝24fn(x)．
故f2 020(x)＝f505×4(x)＝22 020(sin 2x＋cos 2x)．
2．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P(t)＝，其中P0为t＝0时该放射性同位素的含量．已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为(　　)
A．20天 B．30天
C．45天 D．60天
解析：选D　由P(t)＝得P′(t)＝－·P0·ln 2，
因为t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，
3．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.
解析：函数y＝ln x＋2的导函数为y′＝，函数y＝ln(x＋1)的导函数为y′＝.
设曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln(x＋1)上的切点横坐标分别为m，n，
则该直线方程可以写成y＝·(x－m)＋ln m＋2，也可以写成y＝(x－n)＋ln(n＋1)．
整理后对比得
解得
因此b＝1－ln 2.
答案：1－ln 2
4．某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．
解：函数y＝s(t)＝3sin是由函数f(z)＝3sin z和函数z＝φ(t)＝t＋复合而成的，其中z是中间变量．
由导数公式表可得f′(z)＝3cos z，φ′(t)＝.再由复合函数求导法则得y′t＝s′(t)＝f′(z)φ′(t)＝3cos z·＝cos.
将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝cos＝.
它表示当t＝18时，潮水的高度上升速度为 m/h.
5．求曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积．
解：依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′x＝0＝－2e－2×0＝－2.
所以曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x，即y＝－2x＋2.
在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，
因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)．
结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×＝.
　　　　　
高频考点一|求切线方程
[例1]　(1)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为(　　)
A．y＝3x＋3 B．y＝3x＋1
C．y＝－3x－1 D．y＝－3x－3
(2)(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A.　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.
[解析]　(1)易得a＝(－1)3＋1＝0，故切点为(－1,0)，又y′＝3x2，所以y′|x＝－1＝3，所以切线方程为y＝3(x＋1)＝3x＋3，故选A.
(2)因为f′(x)＝，
所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0,1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A.
[答案]　(1)A　(2)A
求曲线的切线方程，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.　　
[集训冲关]
1.已知函数f(x)＝，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为(　　)
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
解析：选B　∵f(x)＝，∴f′(x)＝，∴f′(0)＝－1，f(0)＝1，即函数f(x)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1，∴函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x＋1，即x＋y－1＝0.故选B.
2．(2022·新课标Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________.
解析：先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，则由y′＝，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以＝，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，所以切线斜率为，切线方程为y＝x.同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x.综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x.
答案：y＝x　y＝－x
高频考点二|求切点坐标
[例2]　已知函数f(x)＝xln x在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为________．
[解析]　∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，由题意得f′(x0)·(－1)＝－1，即f′(x0)＝1，∴ln x0＋1＝1，ln x0＝0，∴x0＝1，∴f(x0)＝0，即P(1,0)．
[答案]　(1,0)
求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标．　　
[集训冲关]
[多选]若曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标可能为(　　)
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(－2，－3) D．(1，－3)
解析：选AB　f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选A、B.
高频考点三|两曲线的公切线问题
[例3]　已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________．
[解析]　由f(x)＝x3＋ax＋，
得f′(x)＝3x2＋a.
∵f′(0)＝a，f(0)＝，
∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax.
设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，g′(x)＝－，
∴
将②代入①得ln x0＝，
[答案]　
解决两曲线的公切线问题的两种方法
(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解．
(2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝.　　
[集训冲关]
1．若一直线与曲线y＝eln x和曲线y＝mx2相切于同一点P，则实数m＝________.
解析：曲线y＝eln x的导数为y′＝，曲线y＝mx2的导数为y′＝2mx.由＝2mx，且x>0，得x＝ ，所以y＝m2＝.所以切点坐标为，代入y＝eln x得eln ＝，解得m＝.
答案：
2．曲线y＝a－ln x在点(1，a)处的切线与曲线y＝－ex相切，则a＝________.
解析：由y＝a－ln x求导得y′＝－，
所以曲线y＝a－ln x在点(1，a)处的切线方程为y－a＝－(x－1)，即y＝－x＋a＋1.
设y＝－x＋a＋1与y＝－ex相切于点(x0，－ex0)，由y＝－ex求导得y′＝－ex，所以－ex0＝－1，
所以x0＝0，即切点为(0，－1)．它在切线y＝－x＋a＋1上，所以a＋1＝－1，所以a＝－2.
答案：－2
高频考点四|根据切线的性质求参数
[例4]　已知函数f(x)＝(x＋a)ln x，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0平行，求a的值．
[解]　由题意知，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2.
因为f′(x)＝ln x＋＋1，
所以f′(1)＝ln 1＋a＋1＝a＋1＝2，a＝1.
一般已知曲线上一点P(x0，y0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直)，确定该切线的斜率k，再求出函数的导函数，然后利用导数的几何意义得到k＝f′(x0)＝tan α，其中倾斜角α∈[0，π)，根据范围进一步求得角α或有关参数的值．　　
[集训冲关]
1．已知函数f(x)＝ex＋ax－1的图象与x轴相切，则a＝(　　)
A．－1 B．0 C. D．1
解析：选A　设切点为(m,0)，由f(x)＝ex＋ax－1
得f′(x)＝ex＋a，
所以f′(m)＝em＋a，
由题意可得所以em＝.
因为函数y＝ex与y＝的图象交点只有一个且在y轴上，即交点的横坐标为0，
所以解em＝得m＝0，所以a＝－em＝－1.
2．若函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选B　直线2x－y＝0的斜率为2，且f′(x)＝＋a(x>0)，令＋a＝2得a＝2－.因为x>0，则>0，所以a<2，故选B.
3．(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________________________________________________________．
解析：因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)ex0＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)
　　　　　
一、选择题
1．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
解析：选A　因为y＝1－＝，
所以y′＝＝，y′x＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线的斜率为2，所以所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
2．[多选]已知函数f(x)在x＝1处的导数为－，则f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝－x2＋ln x
B．f(x)＝xex
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝＋
解析：选AD　对于A，f′(x)＝－x＋，f′(1)＝－1＋＝－，故A满足题意．对于B，f′(x)＝ex＋xex，f′(1)＝2e，故B不满足题意．对于C，f′(x)＝2cos，f′(1)≠－，故C不满足题意．对于D，f′(1)＝－＋，f′(1)＝－1＋＝－，故D满足题意．故选AD.
3．已知函数f(x)＝xln x＋a的图象在点(1，f(1))处的切线经过原点，则实数a的值为(　　)
A．1 B．0
C. D．－1
解析：选A　∵f(x)＝xln x＋a，∴f′(x)＝ln x＋1，
∴f′(1)＝1，f(1)＝a，∴切线方程为y＝x－1＋a，
∴0＝0－1＋a，解得a＝1，故选A.
4．若点P是函数y＝ex－e－x－3x图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　由导数的几何意义，k＝y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立．
即tan α≥－1，α∈[0，π)．
又－≤x≤，tan α＝k<0，
所以α的最小值是，故选B.
5．若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：选D　f′(x)＝＋2ax＝(x>0)．根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．
6．[多选]过点P(a,0)作曲线y＝xex的切线，若切线有且仅有两条，则实数a的值可以是(　　)
A．2 B．0
C．－4 D．－6
解析：选AD　由题意，函数y＝xex，可得y′＝(x＋1)ex
设切点为(x0，x0ex0)，则y′|x＝x0＝(x0＋1)ex0，
民以切线方程为：y－x0ex0＝(x0＋1)ex0(x－x0)，
切线过点P(a,0)，代入得－x0ex0＝(x0＋1)ex0(a－x0)，即方程x－ax0－a＝0有两个不同解，则有Δ＝a2＋4a>0，解得a>0或a<－4.
二、填空题
7．若曲线f(x)＝acos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝________.
解析：依题意得，f′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b，f′(0)＝g′(0)，即－asin 0＝2×0＋b，得b＝0.又m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1.
答案：1
8．若曲线y＝ln(x＋a)的一条切线为y＝ex＋b，其中a，b为正实数，则a＋的取值范围为________．
解析：由y＝ln(x＋a)，得y′＝.
设切点为(x0，y0)，则有 b＝ae－2.
∵b>0，∴a>，
∴a＋＝a＋≥2，当且仅当a＝1时等号成立．
答案：[2，＋∞)
9．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．
解析：y′＝ex，则曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为1，又曲线y＝(x>0)上点P处的切线与曲线y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，所以曲线y＝(x>0)在点P处的切线的斜率为－1.设P(a，b)，则曲线y＝(x>0)上点P处的切线的斜率为y′x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y＝上，所以b＝1，故P(1,1)．
答案：(1,1)
三、解答题
10．已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，求a，b的值．
解：f′(x)＝－.
因为直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
所以f(1)＝1，f′(1)＝－，
即b＝1，－b＝－，
解得a＝1，b＝1.
11．已知函数f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．
解：f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，
设两曲线的交点为P(x0，y0)，
则解得a＝，x0＝e2，
所以两条曲线交点的坐标为(e2，e)．
切线的斜率为k＝f′(e2)＝，
所以切线的方程为y－e＝(x－e2)，
即x－2ey＋e2＝0.
12．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，
所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，
又f′(1)＝2a，则3＋2a＋b＝2a，
解得b＝－3.
令x＝2得f′(2)＝12＋4a＋b，
又f′(2)＝－b，
所以12＋4a＋b＝－b，
解得a＝－.
则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又f′(1)＝2×＝－3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.

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