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5.4一次函数的图象与性质
【知识点1】一次函数的性质 1
【知识点2】一次函数图象与系数的关系 2
【知识点3】一次函数的图象 2
【题型1】用图象信息求一次函数表达式 3
【题型2】一次函数与几何变换 5
【题型3】利用一次函数的性质求字母的值或字母的取值范围 6
【题型4】一次函数的增减性 7
【题型5】利用一次函数的性质识别一次函数的图象 8
【题型6】判断点是否在一次函数图象上 9
【题型7】利用一次函数的图象和性质比较大小 9
【题型8】一次函数图象与系数的关系 11
【知识点1】一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
1.（2025春 重庆校级期末）直线l1：y=kx+b满足式子有意义，则l1与l2：y=bx-（k+b）在同一平面直角坐标系中的图象是（　　）
A． B． C． D．
2.（2025春 长沙期末）已知一次函数y=-2x+2的图象上有两点A（-2，y1），B（3，y2），则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
3.（2025春 献县期末）点A（1，y1），B（-2，y2）都在一次函数y=-x+c的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．无法确定
【知识点2】一次函数图象与系数的关系
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y=kx+b的图象在二、三、四象限．
1.（2024春 南关区校级期末）若函数y=（2a-1）x+（a-1）的图象经过第一、三、四象限，则a的取值范围是（　　）
A． B．a＞1 C． D．
2.（2025 越秀区校级二模）若二次函数y=x2-2x-m的图象与x轴没有交点，则一次函数y=（m+1）x+（m-1）的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.（2025 望城区一模）若一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则（　　）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
【知识点3】一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-，0）或（1，k+b）作直线y=kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
1.（2024秋 雁塔区校级期中）已知点P（k,b）在第四象限，则直线y=kx+b的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
2.（2025春 花都区期末）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=x+k的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
3.（2024春 鼓楼区校级期中）若k＞0，b＜0，则函数y=kx+b的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【题型1】用图象信息求一次函数表达式
【典型例题】已知一次函数y＝kx+b的图象如图，则当0≤y＜3时，x的取值范围是（　　）
A. x＜0 B. 0≤x＜2 C. 0＜x≤2 D. x＞2
【举一反三1】已知一次函数y＝kx+b的图象如图，则下列结论正确的是（　　）
A. k＝﹣，b＝2 B. k＝﹣，b＝﹣2 C. k＝，b＝﹣2 D. k＝，b＝2
【举一反三2】一次函数y＝kx+b的图象如图，则其函数表达式为（　　）
A. y＝﹣x+2 B. y＝﹣x+2 C. y＝x+2 D. y＝x+2
【举一反三3】若已知一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象（如图），且它们的交点C的坐标为（1，3），那么不等式kx+b≥k1x+b1的解集是 　 　．
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点A（6，﹣3）和点B（﹣2，5）．
（1）求这个一次函数的表达式．
（2）判断点C（﹣1，4）是否在该函数图象上．
【题型2】一次函数与几何变换
【典型例题】在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝﹣3x﹣2平移后，得到直线l2：y＝﹣3x+4，则下列平移的做法正确的是（　　）
A. 将l1向下平移6个单位 B. 将l1向下平移2个单位 C. 将l1向右平移6个单位 D. 将l1向右平移2个单位
【举一反三1】如图，A（1，0）.B（3，0）.M（4，3），动点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向右移动，且过点P的直线y＝﹣x+b也随之平移，设移动时间为t秒，若直线与线段BM有公共点，则t的取值范围为（　　）
A. 3≤t≤7 B. 3≤t≤6 C. 2≤t≤6 D. 2≤t≤5
【举一反三2】在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣3x向上平移4个单位长度，平移后的直线所对应的函数表达式为 　 　．
【举一反三3】如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，3），点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，将直线AB沿y轴方向向下平移a个单位长度得到的直线l恰好经过点D．若OD＝2，则a的值为 　 　．
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b相交于点A，点A的横坐标为3，直线l2交y轴于点B，且OA＝OB．
（1）试求直线l2的函数表达式；
（2）若将直线l1沿着x轴向左平移3个单位，交y轴于点C，交直线l2于点D．试求△BCD的面积．
【题型3】利用一次函数的性质求字母的值或字母的取值范围
【典型例题】当1≤x≤10时，一次函数y＝﹣3x+b的最大值为18，则b＝（　　）
A. 48 B. 15 C. 21 D. 25
【举一反三1】已知y＝kx﹣3在1≤x≤7的范围内最大值为11，则k的值是（　　）
A. 2 B. 7 C. 14 D. 2或14
【举一反三2】已知函数y＝（m﹣2）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是（　　）
A. m＜2 B. m＞2 C. m＜0 D. m＞0
【举一反三3】若函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，那么当0＜y≤1时，x的取值范围是 　 　．
【举一反三4】一次函数y＝（2a+4）x﹣（3﹣a），当a为何值时：
（1）图象过原点？
（2）图象与y轴交点在x轴下方？
（3）图象不经过第二象限？
【举一反三5】画出函数y＝﹣2x+2的图象，结合图象回答下列问题：
（1）这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？
（2）当x取何值时，y＝0？
（3）当x取何值时，y＜0？
【题型4】一次函数的增减性
【典型例题】下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　）
A.y＝﹣x+1 B.y＝2x+1 C.y＝2x﹣4 D.y＝3x
【举一反三1】下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（　　）
A.y＝3x+1 B.y＝2x﹣3 C.y＝﹣2x﹣1 D.
【举一反三2】下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　）
A.y＝3+5x B.y＝2x﹣4 C.y＝4﹣3x D.y＝x+3
【举一反三3】（1）一次函数y＝5x+4的图经过　 　象限，y随x的增大而　 　，它的图象与x轴，y轴的交点坐标分别为　 　；
（2）函数y＝（k﹣1）x+2，当k＞1时，y随x的增大而　 　，当k＜1时，y随x的增大而　 　．
【举一反三4】对于函数，若x1＜x2，则y1　 　y2．
【举一反三5】画出函数y＝﹣x+2的图象，结合图象回答下列问题．
（1）在这个函数中，随着x的增大，y是增大还是减小？
（2）当x取何值时，y＝0？
（3）当x取何值时，y＜0？
【举一反三6】画出函数y＝﹣2x+2的图象，结合图象回答下列问题：
（1）这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？
（2）当x取何值时，y＝0？
（3）当x取何值时，y＞0？
【题型5】利用一次函数的性质识别一次函数的图象
【典型例题】已知一次函数y＝kx+1，y随着x的增大而减小，则在直角坐标系内它的大致图象是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】若直线y＝kx+b经过一、二、三象限，则直线y＝﹣bx﹣k的图象是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】直线y＝kx﹣b经过一、二、三象限，则直线y＝bx+k的图象可能是图中的（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而减小，且kb＜0，则该函数图象大致是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三4】已知一次函数y＝ax﹣1（a≠0）的函数值y随x值的增大而增大，则一次函数y＝﹣ax+2（a≠0）的图象大致是（　　）
A. B. C. D.
【题型6】判断点是否在一次函数图象上
【典型例题】在平面直角坐标系中，有四个点A（2，5），B（1，3），C（3，1），D（﹣2，﹣3），其中不在同一个一次函数图象上的是（　　）
A.点A B.点B C.点C D.点D
【举一反三1】已知y是x的一次函数．下表列出了x、y的几组对应值：
根据表格判断下列四个点中，在此一次函数图象上的是（　　）
A.（﹣2，3） B.（﹣3，0） C.（2，10） D.（5，15）
【举一反三2】已知一次函数的图象过（2，3），（0，﹣5）两点，则点（1，﹣1）　 　（填“在”或“不在”）此一次函数的图象上．
【举一反三3】（1）画出函数y＝﹣x的图象；
（2）判断点A（，），B（0，0），C（，）是否在函数y＝﹣x的图象上．
【题型7】利用一次函数的图象和性质比较大小
【典型例题】已知一次函数的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（　　）
A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1＝y2 D.不能比较
【举一反三1】若点A（2，y1），B（3，y2）都在一次函数y＝﹣x+3图象上，则y1与y2的大小关系是（　　）
A.y1＜y2 B.y1＝y2 C.y1＞y2 D.无法比较大小
【举一反三2】若一次函数y＝x+4的图象上有两点，B（1，y2），则下列说法正确的是（　　）
A.y1＞y2 B.y1＝y2 C.y1＜y2 D.无法比较y1与y2的大小
【举一反三3】一次函数y＝﹣3x+b图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，则y1，y2的大小关系是（　　）
A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1＝y2 D.无法比较y1，y2的大小
【举一反三4】若点（3，y1），（2，y2）都在一次函数yx+2（k＞0）的图象上，则y1、y2的大小关系是（　　）
A.y1＜y2 B.y1＝y2 C.y1＞y2 D.不能比较
【举一反三5】一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣4，y1）和B（﹣1，y2），且已知k＞0，则比较大小：y1　　y2（选择“＜”，“＞”，“≤”，“≥”，“＝”其中之一填空）．
【举一反三6】若A（x1，y1），B（x2，y2）是如图所示一次函数的图象上的两个点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是 　 　．
【举一反三7】若A（x1，y1），B（x2，y2）是如图所示一次函数的图象上的两个点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是 　 　．
【举一反三8】一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象和性质：
（1）函数的图象是一条 　 　；
（2）当k＞0时，y随x的增大而 　 　；当 k＜0 时，y 随x的增大而 　 　．
【题型8】一次函数图象与系数的关系
【典型例题】已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（　　）
A. k＞0，b＞0 B. k＞0，b＜0 C. k＜0，b＞0 D. k＜0，b＜0
【举一反三1】已知一次函数y＝（k﹣2）x+b的图象经过一、三、四象限，则k的取值范围是（　　）
A. k≥2 B. k≤2 C. k＞2 D. k＜2
【举一反三2】若一次函数y＝kx+k﹣1的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（　　）
A. k＜0 B. k＜1 C. k＞1 D. 0＜k＜1
【举一反三3】已知一次函数y＝mx+1的图象经过第一、二、四象限，则m的值可以是 　 　．（写出一个即可）
【举一反三4】已知一次函数y＝（4+2m）x+m﹣4，求：
（1）m为何值时，y随着x的增大而减小？
（2）m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？
（3）m为何值时，图象经过第一、三、四象限？
【举一反三5】已知一次函数y＝（2a﹣4）x+（3﹣b）（a，b是常数）．
（1）若该一次函数为正比例函数，求a的取值范围和b的值；
（2）若y随x的值增大而减小且不经过第一象限，求a，b的取值范围．5.4一次函数的图象与性质
【知识点1】一次函数的性质 1
【知识点2】一次函数图象与系数的关系 3
【知识点3】一次函数的图象 4
【题型1】用图象信息求一次函数表达式 6
【题型2】一次函数与几何变换 9
【题型3】利用一次函数的性质求字母的值或字母的取值范围 12
【题型4】一次函数的增减性 15
【题型5】利用一次函数的性质识别一次函数的图象 17
【题型6】判断点是否在一次函数图象上 20
【题型7】利用一次函数的图象和性质比较大小 21
【题型8】一次函数图象与系数的关系 25
【知识点1】一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
1.（2025春 重庆校级期末）直线l1：y=kx+b满足式子有意义，则l1与l2：y=bx-（k+b）在同一平面直角坐标系中的图象是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据k、b的正负一一判断即可；
【解答】解：根据k、b的正负逐项分析判断如下：
根据二次根式有意义的条件确定k+b的取值范围，被开方数k+b≥0，
∴-（k+b）≤0，
∴直线l2：y=bx-（k+b）的图象与y轴交于负半轴或原点；故选项A错误；
选项B和D中
∵直线l2：y=bx-（k+b）的图象可以看出直线从左到右上升，y随x的增大而增大，
∴b＞0，
∴直线l1：y=kx+b的图象与y轴交于正半轴，
而当k+b≥0时，b＞0，
∴k可为正也可为负；
若k为正时，k+b的绝对值大于b的绝对值，
故选项D正确；
若k为负时，k+b的绝对值小于b的绝对值，
∴选项B错误；
选项C中，
∵直线l2的图象可以看出直线从左到右下降，y随x的增大而减小，
∴b＜0，
而当k+b≥0时，b＜0，
∴k＞0，
∴直线l1经过一、三、四象限，故选项C错误；
故选：D．
2.（2025春 长沙期末）已知一次函数y=-2x+2的图象上有两点A（-2，y1），B（3，y2），则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
【答案】C
【分析】由k=-2＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合-2＜3，即可得出y1＞y2．
【解答】解：∵k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵一次函数y=-2x+2的图象上有两点A（-2，y1），B（3，y2），且-2＜3，
∴y1＞y2．
故选：C．
3.（2025春 献县期末）点A（1，y1），B（-2，y2）都在一次函数y=-x+c的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．无法确定
【答案】C
【分析】由k=-1＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合1＞-2，即可得出y1＜y2．
【解答】解：∵k=-1＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（1，y1），B（-2，y2）都在一次函数y=-x+c的图象上，且1＞-2，
∴y1＜y2．
故选：C．
【知识点2】一次函数图象与系数的关系
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y=kx+b的图象在二、三、四象限．
1.（2024春 南关区校级期末）若函数y=（2a-1）x+（a-1）的图象经过第一、三、四象限，则a的取值范围是（　　）
A． B．a＞1 C． D．
【答案】C
【分析】利用一次函数图象与系数的关系可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y=（2a-1）x+（a-1）的图象经过第一、三、四象限，
∴，
解得，
故选：C．
2.（2025 越秀区校级二模）若二次函数y=x2-2x-m的图象与x轴没有交点，则一次函数y=（m+1）x+（m-1）的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】二次函数y=x2-2x-m的图象与x轴没有交点，则一元二次方程y=x2-2x-m=0的判别式小于0，从而求得m的取值范围．然后推知（m+1）、（m-1）的符号．根据它们的符号来确定该一次函数所经过的象限．
【解答】解：∵二次函数y=x2-2x-m的图象与x轴没有交点，
∴△=（-2）2-4×1×（-m）＜0，
解得 m＜-1，
∴m+1＜0，m-1＜-2＜0，
∴一次函数y=（m+1）x+（m-1）的图象第二、三、四象限，即不经过第一象限．
故选：A．
3.（2025 望城区一模）若一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则（　　）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质和一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，可以得到k、b的正负情况，从而可以解答本题．
【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
故选：D．
【知识点3】一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-，0）或（1，k+b）作直线y=kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
1.（2024秋 雁塔区校级期中）已知点P（k,b）在第四象限，则直线y=kx+b的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点P（k,b）在第四象限，可知k＞0，b＜0，然后即可得到直线y=kx+b的图象经过哪几个象限．
【解答】解：∵点P（k,b）在第四象限，
∴k＞0，b＜0，
∴直线y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，
故选：B．
2.（2025春 花都区期末）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=x+k的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵b=k＞0，
∴一次函数y=x+k的图象经过一、二、三象限，
故选：A．
3.（2024春 鼓楼区校级期中）若k＞0，b＜0，则函数y=kx+b的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据一次函数图象与系数的关系判断即可．
【解答】解：∵k＞0，b＜0，
∴y=kx+b的图象在一、三、四象限，
故选B．
【题型1】用图象信息求一次函数表达式
【典型例题】已知一次函数y＝kx+b的图象如图，则当0≤y＜3时，x的取值范围是（　　）
A. x＜0 B. 0≤x＜2 C. 0＜x≤2 D. x＞2
【答案】C
【解析】由图象以及数据可知，当0≤y＜3时，即直线在x轴上方，y轴的右侧，并且当y＝0时，x＝2，所以x的取值范围是0＜x≤2．
故选：C．
【举一反三1】已知一次函数y＝kx+b的图象如图，则下列结论正确的是（　　）
A. k＝﹣，b＝2 B. k＝﹣，b＝﹣2 C. k＝，b＝﹣2 D. k＝，b＝2
【答案】D
【解析】从图象可知：一次函数y＝kx+b的图象过点（﹣3，0），（0，2），
把（﹣3，0），（0，2）代入y＝kx+b得：，
解得
故选：D．
【举一反三2】一次函数y＝kx+b的图象如图，则其函数表达式为（　　）
A. y＝﹣x+2 B. y＝﹣x+2 C. y＝x+2 D. y＝x+2
【答案】B
【解析】由图象可知一次函数y＝kx+b的图象经过点（3，0），（0，2），
把点（3，0），（0，2）代入得，
解得，
∴其函数表达式为y＝﹣x+2，
故选：B．
【举一反三3】若已知一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象（如图），且它们的交点C的坐标为（1，3），那么不等式kx+b≥k1x+b1的解集是 　 　．
【答案】x≤1
【解析】两个条直线的交点坐标为（1，3），
当x＜1时，
直线y＝kx+b在直线y＝k1x+b1的上方，
故不等式kx+b≥k1x+b1的解集为x≤1．
故答案为：x≤1．
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点A（6，﹣3）和点B（﹣2，5）．
（1）求这个一次函数的表达式．
（2）判断点C（﹣1，4）是否在该函数图象上．
【答案】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
把A（6，﹣3）与B（﹣2，5）代入得：，
解得：，
则一次函数解析式为y＝﹣x+3；
（2）把x＝﹣1代入一次函数解析式得：y＝1+3＝4，
则点C在该函数图象上．
【题型2】一次函数与几何变换
【典型例题】在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝﹣3x﹣2平移后，得到直线l2：y＝﹣3x+4，则下列平移的做法正确的是（　　）
A. 将l1向下平移6个单位 B. 将l1向下平移2个单位 C. 将l1向右平移6个单位 D. 将l1向右平移2个单位
【答案】D
【解析】∵将直线l1：y＝﹣3x﹣2平移后得到直线l2：y＝﹣3x+4，
∴﹣3（x+a）﹣2＝﹣3x+4，
解得：a＝﹣2，
故将l1向右平移2个单位长度．
故选：D．
【举一反三1】如图，A（1，0）.B（3，0）.M（4，3），动点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向右移动，且过点P的直线y＝﹣x+b也随之平移，设移动时间为t秒，若直线与线段BM有公共点，则t的取值范围为（　　）
A. 3≤t≤7 B. 3≤t≤6 C. 2≤t≤6 D. 2≤t≤5
【答案】C
【解析】当直线y＝﹣x+b过点B（3，0）时，
0＝﹣3+b，
解得：b＝3，
0＝﹣（1+t）+3，
解得t＝2．
当直线y＝﹣x+b过点M（4，3）时，
3＝﹣4+b，
解得：b＝7，
0＝﹣（1+t）+7，
解得t＝6．
故若l与线段BM有公共点，t的取值范围是：2≤t≤6，
故选：C．
【举一反三2】在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣3x向上平移4个单位长度，平移后的直线所对应的函数表达式为 　 　．
【答案】y＝﹣3x+4
【解析】将直线y＝﹣3x向上平移4个单位长度，所得的函数解析式为y＝﹣3x+4．
故答案为：y＝﹣3x+4．
【举一反三3】如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，3），点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，将直线AB沿y轴方向向下平移a个单位长度得到的直线l恰好经过点D．若OD＝2，则a的值为 　 　．
【答案】4
【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝ +3，
将直线AB沿y轴方向向下平移a个单位长度得到的直线l为y＝，
将点D（2，0）代入得，0＝，
解得：a＝4，
故答案为：4．
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b相交于点A，点A的横坐标为3，直线l2交y轴于点B，且OA＝OB．
（1）试求直线l2的函数表达式；
（2）若将直线l1沿着x轴向左平移3个单位，交y轴于点C，交直线l2于点D．试求△BCD的面积．
【答案】解：（1）根据题意，点A的横坐标为3，代入直线l1：y＝中，
得点A的纵坐标为4，即点A（3，4）；
即OA＝5，又|OA|＝|OB|．
即OB＝10，且点B位于y轴上，
即得B（0，﹣10）；
将A.B两点坐标代入直线l2中，得4＝3k+b；
﹣10＝b；
解之得，k＝，b＝﹣10；
即直线l2的解析式为y＝x﹣10；
（2）根据题意，平移后的直线l1的直线方程为y＝；
即点C的坐标为（0，4）；
联立直线l2的直线方程，解得x＝，y＝，
即点D（，）；
又点B（0，﹣10），如图所示：
故△BCD的面积S＝．
【题型3】利用一次函数的性质求字母的值或字母的取值范围
【典型例题】当1≤x≤10时，一次函数y＝﹣3x+b的最大值为18，则b＝（　　）
A. 48 B. 15 C. 21 D. 25
【答案】C
【解析】一次函数y＝﹣3x+b，
∵﹣3＜0，
∴当x＝1时，函数值最大，
由题意可知：﹣3×1+b＝18，
解得：B＝21．
故选：C．
【举一反三1】已知y＝kx﹣3在1≤x≤7的范围内最大值为11，则k的值是（　　）
A. 2 B. 7 C. 14 D. 2或14
【答案】A
【解析】①当k＞0时，y随x的增大而增大，
∵y＝kx﹣3在1≤x≤7的范围内最大值为11，
∴当x＝7时，y取最大值11，即7k﹣3＝11，
解得k＝2＞0，符合题意；
②当k＜0时，y随x的增大而减小，
∵y＝kx﹣3在1≤x≤7的范围内最大值为11，
∴当x＝1时，y取最大值11，即k﹣3＝11，
解得k＝14＞0，不符合题意；
综上所述，k的值是2．
故选：A．
【举一反三2】已知函数y＝（m﹣2）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是（　　）
A. m＜2 B. m＞2 C. m＜0 D. m＞0
【答案】B
【解析】∵当x1＞x2时，有y1＞y2，
∴y随x的增大而增大，
∴k＝m﹣2＞0，
解得：m＞2，
∴m的取值范围为m＞2．
故选：B．
【举一反三3】若函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，那么当0＜y≤1时，x的取值范围是 　 　．
【答案】0≤x＜2
【解析】由图可知：当0＜y≤1时，x的取值范围是0≤x＜2，
故答案为：0≤x＜2．
【举一反三4】一次函数y＝（2a+4）x﹣（3﹣a），当a为何值时：
（1）图象过原点？
（2）图象与y轴交点在x轴下方？
（3）图象不经过第二象限？
【答案】解：（1）∵一次函数图象经过原点，
∴，
∴，
∴a＝3．
（2）∵一次函数图象与y轴交点在x轴下方，
∴，
∴a＜3且a≠﹣2；
（3）∵一次函数图象不经过第二象限，
∴，
∴﹣2＜a≤3．
【举一反三5】画出函数y＝﹣2x+2的图象，结合图象回答下列问题：
（1）这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？
（2）当x取何值时，y＝0？
（3）当x取何值时，y＜0？
【答案】解 函数y＝﹣2x+2的图象为：
（1）由图象知：这个函数中，随着x的增大，y将减小，图象从左向右下降．
（2）由图象知：当x＝1时，y＝0．
（3）由图象知：当x＞1时，y＜0．
【题型4】一次函数的增减性
【典型例题】下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　）
A.y＝﹣x+1 B.y＝2x+1 C.y＝2x﹣4 D.y＝3x
【答案】A
【解析】A、∵一次函数y＝﹣x+1中，k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，符合题意；
B、∵一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，不符合题意；
C、∵一次函数y＝2x﹣4中，k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，不符合题意；
D、一次函数y＝3x中，k＝3＞0，
∴y随x的增大而增大，不符合题意，
故选：A．
【举一反三1】下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（　　）
A.y＝3x+1 B.y＝2x﹣3 C.y＝﹣2x﹣1 D.
【答案】C
【解析】A、函数y＝3x+1中，∵k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，不符合题意；
B、函数y＝2x﹣3中，∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，不符合题意；
C、函数y＝﹣2x﹣1中，∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，符合题意；
D、函数yx+1中，∵k0，∴y随x的增大而增大，不符合题意．
故选：C．
【举一反三2】下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　）
A.y＝3+5x B.y＝2x﹣4 C.y＝4﹣3x D.y＝x+3
【答案】C
【解析】A、一次函数y＝3+5x中，∵k＝5＞0，∴y随x的增大而增大，不符合题意；
B、一次函数y＝2x﹣4中，∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，不符合题意；
C、一次函数y＝4﹣3x中，∵k＝﹣3＜0，∴y随x的增大而减小，符合题意；
D、一次函数y＝x+3中，∵k＝1＞0，∴y随x的增大而增大，不符合题意．
故选：C．
【举一反三3】（1）一次函数y＝5x+4的图经过　 　象限，y随x的增大而　 　，它的图象与x轴，y轴的交点坐标分别为　 　；
（2）函数y＝（k﹣1）x+2，当k＞1时，y随x的增大而　 　，当k＜1时，y随x的增大而　 　．
【答案】第一，二，三象限，增大，（，0），（0，4）；增大，减小
【解析】（1）∵k＝5＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；b＝4＞0，图象经过第二象限；
∴一次函数y＝5x+4的图经过第一，二，三象限；
令y＝0，则x，图象与x轴的交点坐标为（，0）；
令x＝0，则y＝4，图象与y轴的交点坐标为（0，4）；
（2）当k＞1时，即k﹣1＞0，函数y＝（k﹣1）x+2，y随x的增大而增大；
当k＜1时，即k﹣1＜0，函数y＝（k﹣1）x+2，y随x的增大而减小．
故答案为：第一，二，三象限，增大，（，0），（0，4）；增大，减小．
【举一反三4】对于函数，若x1＜x2，则y1　 　y2．
【答案】＜
【解析】∵0，
∴y随x的增大而增大，
∵x1＜x2，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【举一反三5】画出函数y＝﹣x+2的图象，结合图象回答下列问题．
（1）在这个函数中，随着x的增大，y是增大还是减小？
（2）当x取何值时，y＝0？
（3）当x取何值时，y＜0？
【答案】解：（1）由于k＝﹣1，所以随着x的增大，y减小；
（2）根据图象可知：y＝0时，x＝2
（3）根据图象可知：y＜0
x的取值范围为：x＞2
【举一反三6】画出函数y＝﹣2x+2的图象，结合图象回答下列问题：
（1）这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？
（2）当x取何值时，y＝0？
（3）当x取何值时，y＞0？
【答案】解：函数y＝﹣2x+2的图象如图，
（1）由图象知：这个函数中，随着x的增大，y将减小，图象从左向右下降．
（2）由图象知：当x＝1时，y＝0．
（3）由图象知：当x＞1时，y＜0．
【题型5】利用一次函数的性质识别一次函数的图象
【典型例题】已知一次函数y＝kx+1，y随着x的增大而减小，则在直角坐标系内它的大致图象是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵一次函数y＝kx+1，y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
∴函数图象经过第一、二、四象限．
故选：A．
【举一反三1】若直线y＝kx+b经过一、二、三象限，则直线y＝﹣bx﹣k的图象是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵直线y＝kx+b经过一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，
∴﹣b＜0，﹣k＜0，
∴直线y＝﹣bx﹣k的图象经过第二、三、四象限，
故选：D．
【举一反三2】直线y＝kx﹣b经过一、二、三象限，则直线y＝bx+k的图象可能是图中的（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵直线y＝kx﹣b经过一、二、三象限，
∴k＞0，﹣b＞0，
∴b＜0，
∴直线y＝bx+k的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
【举一反三3】一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而减小，且kb＜0，则该函数图象大致是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
又∵kb＜0，
∴b＞0，
∴函数图象经过一、二、四象限．
故选：A．
【举一反三4】已知一次函数y＝ax﹣1（a≠0）的函数值y随x值的增大而增大，则一次函数y＝﹣ax+2（a≠0）的图象大致是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵一次函数y＝ax﹣1（a≠0）的函数值y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∴﹣a＜0，
∴函数y＝﹣ax+2的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
【题型6】判断点是否在一次函数图象上
【典型例题】在平面直角坐标系中，有四个点A（2，5），B（1，3），C（3，1），D（﹣2，﹣3），其中不在同一个一次函数图象上的是（　　）
A.点A B.点B C.点C D.点D
【答案】C
【解析】如图：
由图得，不在同一个一次函数图象上的是点C，
故选：C．
【举一反三1】已知y是x的一次函数．下表列出了x、y的几组对应值：
根据表格判断下列四个点中，在此一次函数图象上的是（　　）
A.（﹣2，3） B.（﹣3，0） C.（2，10） D.（5，15）
【答案】A
【解析】设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵由图可知，当x＝﹣1时，y＝5；当x＝0时，y＝7，
∴，解得，
∴此函数的解析式为y＝2x+7．
A、∵当x＝﹣2时，y＝2×（﹣2）+7＝3，∴此点在函数图象上，故本选项正确；
B、∵当x＝﹣3时，y＝2×（﹣3）+7＝1≠0，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
C、∵当x＝2时，y＝2×2+7＝11≠10，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
D、∵当x＝5时，y＝2×5+7＝17≠15，∴此点不在函数图象上，故本选项错误．
故选：A．
【举一反三2】已知一次函数的图象过（2，3），（0，﹣5）两点，则点（1，﹣1）　 　（填“在”或“不在”）此一次函数的图象上．
【答案】在
【解析】设一次函数解析式为：y＝kx+b，代入（2，3），（0，﹣5）可得：
，解得，
∴y＝4x﹣5，
当x＝1时，y＝4×1﹣5＝﹣1，
故答案为：在．
【举一反三3】（1）画出函数y＝﹣x的图象；
（2）判断点A（，），B（0，0），C（，）是否在函数y＝﹣x的图象上．
【答案】解：（1）图象如图：
（2）把x代入y＝﹣x，所以A在图象上；
把x＝0代入y＝﹣x＝0，所以B在图象上；
把x代入y＝﹣x，所以C在图象上．
【题型7】利用一次函数的图象和性质比较大小
【典型例题】已知一次函数的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（　　）
A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1＝y2 D.不能比较
【答案】A
【解析】∵正比例函数中，，
∴y随x增大而减小．
∵x1＜x2，
∴y1＞y2．
故选：A．
【举一反三1】若点A（2，y1），B（3，y2）都在一次函数y＝﹣x+3图象上，则y1与y2的大小关系是（　　）
A.y1＜y2 B.y1＝y2 C.y1＞y2 D.无法比较大小
【答案】C
【解析】∵点A（2，y1），B（3，y2）都在一次函数y＝﹣x+3图象上，
∴y1＝﹣2+3＝1，y2＝﹣3+3＝0，
∴y1＞y2，
故选：C．
【举一反三2】若一次函数y＝x+4的图象上有两点，B（1，y2），则下列说法正确的是（　　）
A.y1＞y2 B.y1＝y2 C.y1＜y2 D.无法比较y1与y2的大小
【答案】C
【解析】把A（，y1）、B（1，y2）分别代入y＝x+4得y14，y2＝1+4＝5，
所以y1＜y2．
故选：C．
【举一反三3】一次函数y＝﹣3x+b图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，则y1，y2的大小关系是（　　）
A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1＝y2 D.无法比较y1，y2的大小
【答案】A
【解析】∵k＝﹣3＜0，
∴y值随x值的增大而减小，
又∵x1＜x2，
∴y1＞y2．
故选：A．
【举一反三4】若点（3，y1），（2，y2）都在一次函数yx+2（k＞0）的图象上，则y1、y2的大小关系是（　　）
A.y1＜y2 B.y1＝y2 C.y1＞y2 D.不能比较
【答案】A
【解析】∵k＞0，
∴0，
∴y随x的增大而减小．
∵3＞2，
∴y1＜y2．
故选：A．
【举一反三5】一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣4，y1）和B（﹣1，y2），且已知k＞0，则比较大小：y1　　y2（选择“＜”，“＞”，“≤”，“≥”，“＝”其中之一填空）．
【答案】＜
【解析】∵k＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣4，y1）和B（﹣1，y2），且﹣4＜﹣1，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【举一反三6】若A（x1，y1），B（x2，y2）是如图所示一次函数的图象上的两个点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是 　 　．
【答案】y1＞y2
【解析】观察函数图象，可知：y随x的增大而减小，
∵A（x1，y1），B（x2，y2）是如图所示一次函数的图象上的两个点，且x1＜x2，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
【举一反三7】若A（x1，y1），B（x2，y2）是如图所示一次函数的图象上的两个点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是 　 　．
【答案】y1＞y2
【解析】观察函数图象，可知：y随x的增大而减小，
∵A（x1，y1），B（x2，y2）是如图所示一次函数的图象上的两个点，且x1＜x2，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
【举一反三8】一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象和性质：
（1）函数的图象是一条 　 　；
（2）当k＞0时，y随x的增大而 　 　；当 k＜0 时，y 随x的增大而 　 　．
【答案】（1）直线；
（2）增大；减小．
【解析】（1）一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象是一条直线；
故答案为：直线；
（2）对于次函数 y＝kx+b（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
故答案为：增大；减小．
【题型8】一次函数图象与系数的关系
【典型例题】已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（　　）
A. k＞0，b＞0 B. k＞0，b＜0 C. k＜0，b＞0 D. k＜0，b＜0
【答案】B
【解析】由图可知该一次函数图象经过第一、三、四象限，
则k＞0，b＜0．
故答案为B．
【举一反三1】已知一次函数y＝（k﹣2）x+b的图象经过一、三、四象限，则k的取值范围是（　　）
A. k≥2 B. k≤2 C. k＞2 D. k＜2
【答案】C
【解析】由一次函数y＝（k﹣2）x+b的图象经过第一、三、四象限，知
k﹣2＞0，
解得k＞2．
故选：C．
【举一反三2】若一次函数y＝kx+k﹣1的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（　　）
A. k＜0 B. k＜1 C. k＞1 D. 0＜k＜1
【答案】A
【解析】由一次函数y＝kx+k﹣1的图象经过第二、三、四象限，知：
，
解得k＜0．
故选：A．
【举一反三3】已知一次函数y＝mx+1的图象经过第一、二、四象限，则m的值可以是 　 　．（写出一个即可）
【答案】﹣2（答案不唯一）
【解析】∵一次函数y＝mx+1的图象经过第一、二、四象限，
∴m＜0，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
【举一反三4】已知一次函数y＝（4+2m）x+m﹣4，求：
（1）m为何值时，y随着x的增大而减小？
（2）m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？
（3）m为何值时，图象经过第一、三、四象限？
【答案】解 （1）依题意得：4+2m＜0，
解得m＜﹣2；
（2）依题意得：m﹣4＜0，4+2m≠0，
解得m＜4且m≠﹣2；
（3）依题意得： ，
解得﹣2＜m＜4．
【举一反三5】已知一次函数y＝（2a﹣4）x+（3﹣b）（a，b是常数）．
（1）若该一次函数为正比例函数，求a的取值范围和b的值；
（2）若y随x的值增大而减小且不经过第一象限，求a，b的取值范围．
【答案】解：（1）一次函数y＝（2a﹣4）x+（3﹣b）（a，b是常数），
该一次函数为正比例函数，则2a﹣4≠0，3﹣b＝0，
解得a≠2，b＝3；
（2）∵一次函数y＝（2a﹣4）x+（3﹣b）（a，b是常数）的图象y随x的值增大而减小且不经过第一象限，
∴2a﹣4＜0，3﹣b≤0，
∴a＜2，b≥3．

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