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北师大燕化附中2025-2026学年第一学期开学测试
高三年级数学试题
【说明】试卷满分150分考试时间120分钟
一 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把正确的答案涂在答题卡中相应的位置.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则（ ）
A. B. 0 C. D.
3. 已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点的初始位置坐标为，则运动到分钟时，动点所处位置的坐标是
A. B. C. D.
5. 已知向量满足与的夹角为，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）
A. 3.8小时 B. 4小时 C. 4.4小时 D. 5小时
7. 若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 函数在区间内只有一个极值点的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，某校数学兴趣小组为了测量某古塔的高度，在地面上共线的三点C，D，E处测得点A的仰角分别为，且，则古塔高度约为（ ）（结果保留整数）（参考数据：）
A. 69m B. 70m C. 73m D. 75m
10. 已知函数若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 填空题共5小题，每小题5分，共25分
11. 函数的定义域是______.
12. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则______.
13. 写出一个同时具有下列性质的函数的解析式：__________.
①不是常函数
②的最小正周期为2
③不存对称中心
14. 某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中是一个平面多边形，平面平面，平面平面，.若，则该多面体的体积为__________.
15. 已知函数给出下列四个结论：
①当时，的最小值为0；
②当时，存在最小值；
③当时，在上单调递增；
④的零点个数为，则函数的值域为.
其中所有正确结论的序号是______.
三 解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在三棱锥中，平面，．
（1）求证：平面PAB；
（2）求二面角的大小．
17. 已知函数，再从条件① 条件② 条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（1）单调递增区间；
（2）在区间的取值范围.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分
18. 在中，内角的对边分别为为钝角，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：
19. 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
（2）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在中的人数，求的分布列及数学期望；
（3）在（2）抽取3人中，用表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小.（直接写结果）
20. 已知函数在上可导，且．
（1）当时，求的最小值点；
（2）设函数在处的切线为，求证：恒过定点；
（3）若，且时，单调递减，试问当时，是否恒在直线下方？说明理由．
21. 已知正整数，若正整数集的子集同时满足
条件①：对任意，存在唯一，使得；
条件②：对任意整数，及任意，均存在，使得，则称为 “可表集合组”．
（1）若，则是否为“7可表集合组”？说明理由，
（2）若为 “可表集合组”，求最小值；
（3）若为“15可表集合组”，求的最大值．
北师大燕化附中2025-2026学年第一学期开学测试
高三年级数学试题
【说明】试卷满分150分考试时间120分钟
一 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把正确的答案涂在答题卡中相应的位置.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】C
二 填空题共5小题，每小题5分，共25分
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】（不唯一）
【14题答案】
【答案】60
【15题答案】
【答案】①④
三 解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】选①，（1）单调递增区间，（2）；选②，（1）单调递增区间为，（2）；（3）选③，（1）单调递增区间为，（2）.
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，；
（3）.
【20题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）是，理由见解析
【21题答案】
【答案】（1）不是“7可表集合组”，理由见解析
（2）
（3）

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