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2025-2026学年辽宁省部分学校高二上学期 9月联考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 = 2 11i 的虚部为( )
A. 11i B. 2 C. 11 D. 11
2.在 2 2中，cos = 3 , = 4，则 外接圆的面积为( )
A. 36π B. 24π C. 48π D. 144π
3.已知向量 , 满足 = 2，且 , = 120°，则 在 上的投影的数量为( )
A. 3 B. 1 C. 3 D. 1
4 π 3π.已知 ∈ 2 , π ， ∈ π, 2 ，sin =
3
3 ，tan =
1
2，则 cos( ) =( )
A. 2 15 30 30+ 15 2 30 15 15 2 3015 B. 15 C. 15 D. 15
5.如图，水平放置的 的斜二测直观图为 ′ ′ ′，若 ′ ′ = ′ ′ = 2， ′ ′ = 2 2，则 =( )
A. 2 2
B. 4 3
C. 4 2
D. 2 3
6.若点 (4, 3) cos 2 3π tan π在角 的终边上，则 sin π =( )
A. 7 B. 7 720 20 C. 25 D.
7
25
7.若 2 + + 3 = 0， ， 分别表示 ， 的面积，则 : =( )
A. 3: 5 B. 2: 3 C. 1: 6 D. 1: 2
8.如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形 ，其中∠ = 60°， = 1， ⊥
， ⊥ ， = .现将 沿着 折起，连接 ，得到三棱锥 ，取 , 的中点分别为
, ，连接 , , .若∠ = 30°，则直线 与平面 所成的角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 1 = 5 8i， 2 = 9i，则( )
A. 2是纯虚数 B.
1
在复平面内对应的点位于第二象限2
C. 1 = 5 + 8i D. 2 = 81
10.下列关于向量的说法中，正确的是( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 = 0，则 ⊥
C.若 , 同向，则 + = + D.若 , 不共线，则 ≠
11.已知函数 ( ) = 2sin( + ) > 0, | | < π2 的最小正周期为 2π，且 ∈ , ( ) ≤
π
6 ，则( )
A. = 2
B. = π3
C. ( )在 0,2π 上恰有 4 个零点
D. ( ) 5π将 的图象向右平移 6 个单位长度后得到一个偶函数的图象
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.一扇形的圆心角为 30°，半径为 4，则弧长为 ，该扇形的面积为 ．
13.某圆台的上、下底面半径和高的比为 1: 4: 4，若母线长为 15，则该圆台的侧面积为 ．
14.如图，在圆 ( 为圆心)中，弦 的长度为 8，则 = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2π
已知函数 ( ) = sin 2 + 3 ．
(1)求曲线 = ( )的对称轴方程；
(2)求 ( )在 π , π2 4 上的值域．
16.(本小题 15 分)
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如图，在直三棱柱 1 1 1中， , 分别是 , 1的中点．
(1)证明： 1//平面 1 ．
(2)设 1 = = = 2 2， = 4．
①证明： ⊥平面 1 ．
②求点 到平面 1 的距离．
17.(本小题 15 分)
的内角 , , 的对边分别为 , , ，已知 sin cos + cos = 2 sin2 2．
(1)求 ．
(2)已知点 在线段 上，且 = = 2，sin∠ = 66 ．
①求 ；
②求 的面积．
18.(本小题 17 分)
如图，在 中， , 分别为边 , 上的点，且 : = : = 2: 1， 与 交于点 ，记 = ，
= ， = ， = ．
(1)求 和 的值，并用 , 表示 , ；
(2)若 = 1， = 2， , = π 3，求 与 夹角的余弦值．
19.(本小题 17 分)
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如图 1，在 中， = 2 2，∠ = 60°， 的垂直平分线 与 ， 分别交于点 ， ，且 = 3，
沿 将 折起至 的位置，得到四棱锥 ，如图 2．
(1)设 = 6．
①证明： ⊥ ．
②已知 = ，是否存在实数 ，使得 //平面 ？若存在，请求出 ；若不存在，请说明理由．
(2)若 与平面 所成的角为 60°，求二面角 的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2π/2 4π3 3 ；； 3
13.225π
14.32
15.解：(1)由函数 ( ) = sin 2 + 2π3 ，
令 2 + 2π = π3 2 + π, ∈ Z
π π
，得 = 12 + 2 , ∈ Z，
所以曲线 = ( ) π π的对称轴方程为 = 12 + 2 , ∈ Z．
(2) ∈ π π因为 2 , 4 ，可得 2 +
2π
3 ∈
π
3 ,
7π
6 ．
令 2 + 2π3 =
π 7π
，则 ∈ 3 , 6 ，
sin ∈ 3因为 2 , 1 ,
所以 ( )在 π π 32 , 4 上的值域为 2 , 1 ．
16.解：(1)证明：连接 1交 1 于点 ，连接 ，则 为 1的中点．
因为 是 的中点，所以 1// ．
因为 平面 1 ， 1 平面 1 ，所以 1//平面 1 ．
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(2)①因为 1 1 1是直三棱柱，所以 1 ⊥ ．
因为 = ， 为 的中点，所以 ⊥ ．
因为 1 ∩ = ， 1, 平面 1 1，所以 ⊥平面 1 1．
∵ 平面 1 1，∴ ⊥ ．
因为 = = 2 2， = 4，所以∠ = 90°，所以 = 2．
因为 1 = 2 2，所以 1 = 2 3， = 6， 1 = 3 2．
因为 21 + 2 = 21 ，所以 ⊥ 1 ．
因为 1 ∩ = ， 1 , 平面 1 ，所以 ⊥平面 1 ．
②在 1 中， 1 = 3 2， 1 = 4， = 10，
2 2 2
则 cos∠ = 4 + 10 3 2 101 2×4× 10 = 10 ．
因为 sin∠ 1 =
3 10 1
10 ，所以 = 2 × 4 × 10 ×
3 10
1 10 = 6．
设点 到平面 1 的距离为 ，
由①可知 ⊥平面 1 1，
所以三棱锥 1 的体积 =
1 1
3 1 = 3 1
∴ 1 × 13 2 × 2 3 × 6 × 2 =
1
3 × 6 .则 = 2，
即点 到平面 1 的距离为 2．
17.解：(1)因为 sin cos + cos = 2 sin2 2，

由正弦定理得，sin sin cos + sin cos = 2sin sin2 2．
所以 sin sin( + ) = 2sin 1 cos ，
因为 + + = , ∴ sin( + ) = sin( ) = sin > 0，
所以 sin = 1 cos ，即 sin + cos = 1，
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两边平方可得 2sin cos = 0，
所以 cos = 0 π， = 2．
(2) cos∠ = cos π① 2 ∠ = sin∠ =
6
6 ，
因为 = = 2，所以∠ = ∠ ，
cos = cos π ∠ ∠ = cos2∠ = 2cos2∠ + 1 = 23．
2 = 2 + 2 2 cos = 22 + 22 2 × 2 × 2 × 2 = 8在 中， 3 3，
所以 = 2 63 ．
2
②在 Rt 2 中，∵ cos = 3 , ∴ sin = 1
2 = 53 3 ，tan =
sin
cos =
5
2 ，
∴ = tan = 2 × 52 = 5．
= 1 2 sin∠ =
1 5 2 62 3 ·
6 5
6 = 3 ．
18.解：(1)因为 = ， = ， : = : = 2: 1，
→
则
→
= 1 3 =
1
3
， = 13 =
1
3 ( )，
所以 = = 1 ， = 3 +
= 13 +
2 3 ，
所以 = = 1 ， = 3
= 13 +
2
3
，
因为 = + = 2 3 +
= 2 3 +
1
3 +
2
3

= 1 23 3 +
2 2
3+ 3 ，
1 23 3 = =
6
所以 72 2 1 ，解得 4 ,
3+ 3 = 3 = 7
所以 = = 1 + = 1 5 3 7 7 ，
= + = + 1 3 =
1
7 +
2 7 ；
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(2)因为 = 1 π， = 2， , = 3，
2 2 2
所以 = 2 = 1， = = 4 π， = 1 × 2 × cos 3 = 1，
因为 = = 6 2 7 7 ，
= = 17 +
5
7
，
6 2 2所以 = 7
2
7
= 36 2 24 4 49 49 + 49 =
2 7
7 ．
2
1 2 = 7 +
5 = 1 2 10 25 917 49 49 + 49 = 7 ，

2
= 6 2 17 7 7 +
5 6 2 32
7 = 49 + 49
10 49
= 27．
2
因为 cos , = = 7 = 13 2 7 91 13 ，
7 × 7
所以 13与 夹角的余弦值为 13 ．
19.解：(1)①证明：如图，在 中，记 的中点为 ，连接 ．
由题意， 是 的中位线，
因为 = 2 2，∠ = 60°，所以 = 2，∠ = 120°，
在 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，
2 = 3 2即sin∠ sin120°，解得 sin∠ = 2 ．
因为∠ = 120°，且 > ，所以∠ = 45°．
因为 是 的垂直平分线，所以 是等腰直角三角形，所以 = = = 3．
在翻折后， ⊥ ， ⊥ ．
因 = 6，有 2 + 2 = 2，所以 是等腰直角三角形．
故 ⊥ ， ⊥ ， 与 相交于 ，且 , 平面 ，所以 ⊥平面 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ．
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②解：由①知在四棱锥 中， ， ， 两两垂直，
延长 至点 ，使得 = = 3，则∠ = 45°．
延长 至点 ，使得 = = 3，则∠ = 45°．
因为∠ = 135°，∠ = 45°，所以 // ，
不在平面 内， 平面 ，
所以 //平面 ，
因为∠ = 45°，∠ = 45°，所以 // ，
不在平面 内， 平面 ，
所以 //平面 ，
因为 与 相交于 ，且 , 平面 ，
所以平面 //平面 ．
因为 平面 ，所以 //平面 ．
此时 = ，即 = 1．
(2)
过 作 ⊥ 于 ，过 作 ⊥ ，交 于 ，连接 ．
则∠ 即为二面角 的平面角．
因为 ⊥ ， ⊥ ， 与 相交于 ，且 , 平面 .所以 ⊥平面 .又因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
所以 是直线 在平面 的投影，故∠ 即为 与平面 所成角，所以∠ = 60°．
因为 = = 3，所以 = 3．
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因为 = = 3， ⊥ 6，且 为 的中点，所以 = = 2 ．
因为 = = 6， = 3，故 cos∠ = 3 = 22 6 4 ．
在 中，∠ = 90°，cos∠ = 2 64 ， = 2 ，
42
所以 = 2 ， = 2 3．
在 中，∠ = 60°， = 2 3， = 3，所以 = 3．
在 中， = 3， = 62 ， =
42
2 ，
6 42
2+ 2 2 + 9 7
由余弦定理得 cos∠ = = 4 42 = ，2× 6× 42 72 2
7
即二面角 的余弦值为 7 ．
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