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安徽省池州市2025-2026学年 九年级上学期开学数学试题
一、单选题
1．若，则=（ ）
A．5 B．10 C．20 D．25
2．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．方程x2+2x﹣4＝0配方成(x+m)2＝n的形式后，则(　　)
A．m＝1，n＝5 B．m＝﹣1，n＝5 C．m＝2，n＝5 D．m＝﹣2，n＝3
4．在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格：
平均数 中位数 众数 方差
8.5 8.3 8.1 0.15
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
5．如图，菱形的对角线，交于点．若，，则菱形的周长是（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题中，是真命题的是 （ ）
A．方差越大，数据越稳定
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．矩形的对角线互相垂直
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
7．关于直线，下列说法正确的是（　　）
A．直线在轴上的截距是 B．直线经过第二、三、四象限
C．随的增大而增大 D．点在直线l上
8．某校“智慧数学教室”重新装修，如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为（ ）

A．14 B．12 C．11 D．10
9．如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图2所示，则图2中b的值为（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标为 ．
12．体育锻炼是增强体质有效的手段，小王一学期的体育平时成绩为90分，期中成绩为94分，期末成绩为95分，若学校规定平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按的比例确定最终成绩，则小王的最终成绩为 分．
13．若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是 ．
14．如图，矩形中，．是上一点，且．
（1） ；
（2）如图2，为上一点，于点于点，则 ．
三、解答题
15．计算：．
16．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点叫做格点．
(1)请你在图中以格点为顶点画一个，使其三边长分别为，，；
(2)请你仅用无刻度直尺作出的中点（保留作图痕迹，标注中点字母）．
17．已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点，连接DF，FG，EG，DE，求证：DF＝EG．
18．已知关于x的方程．
(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的两个实数根为，求代数式的值．
19．氯化钾的溶解度随温度的升高而增大，在条件下，氯化钾的溶解度与温度之间近似满足一次函数关系．王倩根据实验数据，画函数图象如下：
注：氯化钾的溶解度表示在一定温度下，氯化钾在水里达到饱和状态时所溶解的氯化钾质量．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当温度是时，在水中加入氯化钾，充分搅拌，是否能完全溶解？请说明理由．
20．为了迎接中考体育考试，某校体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别．第1组：180≤x≤200；第2组：160≤x<180；第3组：140≤x<160；第4组：120≤x<140；第5组：0≤x<120，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下：

a．男生成绩的第2组后4个数据依次为164，162，162，160．
b．男生测试成绩频数分布直方图如图1．
c．女生测试成绩扇形统计图如图2．
d．抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表：
性别 平均数 中位数 众数
男生 162.6 n 166
女生 162.6 159 164
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)m= ，n= ，并补全频数分布直方图；
(2)根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
(3)已知每分钟跳绳成绩达到160个，成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数．
21．嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：
等式①：；等式②：；
等式③：；等式④：______________；……
(1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整；
(2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；
(3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______．
22．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）
(1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________；
(2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长；
(3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长．
23．如图，在正方形中，点为对角线上一点，过点作交于点，连接，，．

(1)求证：；
(2)若，，求正方形的边长；
(3)当时，求的长．
参考答案
1．C
解：，
∴，
故选：C．
2．B
解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故选B．
3．A
【详解】x2+2x﹣4＝0，
x2+2x＝4，
x2+2x+1＝4+1，
（x+1）2＝5，
∴方程x2+2x﹣4＝0配方成（x+m）2＝n的形式后，m＝1，n＝5，
故选A．
4．D
【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选D．
5．D
【详解】∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴菱形的周长是，
故选：．
6．B
解：A、方差越大，数据波动越大，越不稳定，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，是真命题，符合题意；
C、矩形的对角线相等但不一定垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形也可能是等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
7．B
解：A、当时，，
∴直线在轴上的截距是，选项说法错误，不符合题意；
B、，直线经过第二、三、四象限正确，符合题意；
C、，随的增大而减小，选项说法错误，不符合题意；
D、当时，，点不在直线l上，选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
8．B
解：由图可知，2个正n边形的一个内角的度数加上一个正三角形的内角的度数为，
∴正n边形的一个内角的度数为，
∴正n边形的一个外角的度数为，
∴，
故选：B．
9．A
解：连接，，
∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
由勾股定理可得：，
故选：A．
10．C
解：由图②可知点P从点A运动到点B所用的时间为，
∵点P运动的速度为，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴， ， ，
∴点P从点B运动到点C所用的时间为：，
∴点P从点A运动到点C所用的时间为：，
∴；
分别过点B，C作的垂线于E，交的延长线于F，则，如图：
由图②可知：，
∴，
即：，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，， ，
由勾股定理的：，
∴点P从点C运动到点A所用的时间为：，
∴，
故选：C．
11．
解：根据题意，点的横坐标为：；纵坐标为；
∴点的坐标是．
故答案为：．
12．
解：小王的最终成绩为分，
故答案为：．
13．11
解：由题意得：，，，
∴，
∴，
故答案为：11．
14． 3 4
（1）设，
∵矩形，，
∴，，
在中，，
解得：，
故答案为：3．
（2）连接，
∵，，，
∴．
解得：，
故答案为：4．
15．
解：原式
．
16．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图，即为所求：
（2）解：如图，点M即为所求：
17．证明见解析．
解析：
证明：由题意得点E，D分别是AC，AB的中点，
∴ED是△ABC的中位线．
∴DEBC，DE= BC．
∵F，G分别是BO，CO的中点，
∴FG是△OBC的中位线．
∴FGBC，FG=BC，．
∴DEFG， DE=FG．
∴四边形EDFG是平行四边形．
∴DF＝EG．
18．(1)见解析
(2)0
（1）解：∵，
∴方程总有实数根；
（2）解：由根与系数的关系可得，，，
∴
．
19．(1)
(2)能完全溶解，见解析
（1）解：设y关于x的函数解析式为，
∵的图象过点与，
∴将两点的坐标代入函数解析式中得，
解得，
∴y关于x的函数解析式为．
（2）解：能完全溶解，理由如下：
当时，，
∵，
∴能完全溶解．
20．(1)20，162，频数分布直方图见解析
(2)见解析
(3)570人
（1）解：，
故，
，
故补全的频数分布直方图如下：

结合条件可知，男生的中位数为：；
（2）解：男生跳绳成绩更好
理由：因为男生、女生跳绳成绩的平均数相同，男生跳绳成绩的中位数、众数均大于女生，所以男生跳绳成绩更好；
（3）解：（人）．
答：估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生有570人．
21．(1)
(2)，证明见解析
(3)
（1）解：由题意得：等式④：；
（2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为，
证明如下：等式左边右边；
（3）解：∵（均为正整数），
∴，，
∴
．
22．(1)26，12
(2)剪去正方形的边长为
(3)剪去的正方形的边长为
（1）解：由题意得：，，
纸盒底面长方形的长为，宽为；
（2）解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，
由题意得：，
解得：或（舍去），
∴剪去正方形的边长为；
（3）解：设剪去的正方形的边长为，
由题意得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴剪去的正方形的边长为．
23．(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵正方形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
设正方形的边长为，则，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴正方形的边长为；
（3）解：如图，作于，设，，

∵正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，即，整理得，；
同理可得，，，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴的长为．

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