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山西省长治市黎城县部分学校2025年中考第二次模拟数学试卷
一、单选题
1．关于2025这个数据下列说法错误的是（ ）
A．2025相反数是 B．2025绝对值是2025
C．2025倒数是 D．2025的平方根为45
2．以下是四家人工智能科技公司的图案示意图，其中是中心对称图形的是（ ）
A．微云人工智能 B．工易机器人
C．觅客科技 D．小i机器人
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．年月日，中国科学院物理研究所的科研团队成功为金属“重塑金身”，在国际上首次实现大面积二维金属材料制备，创造出单原子层超薄金属，其厚度仅为头发丝直径的二十万分之一，有望开创二维金属研究新领域．若一根头发丝的直径约为毫米，若用科学记数法表示，该超薄金属的厚度最接近（ ）毫米
A． B． C． D．
5．如图1所示，为清代铜胎掐丝珐琅蚺龙纹镇纸（立体图），其主体为长方体底座，顶部浮雕盘曲的螭龙纹．可以近似的抽象为图2中的几何体，上半部分是空心圆柱的一半．以下四幅视图中，能正确反映该镇纸左视图的是（ ）
A． B．
C． D．
6．图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，，座位和座椅靠背的夹角．，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．将的圆周10等分，如图点A、B、C是等分点，点D在线段上（不与A，B重合），则的度数可能为（ ）
A． B． C． D．
8．小伟同学购买两张飞机票，从如图所示的6个座位中随机选择两个，则“小伟购买的机票座位刚好都靠近窗户”的概率是（ ）
窗户 A B C 过道 D E F 窗户
A． B． C． D．
9．某科技公司研发的物流无人机参与抗洪救灾物资运输．已知无人机运送一批物资到受灾村庄，若比原计划搭载传统运输车的速度提高，可提前2小时到达．若两地相距150公里，设传统运输车原计划的行驶速度是x千米/小时，则可列方程为（ ）

A． B．
C． D．
10．如图，已知，在边的同侧作正、正和正，连接，，则下列选项中不正确的是（ ）

A．一定会出现平行四边形
B．当时，四边形为矩形
C．当，且时四边形为正方形
D．当，且时，四边形为菱形
二、填空题
11．因式分解： ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在的延长线上，与关于点位似．若，点的坐标为，则点的坐标为 ．
13．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．通过查阅资料发现，在沥青路面上，某种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的部分对应值如下表：
刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离（m） 0 8 …
那么这种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为： ．
14．山西现存全国重点文物保护单位531处，居全国第一．古建筑屋顶的国瓦当发展历程悠久，其艺术风格和功能随着历史时期的变化而演变．现有一瓦当，它的一面是呈扇形的一部分，如图1所示，其中两边，所在直线构成的夹角，点O是扇形所在圆的圆心，，如图2所示，则该瓦当此面的面积为 ．（结果保留π）
15．如图：中，，，平分，交于点E，若，则长为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）化简：
17．2025年2月13日，中国载人月球探测任务取得新进展，登月服“望宇”和载人月球车“探索”正式命名．为保障任务顺利进行，某航天基地需调配两种特殊合金材料生产登月装备．已知每套“望宇”登月服需消耗5千克合金A和3千克合金B，每辆“探索”月球车需消耗2千克合金A和4千克合金B．基地现有合金A共230千克，合金B共180千克，两种装备各生产多少时，材料恰好用完？
18．如图，已知，点C、E、B、F在同一直线上，，，且．猜想：和位置关系，并证明你的猜想．
19．为促进学生对科技创新知识的了解，山西某中学在七年级和八年级开展了“科技创新知识竞赛”，并从七年级和八年级的学生中分别随机抽取了25名学生的竞赛成绩（百分制），得分用x表示，且得分为整数，共分为4组．A组：，B组：，C组：，D组：，通过收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
七年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为：89，86，87，86，88，85，87，89．
八年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，85，85，84，83，82，81，80，79，78，78，75，71，68．
七年级、八年级被抽取的学生测试得分统计表
平均数 众数 中位数 方差
七年级 85.6 90 n 39.36
八年级 85.2 m 85 58.24
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中：______，______，______；
(2)根据以上数据，请你选择上述的两个统计量进行分析该中学七年级和八年级中哪年级学生的竞赛成绩更优秀？
(3)规定在90分及其以上的为优秀等级，假设该校七年级有800名学生、八年级有700名学生参加知识竞赛，请你估计两个年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等的共有多少人？
20．数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格．
课题 测量学校艺体中心的消防安全电梯楼的高度
实物图 如图为某校的艺体中心的消防安全电梯楼的实景照片，底部有围栏不可以直接到达，数学综合实践小组计划应用所学知识，计算出电梯楼的总高度．
测量数据及绘图 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，楼梯高为，水平宽为；在A点测的对楼顶C的仰角α为，在B点测的对楼顶C的仰角β为．
任务 求电梯楼的高度．
（结果精确到，参考数据：，，，，，）
21．阅读与思考
小颖在一篇数学杂志中看到“在尺规作图中，三等分任意角是著名的古希腊三大几何难题之一．19世纪数学家通过代数方法（如伽罗瓦理论）证明：仅用无刻度直尺和圆规三等分任意角是不可能的．”小颖想着尺规作图不能三等分任意角，那能不能三等分任意线段呢？她作了如下两种作法，请认真阅读她的笔记，并完成下列任务．
问题：已知：线段（如图）．求作：在线段上找一点C，使得．（尺规作图）
方法一： 作法步骤： （1）以A为端点作射线． （2）在射线上依次截取线段． （3）连接，过点E作的平行线交AB于点C． 证明：，． （依据） 方法二： 作法步骤： （1）以为一边作出等边． （2）以为的一半为一边作出等边． （3）连接交于点C． 证明：由作图可知和均为正三角形 且 ∴……
任务一：上述阅读材料中的方法一中的依据为：_________
任务二：请你帮助小颖完成方法二中剩余的证明过程．
任务三：请你再用一种不同的方法，在线段上找一点，使得．（尺规作图，保留痕迹，不写作法，不用证明）
22．综合与实践
小刚家的新家装修到了安装射灯，设计沙发背景墙的阶段，他和爸爸到了装饰城，看到了如图1中的某种型号的射灯投射下的背景样板墙，4盏射灯的光照的区域“覆盖”了整个墙面．光照的区域边缘可近似的看为抛物线，相同型号的射灯光照区域的形状完全一样．小刚抽象出了如图2中的示意图，测量后得到相关数据，左侧第一盏灯最高点C距离地面高度为290cm，与左墙面的水平距离为30cm，光线与墙的交点A距离地面245cm，点B，D，E均为两条光线的交点，点F且A，B，D，E，F在同一高度的水平线上．
(1)数学建模
如图3，以墙面OA所在的直线为y轴，垂直于OA的地面所在直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设光线距离地面的高度为，距墙面OA水平距离为，求y与x之间的函数关系式．
(2)问题解决
小刚家沙发背景墙和装饰城的样板墙高度一致，墙面长为420cm，按照样板墙的方式安装射灯，请帮小刚计算需要安装的射灯数量至少为多少时，光照区域才能如样板墙那样实现全“覆盖”？
(3)如图4，小刚妈妈还计划在这每一盏射灯的光照区域内安装一幅矩形的家庭照片，照片的底部安装高度距离地面145cm，请直接写出如图4中，左侧第一盏灯的光照区域内矩形照片的周长的最大值．
23．综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以菱形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在菱形中，点O为对角线和的交点，且，．保持菱形不动，将绕点O按顺时针方向旋转，旋转后点A，B，D的对应点分别记作点，，，得到．其中边与边的交点为E．兴趣小组进行如下探究．

猜想证明：（1）如图1，当旋转至时，判断四边形的形状，并说明理由；
探索发现：（2）如图2，当时，连接，他们发现平分，请证明这一发现；
拓展延伸：（3）如图3，在图2的基础上，将沿所在的直线向上平移得到，O的对应点记作点，其中边与边的交点为E．在平移的过程中是否存在等腰，若存在，请直接写出平移的距离，若不存在；请说明理由．
参考答案
1．D
解：A：2025的相反数是，说法正确，不符合题意；
B：2025的绝对值是2025，说法正确，不符合题意；
C：2025的倒数是，说法正确，不符合题意；
D：2025的平方根为，说法错误，符合题意；
故选：D．
2．B
解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
3．D
解：A：，原计算错误，故此选项不符合题意．
B：，原计算错误，故此选项不符合题意．
C：，原计算错误，故此选项不符合题意．
D：，正确，故此选项符合题意．
故选：D．
4．A
解：头发丝直径为毫米，
超薄金属厚度为：．
超薄金属的厚度用科学记数法表示为毫米．
故选：A．
5．D
解：由题意得，该镇纸左视图的是
故选：D．
6．B
解：根据题意可得，，
∴，
∴，
故选：B ．
7．A
解：如图，连接，，，
由题意得，，，
，，
，，
，，
，
的度数可能为，
故选：A．
8．D
解：根据题意，运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，
共有30种等可能结果，其中靠近窗户的座位为和，共2种结果，
∴“小伟购买的机票座位刚好都靠近窗户”的概率是，
故选：D．
9．C
解：设传统运输车原计划的行驶速度是x千米/小时，
由题意得，．
故选：C．
10．A
解：当时，
∵、、都是等边三角形；
∴，
，
∴，
故，
∵，
∴，
∴，
同理可证，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵当时
∴，
∴平行四边形是矩形，故B正确，选项B不符合题意；
∵，
∴，
∴矩形为正方形，故C正确，选项C不符合题意；
∵，且，
∴，
∴平行四边形是菱形，故D正确，选项D不符合题意；
当，
∴，
即D，A，F三点在同一直线上，
∴四边形不存在，
故A不正确，选项A符合题意；
故选：A．
11．
解：．
故答案为：．
12．
解：∵，与关于点位似，
∴，
∴与的相似比为，
即与的相似比为，
∵点的坐标为，且点在第三象限，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标为．
故答案为：．
13．
解：观察数据可知，刹车距离s是刹车时速度v的二次函数，
设，
由表格数据可知，将点，，代入函数解析式，得
，
解得，
所以，
即刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为： ．
故答案为： ．
14．
解：∵，，
∴此面的面积（）．
故答案为：．
15．/
解：过点A作于点H．
，，
四边形都是平行四边形，
，
平分，
，，

．
故答案为：．
16．（1）；（2）
解：（1）
．
（2）
．
17．生产到40套登月服，15辆月球车时，材料恰好用完
解：设生产到x套登月服，y辆月球车，依题意，得
解得：
答：生产40套登月服，15辆月球车时，材料恰好用完．
18．，理由见解析
解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．(1)88，87，28
(2)七年级学生的竞赛成绩更优秀
(3)估计两个年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有512人
（1）解：七年级抽取的学生成绩中A组的人数为：（人），七年级抽取的学生成绩中B组的人数为8人，
则七年级抽取的学生成绩中，中位数位于B组，
将B组的竞赛成绩从小到大排列为：85，86，86，87，87，88，89，89，且中位数位于第5位，
∴七年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数为；
八年级抽取的学生的竞赛成绩的中，成绩为88分出现的次数最多，则八年级抽取的学生的竞赛成绩的众数为；
∵七年级抽取的学生成绩中C组所占百分比为：，即；
故答案为：88，87，28；
（2）解：七年级学生的竞赛成绩更优秀，理由如下：
七年级学生竞赛成绩的平均数、众数和中位数均比八年级的高，方差比八年级小，成绩波动更小，所以七年级学生的竞赛成绩更优秀；
（3）解：八年级抽取的学生的竞赛成绩的中，获得优秀等级的共有8人，
根据题意：（人），
答：估计两个年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有512人．
20．电梯楼的高度约为
解：过点B作于点F，则四边形为矩形，
，
在中，，，
．
．
设长为x，则长为，，，
在中，，，
．
．
．
．
答：电梯楼的高度约为．
21．[任务一] 平行线分线段成比例定理；[任务二]见解析；[任务三]见解析
解：任务一：
证明：，．
（平行线分线段成比例定理），
故答案为：平行线分线段成比例定理；
任务二：
证明：由作图可知和均为正三角形
且
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
任务三：
解：如图，点即为所求：
22．(1)
(2)7
(3)
（1）解：已知抛物线顶点，
设抛物线解析式为，
因为点在抛物线上，把代入，
可得：，
解得，
所以y与x之间的函数关系式为．
（2）解：因为抛物线关于对称轴对称，
且相邻两抛物线在水平方向上的距离相等，
令，则，
解得，
解得，，即一盏灯的光照区域水平跨度为，
墙面长，则需要安装的射灯数量至少为（盏）．
（3）解：令，则，
，
解得，
设矩形照片的一边长为m，其对应的横坐标为x，
则另一边长为，
矩形周长，
由抛物线对称性，设x到对称轴的距离为t，即，则，
此时，矩形另一边，
矩形周长，
对于二次函数，其中，，
根据二次函数顶点公式，
当时，．
23．（1）见解析（2）见解析（3）0.4
（1）解：四边形是菱形；
理由如下：
∵四边形为菱形，和的交于点O．
∴，
∵是由绕点O旋转得到的，
∴，，
∴，
∵，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）连接，连接，如图

∵，
∴且，
∴点B、O、A 共线，
由旋转可知：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点O、E都在的垂直平分线上，
∴所在的直线垂直平分线段，且，
∴平分．
(3) 由比小，也比小，则为等腰三角形时，只能是．如图过点E作于点M， 交于点N，过点作于点H，

由题意及图，可知，
∴四边形都是矩形，
∴，，，
∴，，
∴，
即，
解得，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
∴沿所在的直线向上平移．

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