资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026届高三数学一轮复习专题特训 数列求和
分值：50分
1.(12分)(2025·南通模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn-an=n2+1，n∈N*.
(1)求a1，a2，并证明：数列{an+an+1}是等差数列；(6分)
(2)求S20.(6分)
2.(12分)已知数列{an}满足a1=10，an+1=3an-2.
(1)求{an}的通项公式；(5分)
(2)若bn=，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<.(7分)
3.(13分)已知数列{an}的首项a1=a(a≠0)，前n项和为Sn，且满足Sn+1-Sn=(n∈N*).
(1)判断数列是否为等比数列；(6分)
(2)若a1=，记数列的前n项和为Tn，求Tn.(7分)
4.(13分)已知在数列{an}中，a1=1，nan+1-(n+1)an=1.
(1)求数列{an}的通项公式；(6分)
(2)若数列{bn}满足bn=sin+cos(πan)，求数列{bn}的前2 026项和T2 026.(7分)
试题解析
1.解　(1)当n=1时，
由条件得a1-a1=2，所以a1=4.
当n=2时，
由条件得(a1+a2)-a2=5，
所以a2=2.
因为Sn-an=n2+1，
所以Sn-1-an-1
=(n-1)2+1(n≥2)，
两式相减得an-an+an-1=2n-1，
即an+an-1=4n-2，
所以(an+1+an)-(an+an-1)
=[4(n+1)-2]-(4n-2)=4，
从而数列{an+1+an}为等差数列.
(2)由(1)知an+an+1=4(n+1)-2=4n+2，
所以S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)=(4×1+2)+(4×3+2)+…+(4×19+2)=
=420.
2.(1)解　因为an+1=3an-2，
所以an+1-1=3(an-1)，
又a1-1=9，
所以=3，
所以{an-1}是以9为首项，3为公比的等比数列，
所以an-1=9·3n-1=3n+1，
所以an=3n+1+1.
(2)证明　由(1)知bn=
=
=
=
所以Tn=b1+b2+…+bn
=+
+…+
=
=-又>0，
所以Tn<.
3.解　(1)若-1=-1=0，
解得a=1，
则数列不是等比数列；
若-1=-1≠0，即a≠1，
因为Sn+1-Sn=
所以an+1=易知an≠0，
所以==·+
所以-1=
所以=(n∈N*)，
当a≠1时，数列是以为首项为公比的等比数列.
(2)由(1)知-1==
所以=+1，
则=n+n.
则Tn=1×+2×+…+n+1+2+…+n，
令Qn=1+2+…+n=
令Kn=1×+2×+…+n ①
所以Kn=1×+2×+…+(n-1)·+n ②
①-②得
Kn=+++…+-n
=·-n
=-·
得Kn=-·
所以Tn=-·+.
4.解　(1)因为nan+1-(n+1)an=1，
可得-=
=-
所以当n≥2时-=-+-+…+-=-+-+…+-=1-
又因为a1=1，则an=2n-1，
当n=1时，a1=1成立，
所以an=2n-1.
(2)由(1)知，
bn=sin+cos(πan)
=sin+cos[π(2n-1)]
=cos nπ+cos π=cos nπ-1，
所以T2n=b1+b2+…+b2n=cos π+cos 2π+…+cos (2n-1)π+cos 2nπ-2n，
因为cos (2n-1)π+cos 2nπ
=-cos 2nπ+cos 2nπ=0，
所以(cos π+cos 2π)+…+[cos (2n-1)π+cos 2nπ]=0，
所以T2n=-2n，所以数列{bn}的前2 026项和为-2 026.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑