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2026届高三数学一轮复习专题特训 数列中的构造问题
分值：70分
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在数列{an}中，Sn为其前n项和，首项a1=1，又函数f(x)=x3-an+1sin x+(2an+1)x+1，若f'(0)=0，则S2 025等于(　　)
A.22 023-2 024 B.22 024-2 025
C.22 025-2 026 D.22 026-2 027
2.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n，则a4等于(　　)
A.17 B.18 C.19 D.20
3.(2025·宜宾模拟)一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则a2 023a2 025-等于(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
4.在数列{an}中，a1=1，an+1=3an-2n-1(n∈N*)，记cn=3n-2×(-1)nλan，若数列{cn}为递增数列，则实数λ的取值范围为(　　)
A. B.(-2，1)
C.(-1，1) D.(0，1)
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=3，且an+1=3Sn+2(n∈N*)，则下列说法正确的有(　　　　)
A.a1=
B.S4=
C.{an}是等比数列
D.是等比数列
6.(2024·邢台模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，an+1=4an+3×4n，则(　　　　)
A.a2=24
B.为等比数列
C.S10=
D.log2(4a100-3S100+1)=200
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1-5an+4an-1=0(n∈N*，n≥2)，则{an}的通项公式为　　　　　　　　.
8.(2025·南京模拟)已知数列{an}满足a1=1，2an+1-an+anan+1=0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　.
四、解答题(共28分)
9.(13分)(2025·湖北云学重点高中联盟联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=1且Sn+1=2Sn+n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；(6分)
(2)设数列{bn}满足bn=log2(an+1)，数列{bn}的前n项和为Tn，求+++…+.(7分)
10.(15分)(2025·八省联考)已知数列{an}中，a1=3，an+1=.
(1)证明：数列为等比数列；(5分)
(2)求{an}的通项公式；(4分)
(3)令bn=，证明：bn试题解析
1.D　2.C
3.B　[依题意，an=an-1+an-2(n≥3)，
a1=1，a2=2，a3=a1+a2=3，
当n≥2时，anan+2-=an(an+1+an)-=anan+1+-=+an+1(an-an+1)=-an+1an-1=-(an-1an+1-)，
a1a3-=-1，
所以数列{anan+2-}是首项为-1，公比为-1的等比数列，
所以a2 023a2 025-=(-1)×(-1)2 023-1=-1.]
4.A　[由an+1=3an-2n-1，
得=·-
即-=
而-=0，则-=0，
即an=2n-1，则cn=3n-2×(-1)nλ·2n-1=3n-(-2)nλ，
由数列{cn}为递增数列，得 n∈N*，cn+1>cn恒成立，
则 n∈N*，3n+1-(-2)n+1λ>3n-(-2)nλ，
即3n-1>(-2)n-1λ恒成立，
当n为奇数时，λ<恒成立，数列为递增数列的最小值为1，则λ<1，
当n为偶数时，λ>-恒成立，数列为递减数列，-的最大值为-则λ>-所以实数λ的取值范围为.]
5.ABD　[由题意，数列{an}的前n项和为Sn，a2=3，且an+1=3Sn+2，
则a2=3S1+2=3a1+2，
所以a1=故A正确；
因为an+1=3Sn+2， ①
所以当n≥2 时，an=3Sn-1+2， ②
①-②得an+1-an=3an，即an+1=4an，
当n=1时，a1=不满足a2=4a1，
故数列{an}不是等比数列，故C错误；
当n≥2时，an+1=4an，
则a3=4a2=12，a4=4a3=48，
故S4=+3+12+48=故B正确；
由an+1=3Sn+2，
得Sn+1-Sn=3Sn+2，
所以Sn+1=4Sn+2，
令Sn+1+λ=4(Sn+λ)，
则Sn+1=4Sn+3λ，
所以3λ=2，即λ=
所以Sn+1+=4
即=4，故是首项为S1+=a1+=1，
公比为4的等比数列，故D正确.]
6.ACD　[选项A，由题意得a2=4a1+3×4=24，A正确；
选项B，将an+1=4an+3×4n两边同时除以4n+1，
得=+
即-=
则是首项为=公差为的等差数列，不是等比数列，B错误；
选项C，由=+(n-1)=n，
得an=3n×4n-1，
所以Sn=3+6×4+9×42+…+3n×4n-1， ①
则4Sn=3×4+6×42+9×43+…+3n×4n， ②
①-②得，-3Sn=3+3×(4+42+43+…+4n-1)-3n×4n=3+3×-3n×4n=-(3n-1)×4n-1，
即Sn=
则S10=C正确；
选项D，因为4an-3Sn+1=4×3n×4n-1-3×+1=4n，
所以log2(4a100-3S100+1)=log24100=log22200=200，D正确.]
7.an=
8.an=
解析　在数列{an}中，a1=1，2an+1-an+anan+1=0，显然an≠0，
则有=2·+1，
即+1=2
而+1=2，
因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以+1=2n，即an=.
9.解　(1)由Sn+1=2Sn+n，
可得an+1=Sn+n，
令n=1，可得a2=S1+1=1，
即S1=a1=0，
由Sn+1=2Sn+n可得Sn+1+(n+1)+1=2(Sn+n+1)，
且S1+1+1=2≠0，
可知数列{Sn+n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
则Sn+n+1=2×2n-1=2n，可得Sn+n=2n-1，即an+1=2n-1，
则an=2n-1-1，n≥2，
且a1=0符合上式，所以an=2n-1-1.
(2)由(1)可得bn=log2(an+1)=log22n-1=n-1，
则bn+1-bn=n-(n-1)=1，
可知{bn}是首项b1=0，公差为1的等差数列，
可得Tn==
当n≥2时，
则==2
所以+++…+
=2
=2.
10.(1)证明　∵an+1=
∴==+
∴1-=-=
又1-=≠0，
∴数列是首项为公比为的等比数列.
(2)解　由(1)知1-=
故an==.
(3)证明　bn=
=·
===1-
显然数列为递增数列，
且3·-2>0对n∈N*恒成立，
∴数列为递减数列，
∴数列{bn}为递增数列，且bn<1，
∴bn21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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