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2025年四川省绵阳市涪城区中考一模数学试题
一、单选题
1．下列实数为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
4．学校新组建的篮球队12名队员的年龄如下表所示：
年龄/岁 13 14 15 16
人数 5 4 1 2
则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（ ）
A．13，14 B．14，14 C．13，14.5 D．14，14.5
5．如图，在一个木块上放置一个球体，则它们组成的几何体的主视图应是（ ）
A． B． C． D．
6．下面给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．如图，反比例函数在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是1，3，则的面积是（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
8．临近6月，九年级的同学就要毕业了，在毕业典礼中某班每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，该班共送了2652张照片．设该班有x名学生，根据题意，列出方程应为（ ）
A． B． C． D．
9．已知圆锥的底面积为S，侧面积为，设圆锥的母线与高的夹角为，则为（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于x的分式方程的解为非负数，则所有正整数m的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的点，把AOC沿OC对折，点A的对应点D恰好落在⊙O上，且C、D均在直径AB上方，连接AD、BD，若AC＝4，BD＝4，则AD的长度应是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
12．已知二次函数的图象关于直线对称，当时，y有最小值，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．因式分解： ．
14．如图，在中，，则 ．
15．2020年7月23日，中国首次火星探测任务探测器发射成功，将“天问一号”探测器送人预定轨道，我国迈出行星探测第一步．飞行7个月后，“天问一号”探测器将着陆火星，进行巡视勘测．已知火星与地球的最近距离约为5600万千米，若将5600万用科学记数法表示应是 ．
16．甲、乙、丙3位同学到两个风景区去游玩，每位同学到每个风景区的可能性相同，则3位同学在同一风景区游玩的概率是 ．
17．为落实“城市更新项目”的相关工作，市住建部门计划对老城区部分道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队工作，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造360m的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．若甲队工作一天需付费9万元，乙队工作一天需付费8万元，如需改造的道路全长1800m，改造总费用不超过420万元，至少安排甲队工作 天．
18．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．有以下四个结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点为；④点一定在此抛物线上．其中正确的结论是 ．（填序号）
三、解答题
19．（1）计算：．
（2）化简：．
20．某校九年级（5）班50名学生参加1分钟跳绳比赛．1分钟跳绳次数与频数经统计后绘制成下面的频数分布表（表示为大于等于60并且小于70）和扇形图．
等级 分数段 1分钟跳绳次数段 频数
A 120 254～300 0
110～120 224～254 3
B 100～110 194～224 9
90～100 164～194 m
C 80～90 148～164 12
70～80 132～148 n
D 60～70 116～132 2
0～60 0～116 0
(1)求m，n的值；
(2)求该班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比．
21．如图，在中，E，F分别为边上的点，，连接，与交于点O．
(1)求证：与相互平分．
(2)若，，，，求的长．
22．如图，直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B，且点B的横坐标为1，过点B作轴，垂足为H．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)以为对称轴将翻折得到直线，直线与x轴交于点D，与反比例函数的图象交于点C，求点C的坐标．
23．一公司要将240吨货物运往某地销售，经与物流公司协商，计划租用甲、乙两种型号的卡车共15辆，用这15辆卡车一次性将货物全部运走，其中每辆甲型卡车最多能装该种货物15吨，每辆乙型卡车最多能装该种货物18吨．已知租用3辆甲型卡车和2辆乙型卡车共需费用3100元；租用2辆甲型卡车和1辆乙型卡车共需费用1850元，且同一型号卡车每辆租车费用相同．
(1)求租用1辆甲型卡车、1辆乙型卡车的费用分别是多少元．
(2)若该公司预算此次租车费用不超过9500元，请计算该公司采用什么租车方案的费用最少，求出最少租车费用．
24．如图，已知是的直径，是的弦，于点G，交于点H，与交于E，F两点，其中H为的中点，．
(1)求证：与的相切；
(2)若，，求的长；
(3)若，求的值．
25．如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，若N是直线BC下方抛物线上的一点，求面积的最大值；
(3)如图②，P，Q两点在抛物线的对称轴上（点P在点Q上方），且，当与相似时，求出P，Q两点的坐标．
参考答案
1．B
解：A、是有理数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、是有理数，故本选项不符合题意；
D、是有理数，故本选项不符合题意；
故选：B
2．A
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
3．C
解：根据题意：且，
解得∶ 且，
故选：C
4．A
解：年龄为13岁的人数出现的次数最多为5人，
则众数为13．
平均数为：，
则平均数数14，
则这12名队员年龄的众数和平均数分别是13，14，
故选：A
5．C
解：从正面看下边是一个矩形，矩形的上边正中间位置是一个圆，
故选：C．
6．B
解：如图，
A、若，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、若，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：B
7．B
解：如图所示：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，

∵反比例函数 在第一象限的图像上有两点A，B，它们的横坐标分别是1，3，
∴，，
∴
∴，
∴．
故选B．
8．B
解：设全班有x名学生，则每人要赠送张相片，
根据题意可得出，
故选：B
9．D
解：设底面圆半径为r，母线长为l，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
10．A
解：去分母，得：
，
移项，合并同类项，系数化1得：
．
∵解为非负数，
∴，
∴．
∵原分式方程有可能产生增根，
∴，
∴，
∴正整数的值为5、4、2、1，故有4个，
故选：A．
11．C
解：AD交OC于E，如图，设⊙O的半径为r，
∵△AOC沿OC对折，点A的对应点D恰好落在⊙O上，
∴ ，
∴OC⊥AD，
∴AE＝DE，
∵OA＝OB，
∴OE为△ADB的中位线，
∴OE＝BD＝2，
在Rt△AOE中，AE2＝OA2﹣OE2＝r2﹣22，
在Rt△ACE中，AE2＝CA2﹣CE2＝（4）2﹣（r﹣2）2，
∴r2﹣22＝（4）2﹣（r﹣2）2，解得r1＝﹣4，r2＝6，
∴AE＝＝4，
∴AD＝2AE＝8．
故选：C．
12．C
解：∵二次函数的图象关于直线对称，
∴，解得，
则二次函数，
当时，函数有最小值；
∵当时，y有最小值，
∴，
解得，
故选C．
13．
解∶ ，
故答案为：．
14．/度
解：∵在中，，，
∴，
故答案为：
15．
解：5600万．
故答案为：．
16．/0.25
【详解】设两个风景区分别为A，B，
画树状图如下：
由树状图知共有8种等可能结果，其中甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的有2种结果，
∴甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的概率为．
故答案为：．
17．20
解：设乙队每天改造x米，甲队每天改造米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
则乙队每天改造30米，甲队每天改造米，
则甲队工作a天，
∴，
解得：，
∴甲队至少工作20天，
故答案为：20
18．②③④
解：根据函数图像开口向下，与y轴交于正半轴可知：，，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①错误，
∵，
∴，故②正确．
∵点关于对称轴为直线的对称点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，故③正确，
∵抛物线经过点，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴ ，
∵在抛物线上，
∴点一定在此抛物线上，故④正确．
综上：②③④正确，
故答案为：②③④
19．（1）（2）
（1）解：原式．
（2）解：原式
20．(1)，
(2)
（1）解：由扇形图可得B级人数应是，
∴，
∴．
由频数分布表可知，
∴．
（2）解：由表可得80分以上（含80分）的人数为，
∴该班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比为．
21．(1)见解析
(2)
（1）证明：如图，连接．
在中，，
又，
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴与相互平分．
（2）解：如图，连接，过点C作，交的延长线于点H．
由（1）可得四边形是平行四边形．
又，
∴四边形是菱形．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，则．
∵，
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
在中，，即，
解得，
∴．
22．(1)
(2)
（1）解：将代入，得，即．
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：∵轴，与关于对称，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴．
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
解得，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴点C的坐标为．
23．(1)租用1辆甲型卡车的费用为600元，租用1辆乙型卡车的费用为650元
(2)租用甲型卡车10辆，乙型卡车5辆时，费用最少，最少租车费用为9250元
（1）解：设租用1辆甲型卡车的费用为m元﹐租用1辆乙型卡车的费用为n元．
由题意﹐得，
解得．
答：租用1辆甲型卡车的费用为600元，租用1辆乙型卡车的费用为650元．
（2）解：设租用甲型卡车x辆，租用乙型卡车辆，租车的总费用为W元．
由题意﹐得，
解得，
∴租车的总费用为，其中．
∵，
∴W随x增大而减小，
∴当时，租车的总费用最少，．
答：租用甲型卡车10辆，乙型卡车5辆时，费用最少，最少租车费用为9250元．
24．(1)见解析
(2)
(3)
（1）证明：如图①，连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴与相切．
（2）解：如图②，连接，过点D作，垂足为M．
∵，，
∴．
设的半径为r，则
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
∵是直径，
∴，
∵H为的中点，O是的中点，
∴，
∴．
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，H为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
（3）解：∵，
∴，
由（2）可得，
∴，即．
令，则，
∴，
∴，
∴，
∴．
由（2）可得，
∴，
解得，
∴．
25．(1)
(2)
(3)P，Q两点的坐标分别为，或，
（1）解：将，两点代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图③，在BC下方抛物线上取一点N，过点N作轴，与直线BC交于点F，连接BN，CN，
在中，令，则，
∴．
设直线BC的解析式为，
将，两点代入，
得，解得，
∴直线BC的解析式为．
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积有最大值，最大值为．
（3）解：如图④，连接AP，AQ．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设对称轴与x轴的交点为M．
∵，，
∴，
∴，即是等腰直角三角形；
由勾股定理得：；
在中，，．
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，．
若∽，则，
∴，解得，
∴，
∴，．
若∽，则，
∴，解得，
∴，
∴，．
综上所述，当与相似时，P，Q两点的坐标分别为，或，．

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