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江苏省徐州市树德中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学卷
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列命题中错误的是（　　）
A．圆既是轴对称图形，也是中心对称图形
B．长度相等的弧是等弧
C．三角形的内心到三角形三边的距离相等
D．垂直于弦的直径平分这条弦
3．将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
5．某厂一月份生产某机器200台，计划二、三月份共生产1800台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　 　）
A．200（1+x）2=1800 B．200（1+x）+200（1+x）2=1800
C．200（1﹣x）2=1800 D．200+200（1+x）+200（1+x）2=1800
6．已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ）
A．24﹣4π B．32﹣4π C．32﹣8π D．16
8．如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
9．一元二次方程的根为 ．
10．如图，四边形内接于，若则 ．
11．一元二次方程的两根为、，则的值是 ．
12．已知直角三角形的两直角边分别为5、12，则它的外接圆的直径为 ．
13．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆的半径为5 cm，小圆的半径为3 cm，则弦AB的长为 cm．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 17 7 1 ﹣1 1 …
则当x＝4时，y＝ ．
15．正六边形的边长为8cm，则它的面积为 cm2．
16．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么圆弧形桥拱所在圆的半径是 米．
17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是 ．
18．如图，在RtAOB中，OA=OB=，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 ．
三、解答题
19．解一元二次方程：
（1）
（2）
20．已知关于x的方程．
(1)若此方程的一个根为1，求m的值；
(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
21．如图，在平面直角坐标系中，点，，，过这三个点作一条圆弧．
(1)用无刻度直尺画出该圆弧的圆心M（保留作图痕迹）．
(2)的半径长为___________．
(3)点在___________（填“内”“外”“上”）．
(4)若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是___________．
22．如图，在中，，以为直径的与相交于点D，于E．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为5，，求的长．
23．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/千克） 50 60 70
销售量y（千克） 100 80 60
(1)求与之间的函数表达式；
(2)设商品每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式；
(3)售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
24．如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为，点为抛物线与轴的交点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点在抛物线上，且，求点的坐标；
(3)点为抛物线上一动点，且位于直线的下方，求出面积的最大值．
25．如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为个单位长度，点P为直线y＝﹣x+6上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．
（1）判断四边形OCPD的形状并说明理由．
（2）求点P的坐标．
（3）若直线y＝﹣x+6沿x轴向左平移得到一条新的直线y1＝﹣x+b，此直线将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值．
（4）若将⊙O沿x轴向右平移（圆心O始终保持在x轴上），试写出当⊙O与直线y＝﹣x+6有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．（直接写出答案）
参考答案
1．C
解：A、，分母有未知数，不是整式方程，故本选项错误，不符合题意；
B、，未强调，故本选项错误，不符合题意；
C、，整理后为，是一元二次方程，符合题意；
D、，是二元二次方程，不符合题意；
故选：C．
2．B
解：A、圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，原说法正确，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原说法错误，符合题意；
C、三角形的内心到三角形三边的距离相等，原说法正确，不符合题意；
D、垂直于弦的直径平分这条弦，原说法正确，不符合题意；
故选：B．
3．A
【详解】将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，
根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为，
故答案选：A．
4．C
【详解】此圆锥的侧面积= 4 2π 2=8π．
故选C．
5．B
【详解】二月份的生产量为200×（1+x），三月份的生产量为200×（1+x）（1+x），
那么200（1+x）+200（1+x）2=1800．
故选B．
6．B
解：抛物线的对称轴为，
∵，
∴是y随x的增大而增大，
是y随x的增大而减小，
又∵(﹣3，)比(1，)距离对称轴较近，
∴，
故选：B．
7．A
【详解】连接AD，OD，
∵等腰直角△ABC中，
∴∠ABD=45°．
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴．
∵AB=8，
∴AD=BD=4，
∴S阴影=S△ABC-S△ABD-S弓形AD=S△ABC-S△ABD-（S扇形AOD-S△ABD）
=×8×8-×4×4-+××4×4
=16-4π+8=24-4π．
故选A．
8．B
解：根据题意，则，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，
令时，，
∴，故③正确；
在中，
令时，则，
令时，，
由两式相加，得，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故选：B．
9．，
解：∵，
∴，
∴，．
10．80 .
【详解】∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=100°，
∴∠C=180°-∠A=180°-100°=80°.
故答案为80°.
11．-2
解：∵、是一元二次方程的两根，
∴
故答案为：-2
12．13
【详解】由勾股定理得,直角三角形的斜边为：=13，
则它的外接圆的直径为13，
故答案为13.
13．8
解：连接OA、OC，
∵AB是小圆的切线，∴OC⊥AB，
∵OA=5cm，OC=3cm，
∴AC==4cm，
∵AB是大圆的弦，OC过圆心，OC⊥AB，
∴AB=2AC=2×4=8cm．
14．17
解：将（0，1）、（1，﹣1）、（2，1）代入中
可得方程组，
解得，，，
∴二次函数解析式为，
将代入函数解析式中，
得，
故答案为：
15．96.
【详解】如图所示，正六边形ABCDEF中，连接OC、OD，过O作OH⊥CD；
∵此多边形是正六边形，
∴∠COD=60°；
∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OH=CH tan60°=cm，
∴S△OCD=CD OH=×8×4=16cm2．
∴S正六边形=6S△OCD=6×16=96cm2．
16．10．
解：设圆弧形桥拱所在圆心为O，连接BO，DO，
可得：AD＝BD，OD⊥AB，
∵AB＝16米，拱高CD＝4米，
∴BD＝AD＝8m，
设BO＝xm，则DO＝（x﹣4）m，
根据题意可得：BD2+DO2＝BO2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
即圆弧形桥拱所在圆的半径是10m．
故答案为10．
17．－2．
【详解】设正方形的对角线OA长为2m，则B（﹣m，m），C（m，m），A（0，2m）；
把A，C的坐标代入解析式可得：c=2m①，am2+c=m②，
①代入②得：am2+2m=m，
解得：a=-，
则ac=-2m=-2．
18．
【详解】连接OP、OQ，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ．
根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短．此时，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=，
∴AB=OA=6．
∴OP=AB=3．
∴PQ=．
19．（1），；（2），
【详解】（1）．
解：，，，
，
．
，．
（2）解：
或
，．
20．（1）；（2）证明见解析
解：（1）根据题意，将x=1代入方程，
得：，
解得：m=．
（2）∵，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21．(1)见解析
(2)
(3)内
(4)
（1）解：如图，点即为所求，
（2）解：由图可得，，
故由勾股定理可得：，
故的半径长为，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴点在内，
故答案为：内；
（4）解：∵的半径长为，
∴，
∵,
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴弧的长为，
∴该圆锥的底面圆半径为，
故答案为：．
22．（1）见解析；（2）
（1）证明：连接．
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴OD//AC
∵
∴
∵是圆的半径，
∴是的切线；
（2）连接，
∵为的直径，
∴，即，
∵，，
∴
∵的半径为5
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．(1)
(2)W与x之间的函数解析式为；
(3)售价为70元时，利润最大为1800元．
（1）解：设y与x之间的函数解析式为，
将代入得：
解得：，
；
（2）解：
；
W与x之间的函数解析式为；
（3）解：，
∵，，
∴当时，W取得最大值为1800，
售价为70元时，总利润最大为1800元．
24．(1)
(2)或
(3)
（1）抛物线的对称轴为，
，
解得，
抛物线变形为，
把代入解析式，得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）抛物线的解析式为，
当时，有，
解得，
∵，
的坐标，
当时，，
∴的坐标，
，
，
设点的横坐标为，
，
，
解得或，
当时，；
当时，；
故点的坐标为或 ．
（3）过点作轴，交于点，
设直线的解析式为，
把代入解析式，得，
解得，
直线的解析式为，
设，则的坐标为，
∴，
∴，
∴当时，面积的最大值为．
25．（1）四边形OCPD为正方形，见解析；（2）P点坐标为(2，4)或(4，2)；（3）b的值为或；（4）
解：（1）四边形OCPD为正方形．
理由如下：连接OC、OD，易知OC⊥PC，OD⊥PD，
又PC⊥PD，
∴四边形OCPD为矩形，
又OC＝OD，
∴四边形OCPD为正方形．
（2）连接OP，
为正方形，
，
在直线上，
设，
由得：，
解得：或．
点坐标为或．
（3）平移后的新直线A′B′交圆于A′B′，分得的两段弧长之比为1：3，
分得的劣弧是圆周的，
直线AB与x轴夹角为，，
，
当为圆周时，直线与坐标轴的交点恰好是与坐标轴的交点，
当AB平移到位置时，；
当AB平移到位置时，，
的值为或．
（4）如图，⊙O沿x轴向右平移过程中分别在⊙O1处，⊙O2处与直线y＝﹣x+6相切，
则圆在O落在O1，O2之间均满足题意，
在处相切时，为等腰直角三角形，
，．
，同理，在处相切时，，
，
当与直线有交点时，圆心O的横坐标m的取值范围为．

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