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2025湘教版第一章 反比例函数培优测试题
一、填空题。
1．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2 B．k＜﹣2 C．k＞2 D．k＞﹣2
2．如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．函数y＝与y＝kx+1（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
4．反比例函数的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A．k＞3 B．k≤3 C．k＜3 D．k≥3
5．对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（　　）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
D．它的图象在第一、三象限
6．反比例函数的图象如图所示，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
7．反比例函数y＝图象过点（﹣2，3），则k是（　　）
A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5
8．函数（a≠0）与y＝a（x﹣1）（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，点A、B分别在双曲线和上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　 　 ．
10．若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 　 　 （用“＜”连接）．
11．如图，点A是反比例函数y＝在第四象限上的点，AB⊥x轴，若S△AOB＝1，则k的值为 　 　 ．
12．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　 　 ．
13．如图，过点P（4，6）分别作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，PC、PD分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A、B，则四边形BOAP的面积为 　 　 ．
14．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝　 　 ．
15．反比例函数，，在同一坐标系中的图象如图所示，则k1，k2，k3的大小关系为 　 　 ．（用“＜”连接）
16．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝mx（m＜0）与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象相交于A、C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接BC，若△ABC的面积为4，则k的值为　 　 ．
简答题
17．如图，直线y＝mx+n与反比例函数的图象交于A（2，3），B（6，t）两点，与坐标轴分别交于点C和点D，连接OA，OB．
（1）求直线AB与反比例函数的表达式．
（2）求△OAB的面积．
（3）观察该函数图象，请直接写出不等式的解集．
18．如图，反比例函数0）图象与一次函数y＝kx+6的图象交于点B（1，5），C（n，1）．
（1）求m和k的值；
（2）求点C的坐标，并根据图象直接写出关于x的不等式≤kx+6（x＞0）的解集；
（3）连接OB，OC，求△BOC的面积．
19．如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式的解集．
20．如图，一次函数y＝x+4的图象与y轴交于点C，与反比例函数y＝的图象交于B（﹣1，m），A（n，1）两点．
（1）求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△OAB的面积；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
21．如图，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点P在y轴上．
（1）求b和k的值；
（2）当PA+PB最小时，求点P的坐标；
（3）当x+b＜时，请直接写出x的取值范围．
22．某饮水机开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数．若在水温为20℃时开始加热，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）在水温下降的过程中，求水温y（℃）关于通电时间x（min）的函数表达式；
（2）若水温从20℃开始加热至100℃，然后下降至20℃，在这一过程中，水温不低于40℃的时间有多长？
23．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段：当20≤x≤40时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：
（1）求注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式；
（2）已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受．
24．为了预防流感，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，解决以下问题：
（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
2025湘教版第一章 反比例函数培优测试题答案
一、选择题
1．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2 B．k＜﹣2 C．k＞2 D．k＞﹣2
【解答】解：∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴k+2＜0，解得k＜﹣2．
故选：B．
2．如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：设A点坐标（a，b），即，
∴ab＝4，
∵AB＝a，AB边上的高为b，
∴，
故选：A．
3．函数y＝与y＝kx+1（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：当k＞0时，函数y＝的图象在第一、三象限，函数y＝kx+1在第一、二、三象限，故选项C符合题意，选项D不符合题意；
当k＜0时，函数y＝的图象在第二、四象限，函数y＝kx+1在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意，
故选：C．
4．反比例函数的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A．k＞3 B．k≤3 C．k＜3 D．k≥3
【解答】解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴函数图象必在第四象限，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3．
故选：C．
5．对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（　　）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
D．它的图象在第一、三象限
【解答】解：A、当x＞0时，y随x的增大而减小，故此选项错误；
B、当x＜0时，y随x的增大而减小，故D选项正确．
C、把点（﹣2，﹣1）代入反比例函数y＝得﹣1＝﹣1，故此选项正确；
D、∵k＝2＞0，∴图象在第一、三象限，故B选项正确；
故选：A．
6．反比例函数的图象如图所示，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由反比例函数的图象可知：kb＞0，
当k＞0，b＞0时，
∴直线经过一、三、四象限，
当k＜0，b＜0时，
∴直线经过一、二、四象限，
故选：D．
7．反比例函数y＝图象过点（﹣2，3），则k是（　　）
A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5
【解答】解：∵反比例函数y＝图象过点（﹣2，3），
∴k＝xy＝（﹣2）×3＝﹣6．
故选：B．
8．函数（a≠0）与y＝a（x﹣1）（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）
A．B．C．D．
【解答】解：a＞0时，一次函数y＝a（x﹣1）的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项A符合；
a＜0时，一次函数y＝a（x﹣1）的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合．故选：A．
二．填空题（共17小题）
9．如图，点A、B分别在双曲线和上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　8　 ．
【解答】解：延长BA交y轴于E，则BE⊥y轴，如图：
∵点A在双曲线y＝上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8．
故答案为：8．
10．若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 　y3＜y1＜y2　 （用“＜”连接）．
【解答】解：∵反比例函数中k＜0，
∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵﹣2＜0，﹣1＜0，
∴点（﹣2，y1），（﹣1，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴0＜y1＜y2．
∵3＞0，
∴点（3，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故答案为：y3＜y1＜y2．
11．如图，点A是反比例函数y＝在第四象限上的点，AB⊥x轴，若S△AOB＝1，则k的值为 　﹣2　 ．
【解答】解：设A（x，y），
则OB＝x，AB＝﹣y，
∵S△AOB＝1，
∴OB×AB＝1，
∴﹣xy＝2，
∴xy＝﹣2，
∵点A在y＝上，
∴k＝xy＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　8　 ．
【解答】解：延长BA交y轴于E，则BE⊥y轴，
∵点A在双曲线y＝上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8．
故答案为8．
13．如图，过点P（4，6）分别作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，PC、PD分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A、B，则四边形BOAP的面积为 　16　 ．
【解答】解：∵矩形面积＝4×6＝24，
S△BDO+S△AOC＝k＝8．
∴S阴影＝24﹣8＝16．
故答案为：16．
14．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝　6　 ．
【解答】解：∵点A、B是双曲线y＝上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4，
∴S1+S2＝4+4﹣1×2＝6．
故答案为6．
15．反比例函数，，在同一坐标系中的图象如图所示，则k1，k2，k3的大小关系为 　k1＜k2＜k3　 ．（用“＜”连接）
【解答】解：由图可知，图象在第三象限，k3＞0；，图象在第四象限，k2＜0、k1＜0；
取x＝1，如图所示：
∴k2＞k1；
综上所述，k1＜k2＜k3，
故答案为：k1＜k2＜k3．
16．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝mx（m＜0）与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象相交于A、C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接BC，若△ABC的面积为4，则k的值为　﹣4　 ．
【解答】解：∵正比例函数y＝mx（m＜0）与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象相交于A、C两点，
∴点A和点C关于坐标原点O对称，
∴OA＝OC．
∵△ABC的面积为4，
∴S△ABO＝＝2．
∵AB⊥x轴，
∴S△ABO＝＝2，
解得k＝±4．
又∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
17．如图，直线y＝mx+n与反比例函数的图象交于A（2，3），B（6，t）两点，与坐标轴分别交于点C和点D，连接OA，OB．
（1）求直线AB与反比例函数的表达式．
（2）求△OAB的面积．
（3）观察该函数图象，请直接写出不等式的解集．
【解答】解：（1）由题意，得：k＝2×3＝6t，
∴k＝6，t＝1，
∴反比例函数的解析式为：，B（6，1），
把A（2，3），B（6，1）代入一次函数解析式，得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为：
（2）∵，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝8，
∴C（0，4），D（8，0），
∵A（2，3），B（6，1），
∴△OAB的面积为；
（3）由图象可知，的解集为：2＜x＜6．
18．如图，反比例函数0）的图象与一次函数y＝kx+6的图象交于点B（1，5），C（n，1）．
（1）求m和k的值；
（2）求点C的坐标，并根据图象直接写出关于x的不等式≤kx+6（x＞0）的解集；
（3）连接OB，OC，求△BOC的面积．
【解答】解：（1）∵点B（1，5）在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴m＝1×5＝5，
∵点B（1，5）在一次函数y＝kx+6的图象上，
∴k+6＝5，
∴k＝﹣1；
（2）∵点C（n，1）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝＝5，
∴点C的坐标为（5，1），
观察图象，关于x的不等式≤kx+6（x＞0）的解集为1≤x≤5；
（3）设直线与x轴的交点为D，
令y＝0，则y＝﹣x+6得，﹣x+6＝0，解得x＝6，
∴D（6，0），
∴S△BOC＝S△BOD﹣S△COD＝×6×5﹣×6×1＝15﹣3＝12．
19．如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式的解集．
【解答】解：（1）将A（﹣3，1），C（﹣4，0）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x+4，
将A（﹣3，1）代入，
得m＝﹣3，
∴反比例的解析式为y＝﹣（x＜0）；
（2）∵直线AC的解析式为y＝x+4与y轴交点D，
∴点D的坐标为（0，4），
由，解得或，
∴点B的坐标为（﹣1，3），
∴△AOB的面积＝S△AOD﹣S△BOD＝＝4；
（3）观察图象，当x＜0时，关于x的不等式的解集是x＜﹣3或﹣1＜x＜0．
20．如图，一次函数y＝x+4的图象与y轴交于点C，与反比例函数y＝的图象交于B（﹣1，m），A（n，1）两点．
（1）求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△OAB的面积；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
【解答】解：（1）把B（﹣1，m）、A（n，1）两点的坐标代入y＝x+4，
得m＝﹣1+4＝3，n+4＝1，n＝﹣3，
则B（﹣1，3）、A（﹣3，1）．
把A（﹣3，1）代入y＝，得k＝﹣3×1＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）∵一次函数y＝x+4的图象与y轴交于点C，
∴C（0，4），OC＝4，
∵B（﹣1，3）、A（﹣3，1），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝＝4；
（3）作B点关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P点，则B'（﹣1，﹣3），
∵PA+PB＝PB'+PA＝AB'，
∴此时PA+PB的值最小，
设直线AB'的解析式为y＝mx+n，
把点B'（﹣1，﹣3），A（﹣3，1）的坐标代入y＝mx+n，得，
解得，
∴直线ab'的解析式为y＝﹣2x﹣5，
当y＝0时，x＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，0）．
21．如图，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点P在y轴上．
（1）求b和k的值；
（2）当PA+PB最小时，求点P的坐标；
（3）当x+b＜时，请直接写出x的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，2），
把A（﹣1，2）代入两个解析式得：2＝×（﹣1）+b，2＝﹣k，
解得：b＝，k＝﹣2；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，此时点P即是所求，如图所示．
联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，
解得：或，
∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．
∵点A′与点A关于y轴对称，
∴点A′的坐标为（1，2），
设直线A′B的解析式为y＝mx+n，
则有，解得：，
∴直线A′B的解析式为y＝x+．
令x＝0，则y＝，
∴点P的坐标为（0，）．
（2）观察函数图象，发现：
当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴当x+b＜时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0．
22．某饮水机开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数．若在水温为20℃时开始加热，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）在水温下降的过程中，求水温y（℃）关于通电时间x（min）的函数表达式；
（2）若水温从20℃开始加热至100℃，然后下降至20℃，在这一过程中，水温不低于40℃的时间有多长？
【解答】解：（1）设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，
由题意得，点（4，100）在反比例函数的图象上，
∴，
解得：k＝400，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是；
（2）解：在加热过程中，水温为40℃时，20x+20＝40，
解得：x＝1，
在降温过程中，水温为40℃时，，
解得：x＝10，
∵10﹣1＝9，
∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min．
23．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段：当20≤x≤40时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：
（1）求注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式；
（2）已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受．
【解答】解：（1）图象经过点（20，48），
设，
则，解得k＝960，
∴；
当x＝40时，，
∴D（40，24），
∴A（0，24），
当0≤x＜10时，图象是线段AB，则该段函数是一次函数，点B（10，48），
设y＝mx+n，
则，
解得，
∴y＝2.4x+24（0≤x＜10）；
当10≤x＜20时，y＝48，
∴，
（2）当y＝30时，30＝2.4x+24，
x＝2.5，
当y＝30时，，
x＝32，
注意力指标不低于30的时间为32﹣2.5＝29.5（分钟），
∵29.5÷8＝3.6875，
∴这节课张老师至多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受．
24．为了预防流感，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，解决以下问题：
（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
【解答】解：（1）设正比例函数解析式是y＝kt，
反比例函数解析式是y＝，
把点（3，）代入反比例函数的解析式，得：＝，
解得：m＝，
∴反比例函数的解析式是y＝．
当y＝1时，代入上式得t＝，
把t＝时，y＝1代入正比例函数的解析式是y＝kt，得：k＝，
∴正比例函数解析式是y＝t；
综上所述，y＝，
（2）由题意得＜0.25，
解得t＞6，
答：至少需要经过6小时后，学生才能进入教室．

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