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滚动习题(九)
[范围§4~§5]
(时间:45分钟　分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.已知不同的直线a,b和平面α,且a,b分别是直线a,b的方向向量,则下列说法中正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.若a∥α,b∥α,则a∥b
B.若a∥b,b∥α,则a∥α
C.若a∥α,b⊥α,则a⊥b
D.若a⊥b,b∥α,则a⊥α
2.如图所示,平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于点D,E,且AD∶DB=AE∶EC,则BC与α的位置关系是 (　 )
A.异面 B.相交
C.平行或相交 D.平行
3.设a,b,c是空间中不同的三条直线,α,β是不同的平面,则下列推导正确的个数是 (　 )
① a∥b;② a∥α;
③ a⊥b;④ a⊥β;
⑤ α∥β.
A.1 B.2 C.3 D.4
4.在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,把该菱形沿对角线AC折起,使折起后BD=,则二面角B-AC-D的余弦值为 (　 )
A. B. C. D.
5.[2024·浙江金华高一期中] 下列图中,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则不满足MN∥平面ABC的图是 (　 )
A B C D
6.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,EF是△BCD的中位线,AC与EF交于点G,将△CEF沿EF折起,使点C到达点P位置,且P 平面ABD,连接PA,PG.给出下列结论:
①BD∥平面PEF;
②平面PAG⊥平面ABD;
③直线PF与直线AG不垂直.
其中所有正确结论的序号为 (　 )
A.①②③ B.①②
C.①③ D.②③
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.[2024·广州高一期中] 如图,在四面体ABCD中,点P,Q,M,N分别是棱AB,BC,CD,AD的中点,四边形PQMN是正方形,则下列结论正确的为 (　 )
A.AC∥平面PQMN
B.异面直线PM与BD的夹角为60°
C.AC⊥BD
D.BD⊥平面ACD
8.如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAC⊥平面ABC,过点B且与AC平行的平面α分别与棱SA,SC交于点E,F,Q为棱BC上的动点,若SA=SC=BA=BC=2,AC=2,则下列结论正确的是 (　 )
A.AC∥EF
B.若E,F分别为SA,SC的中点,则四棱锥B-AEFC的高为
C.线段EQ的最小值为
D.若E,F分别为SA,SC的中点,则BF与SA夹角的余弦值为
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l⊥m,②m∥α,③l⊥α,以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个真命题:　　　　　　　　　　.
10.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC,则△ABC的形状是　　　　.
11.[2024·安徽淮南高一期中] 如图,在三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,△PAC是等腰直角三角形,PA=6,AB⊥BC,CH⊥PB,点H在棱PB上,D为PA的中点,则当△CDH的面积最大时,CB=　　　　.
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)如图所示,几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体,求证:
(1)AD1∥平面C1BD;
(2)AD1⊥平面A1DC.
13.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N,Q分别为BC,PA,PB的中点.
(1)证明:平面MNQ∥平面PCD.
(2)在棱PD上是否存在一点E,使得MN∥平面ACE 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
14.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,△PAD为等边三角形,AD∥BC,AD⊥AB,AD=AB=2BC=2.
(1)求证:AD⊥PC;
(2)点N在棱PC上运动,求△ADN面积的最小值;
(3)点M为PB的中点,在棱PC上找一点Q,使得AM∥平面BDQ,求的值.滚动习题(九)
1.C　[解析] 对于A,若a∥α,b∥α,则直线a与b平行或异面或相交,故A错误;对于B,若a∥b,b∥α,则a α或a∥α,故B错误;对于C,若a∥α,设过a的一个平面与α相交于直线c,则a∥c,又因为b⊥α,c α,所以b⊥c,所以b⊥a,所以a⊥b,故C正确;对于D,若a⊥b,b∥α,则a与α相交或a∥α或a α,故D错误.故选C.
2.D　[解析] 在△ABC中,因为=,所以DE∥BC,又BC 平面α,DE 平面α,所以BC∥平面α.故选D.
3.C　[解析] a∥b,①正确; a∥α或a α,②错误; a⊥b,③正确; a∥β或a β或a与β相交,④错误; α∥β,⑤正确.综上,推导正确的有3个,故选C.
4.B　[解析] 易知AC=1,取AC的中点O,连接DO,BO,如图所示.在等边三角形ACD和等边三角形ABC中,DO⊥AC,BO⊥AC,∴∠DOB为二面角B-AC-D的平面角.∵DO==,BO==,BD=,∴△DOB为等边三角形,则
∠DOB=60°,∴二面角B-AC-D的余弦值为.故选B.
5.D　[解析] 对于A,如图①所示,G,F为正方体的顶点,连接GF,易得AC∥GF,MN∥GF,则MN∥AC,又MN 平面ABC,AC 平面ABC,所以MN∥平面ABC;对于B,如图②所示,E为所在棱的中点,连接EA,EC,EB,易得AE∥BC,则A,B,C,E四点共面,又易知MN∥BE,且MN 平面ABC,BE 平面ABC,所以MN∥平面ABC;对于C,如图③所示,点D为正方体所在棱的中点,连接DA,DC,DB,易得AB∥CD,则A,B,C,D四点共面,又BD∥MN,MN 平面ABC,BD 平面ABC,所以MN∥平面ABC;对于D,如图④所示,连接AM,BN,由已知条件及正方体的性质可知四边形AMNB是等腰梯形,且BN∥AM,所以直线AB与直线MN相交,又AB 平面ABC,所以直线MN与平面ABC不平行.故选D.
6.B　[解析] 由题知EF∥BD,而EF 平面PEF,BD 平面PEF,因此BD∥平面PEF,①正确;由四边形ABCD为菱形,得BD⊥AC,又EF∥BD,所以EF⊥AG,EF⊥PG,而AG∩PG=G,AG,PG 平面PAG,则EF⊥平面PAG,又EF 平面ABD,因此平面PAG⊥平面ABD,②正确;显然∠PGA是二面角P-EF-A的平面角,在△CEF沿EF折起过程中,∠PGA会变化,且∠PGA∈(0°,180°),当∠PGA=90°时,AG⊥PG,因为AG⊥EF,PG∩EF=G,PG,EF 平面PEF,所以AG⊥平面PEF,而PF 平面PEF,于是PF⊥AG,③错误.所以所有正确结论的序号为①②.故选B.
7.AC　[解析] 对于选项A,∵点P,Q分别是棱AB,BC的中点,∴PQ∥AC,∵PQ 平面PQMN,AC 平面PQMN,∴AC∥平面PQMN,故A正确;对于选项B,∵点Q,M分别是棱BC,CD的中点,∴MQ∥BD,∴∠PMQ为异面直线PM与BD的夹角,又四边形PQMN是正方形,
∴∠PMQ=45°,即异面直线PM与BD的夹角为45°,故B错误;对于选项C,∵四边形PQMN是正方形,∴MN⊥QM,又点P,Q,M,N分别是棱AB,BC,CD,AD的中点,∴MN∥AC,QM∥BD,∴AC⊥BD,故C正确;对于选项D,假设BD⊥平面ACD,则BD⊥DC,但由题意知BD与DC不一定垂直,∴假设不成立,故D错误.故选AC.
8.ABD　[解析] 对于A,由题意得AC∥平面BEF,平面BEF∩平面SAC=EF,AC 平面SAC,所以AC∥EF,所以A选项正确.对于B,如图,取AC的中点为H,连接BH,由题可得EF=AC=,因为AB=BC,所以BH⊥AC,又平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,BH 平面ABC,所以BH⊥平面SAC.因为BA=BC=2,AC=2,所以BA2+BC2=AC2,所以BA⊥BC,所以四棱锥B-AEFC的高BH=AC=,所以B选项正确.对于C,在平面SAC中,过E作EM⊥AC,垂足为M,因为平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,EM 平面SAC,所以EM⊥平面ABC,又BC 平面ABC,所以EM⊥BC.在平面BAC中,过M作MN⊥BC,垂足为N,连接EN,因为MN∩EM=M,MN,EM 平面NEM,所以BC⊥平面NEM,又EN 平面NEM,所以BC⊥EN.设AM=x,在等腰直角三角形SAC中,有EM=x,MC=AC-AM=2-x,在等腰直角三角形BAC中,有MN=MC·sin=(2-x)·=2-x,由勾股定理可知EN2=EM2+MN2=x2+=x2-2x+4=+,又0≤x≤,所以当x=时,EN2取得最小值,所以当AM=,且N,Q重合时,线段EQ取得最小值,所以C选项不正确.对于D,连接FH,则FH=SA=1,FH∥SA,所以∠HFB即为异面直线BF与SA的夹角,因为BH⊥平面SAC,所以BH⊥FH,所以BF==,所以cos∠HFB===,所以D选项正确.故选ABD.
9.若①且③,则②(或“若②且③,则①”)　[解析] 将所给论断中的两个作为条件,剩余一个作为结论,得到如下三个命题:(1)若l⊥α,m∥α,则l⊥m,正确;(2)若l⊥α,l⊥m,则m∥α,正确;(3)若l⊥m,m∥α,则l⊥α或l与α相交但不垂直或l∥α.故答案为“若①且③,则②”或“若②且③,则①”.
10.直角三角形　[解析] 过A作AM⊥PC于M,因为平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩平面PBC=PC,AM 平面PAC,所以AM⊥平面PBC,又BC 平面PBC,所以AM⊥BC.因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以PA⊥BC,又PA,AM 平面PAC,PA∩AM=A,所以BC⊥平面PAC,又AC 平面PAC,所以BC⊥AC,即△ABC是直角三角形.
11.　[解析] 因为PC⊥平面ABC,AB 平面ABC,所以PC⊥AB,又AB⊥BC,PC∩BC=C,PC,BC 平面PBC,所以AB⊥平面PBC,又CH 平面PBC,所以AB⊥CH.因为CH⊥PB,AB∩PB=B,AB,PB 平面PBA,所以CH⊥平面PBA,又DH 平面PBA,所以CH⊥DH,则S△CDH=.因为PC⊥平面ABC,AC 平面ABC,所以PC⊥AC,又PA=6,D为PA的中点,△PAC是等腰直角三角形,所以PC=AC=3,CD=3,所以CH2+DH2=CD2=9≥2CH·DH,则CH·DH≤,当且仅当CH=DH=时等号成立,此时S△CDH取得最大值,设CB=x,因为PC⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以PC⊥BC,在Rt△PCB中,PB==,由=,即=,解得x=.
12.证明:(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,C1D1∥A1B1∥AB,C1D1=A1B1=AB,所以四边形ABC1D1是平行四边形,所以AD1∥BC1,又BC1 平面C1BD,AD1 平面C1BD,所以AD1∥平面C1BD.
(2)因为CD⊥平面A1ADD1,AD1 平面A1ADD1,所以CD⊥AD1,又A1D⊥AD1,A1D∩CD=D,A1D,CD 平面A1DC,所以AD1⊥平面A1DC.
13.解:(1)证明:∵底面ABCD是平行四边形,M,N,Q分别为BC,PA,PB的中点,∴NQ∥AB∥CD,MQ∥PC,又CD 平面PCD,PC 平面PCD,NQ 平面PCD,MQ 平面PCD,∴NQ∥平面PCD,MQ∥平面PCD.∵NQ∩MQ=Q,且NQ,MQ 平面MNQ,∴平面MNQ∥平面PCD.
(2)当E为PD的中点时,满足题意,证明如下.连接NE,∵N为PA的中点,E为PD的中点,∴NE∥AD,且NE=AD.∵四边形ABCD为平行四边形,M为BC的中点,
∴MC∥AD,MC=AD.∴NE∥MC,NE=MC,
∴四边形MCEN为平行四边形,∴MN∥CE,又MN 平面ACE,CE 平面ACE,∴MN∥平面ACE.∴在棱PD上存在一点E,使得MN∥平面ACE,且=.
14.解:(1)证明:如图①,取AD的中点H,连接PH,CH,则AH∥BC且AH=BC,又AD⊥AB,所以四边形ABCH为矩形,所以CH⊥AD.因为△PAD为等边三角形,
所以PH⊥AD,又PH∩CH=H,PH,CH 平面PHC,
所以AD⊥平面PHC,又PC 平面PHC,所以AD⊥PC.
(2)如图①,连接HN,因为AD⊥平面PHC,HN 平面PHC,所以AD⊥HN,所以S△ADN=AD·HN=HN.
要使△ADN的面积最小,则线段HN的长最小,
当且仅当HN⊥PC时线段HN的长取得最小值,
因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PH 平面PAD,所以PH⊥平面ABCD,
又HC 平面ABCD,所以PH⊥HC.
在Rt△HPC中,CH=2,PH=,
所以PC==,
当HN⊥PC时,HN===,
所以△ADN面积的最小值为.
(3)如图②,连接AC,交BD于点G,连接MC,交BQ于点F,连接FG,因为AD∥BC,所以△CGB∽△AGD,又AD=2BC=2,所以==.
因为AM∥平面BDQ,且AM 平面ACM,平面BDQ∩平面ACM=GF,所以GF∥AM,所以==.
在△PBC中,过点M作MK∥PC,交BQ于K,则有==2.在△PBQ中,MK∥PQ,点M为PB的中点,所以PQ=2MK,所以PQ=4CQ,即=4.

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