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模块素养测评卷
1.B　[解析] 由题可得==1+i,∴的共轭复数为1-i,故选B.
2.A　[解析] 因为y=sin=sin,所以只需将函数y=sin的图象向左平移个单位长度,就可以得到y=sin的图象.故选A.
3.B　[解析] 对于A,由非零向量a,b共线,得a与b的方向相同或相反,所以A错误;易知B正确;对于C,A,B,C,D四点不一定在一条直线上,如平行四边形ABCD的四个顶点不共线,但满足和共线,所以C错误;对于D,当a≠0,b=0时,不存在λ∈R,使a=λb,所以D错误.故选B.
4.A　[解析] cos 2α+cos 2β=cos[(α+β)+(α-β)]+cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)+cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=2cos(α+β)cos(α-β)=2(cos αcos β-sin αsin β)(cos αcos β+
sin αsin β)=2××=,所以=,故选A.
5.D　[解析] 对于A,由l⊥m,l⊥n,m α,n α,不能推出l⊥α,缺少条件m与n相交,故A不正确.对于B,由l⊥n,m⊥n,不能推出l∥m,还可能l与m异面或者相交,故B不正确.对于C,若m∥α,n∥β,α⊥β,则m与n平行或相交或异面,故C不正确.对于D,l∥β,则在β内一定存在一条直线s使得l∥s,又l⊥α,所以s⊥α,则α⊥β,故D正确.故选D.
6.B　[解析] =+=+=+(+)=+.故选B.
7.D　[解析] 设截面圆半径为r,由截面面积为π,得πr2=π,可得r=1.又圆心与球心间的距离d=1,所以球的半径R==,所以根据球的体积公式知V球==,故选D.
8.B　[解析] 由题意知∠CAM=45°,∠AMC=105°,所以∠ACM=30°.在Rt△ABM中,AM==.在△ACM中,由正弦定理得=,所以CM==.在Rt△DCM中,CD=CM·sin 60°===26(米).故选B.
9.AD　[解析] 对于A,由正弦定理得=,因为sin B>sin C,所以b>c,则B>C,故A正确;对于B,因为a=2,b=4,A=,所以由正弦定理得=,则sin B===,因为a>b,所以A>B,则B∈,所以△ABC有一解,故B错误;对于C,因为bcos B-ccos C=0,所以sin Bcos B-sin Ccos C=0,即
sin 2B=sin 2C,所以2B=2C或2B+2C=π,即B=C或B+C=,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形,故C错误;对于D,因为△ABC的面积S=(a2+b2-c2),所以absin C=×2abcos C,即sin C=cos C,又C∈(0,π),所以C=,故D正确.故选AD.
10.BC　[解析] 根据题图可得f(x)的最小正周期T满足T=,则T==π,∴ω=2.∵f(x)的图象过点(0,),∴2sin φ=,即sin φ=,∵0<φ<π,∴φ=或φ=.当φ=时,f=2sin=1不是f(x)的最大值,不合题意,当φ=时,f=2sin=2,符合题意,则φ=,A错误;f(x)=2sin,则g(x)=f=2sin=2sin,由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),∴函数g(x)的单调递减区间为(k∈Z),B正确;∵x∈,∴2x+∈,∴函数g(x)在区间上单调递增,C正确;∵g=2sin π=0不是g(x)的最值,∴直线x=不是函数g(x)的图象的对称轴,D错误.故选BC.
11.BCD　[解析] 由题意可将该四棱锥补形为一个长方体,易知球心O为长方体的体对角线的中点,即为PC的中点.对于A,连接EO,DO,则EO∥AD,EO=AD,所以在梯形ADOE中,AE与OD不平行.假设平面AEF∥平面PCD,则由平面AEOD∩平面AEF=AE,平面AEOD∩平面PCD=OD,可得AE∥OD,这与AE与OD不平行相矛盾,故A错误.对于B,由题可知球O的直径2R=PC==2,所以半径R=,故B正确.对于C,点E为PB的中点,则P,B两点到平面AEF的距离相等,同理点F为BC的中点,则B,C两点到平面AEF的距离相等,故C正确.对于D,设球心O到平面AEF的距离为d,截面圆的半径为r,由题意可知,球心O到平面AEF的距离等于点C到平面AEF的距离,等于点B到平面AEF的距离,因为AE=,AF=2,EF=,所以AE2+EF2=AF2,即AE⊥EF.在三棱锥B-AEF中,由等体积法可得VB-AEF=VE-ABF,即×××·d=××2×2×1,解得d=,所以r2=R2-d2=6-=,所以截面圆的面积为πr2=,故D正确.故选BCD.
12.-4　[解析] 由题意得2a-b=(4,4-y),所以4-y=2×4,解得y=-4.
13.　[解析] 方法一:因为sin=,所以cos=1-2sin2=1-2×=,
所以sin 2x=cos=.
方法二:由sin=,得(cos x-sin x)=,所以cos x-sin x=,两边平方得1-sin 2x=,所以sin 2x=.
14.36π　[解析] 由题意知△SBC与△SAC都是等腰直角三角形,且∠SBC=∠SAC=90°,连接OA,OB,则OA⊥SC,OB⊥SC,OA=OB=SC,∵平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,OB 平面SCB,∴OB⊥平面SCA.设球O的半径为r,则由题可得S△SAC·OB=××2r×r×r=9,解得r=3,故球O的表面积为4πr2=36π.
15.解:(1)∵向量a-kb与ka-b共线,且向量a,b不共线,
∴可设a-kb=λ(ka-b),
故λk=1,-k=-λ,∴k=1或k=-1.
(2)∵(a+b)·(a-2b)=-2,∴a2-a·b-2b2=-2,
∴|a|2-|a|·|b|cos-2|b|2=-2,
又|a|=|b|=2,a与b的夹角为θ,∴4-4cos θ-2×4=-2,
∴cos θ=-,又θ∈(0,π),∴θ=.
16.解:(1)f(x)=2sin ωx·cos ωx-2cos2ωx=sin 2ωx-(1+cos 2ωx)=sin 2ωx-cos 2ωx-1=2sin-1,
因为f(x)的最小正周期为,ω>0,所以=,则ω=.
(2)由(1)知f(x)=2sin-1,令2kπ-≤3x-≤2kπ+,k∈Z,解得-≤x≤+,k∈Z.
则当k=-2时,-≤x≤-;当k=-1时,-≤x≤-;
当k=0时,-≤x≤.
所以f(x)在[-π,0]上的单调递增区间为,.
17.解:(1)由题意知cos∠ABC==.
设AD=3m,CD=m(m>0),在△ABC中,cos∠ABC==,所以16m2=a2+4-a①.
而cos A==,所以4m2=a2-12②.
由①②得3a2+a-52=0,解得a=4(负值舍去),所以BC=4.
(2)由(1)知cos∠ABC=,而∠ABC为三角形内角,
所以sin∠ABC==.
因为=,所以S△ABD=S△ABC.
在△ABC中,b2=42=a2+c2-2accos∠ABC=a2+c2-ac≥ac,
所以ac≤,当且仅当a=c=时取等号,所以S△ABD=S△ABC=×acsin∠ABC≤×××=,
所以△ABD面积的最大值为.
18.解:(1)证明:∵DF=2FC,BE=2EC,∴在△BCD中,EF∥BD.
∵EF 平面PEF,BD 平面PEF,∴BD∥平面PEF.
连接AF,交BD于点H,连接GH.
由题意得△ABH∽△FDH,且=,∴AH=HF,
又AG=GP,∴在△AFP中,GH∥PF.
∵PF 平面PEF,GH 平面PEF,∴GH∥平面PEF.
又GH 平面GBD,BD 平面GBD,且GH∩BD=H,
∴平面GBD∥平面PEF.
(2)过点G作GM⊥AD,垂足为M,
∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,GM 平面PAD,
∴GM⊥平面ABCD,易得GM=×=.在平面ABCD内作MN⊥BD,垂足为N,连接GN,易证BD⊥平面MNG.
∵GN 平面GBD,MN 平面ABD,∴∠MNG即为二面角G-BD-A的平面角.
∵MN=×=,∴在Rt△MNG中,tan∠MNG==,
∴二面角G-BD-A的正切值为.
19.解:(1)证明:依题意,g=2sin-b=2sin-b,
由g为偶函数,得-+φ=+kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z,
因为|φ|<,所以φ=-,
则g(x)=2sin-b.
又gg==(1-b)(2-b)=b2-3b+2,所以gg+3b-b2=2,为定值.
(2)由(1)得f(x)=-b,令t=2x-,
由x∈,得t∈,
令m(t)=2sin t+1,t∈,则易知m(t)在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,
m=2sin+1=0,m=2sin+1=-1,m=2sin+1=0,m=2sin+1=3,m=2sin+1=0,可知函数y=|m(t)|在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,=0,=1,=0,=3,=0.
作出y=|m(t)|与y=b的大致图象,如图所示,则两函数图象交点的个数等于f(x)在内的零点个数,由图可知b∈[0,3].
当b=0时,f(x)在内有3个零点x1,x2,x3且满足2(x1+x2+x3)-3×=--+=,此时X=x1+x2+x3=;
当b∈(0,1)时,f(x)在内有4个零点x1,x2,x3,x4,且满足2(x1+x2+x3+x4)-4×=+=0,
此时X=x1+x2+x3+x4=;
当b=1时,f(x)在内有3个零点x1,x2,x3,且满足2(x1+x2+x3)-3×=-+=,此时X=x1+x2+x3=;
当b∈(1,3)时,f(x)在内有2个零点x1,x2,且满足2(x1+x2)-2×=-+=π,此时X=x1+x2=;
当b=3时,f(x)在内有1个零点x1,且满足2x1-=,此时X=x1=.
综上,X的所有可能取值为,,.模块素养测评卷
第一章~第六章
时间:120分钟　分值:150分　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数(i为虚数单位)的共轭复数是 (　　)
A.1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i
2.要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin的图象 (　　)
A.向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
3.下列说法中正确的是 (　　)
A.若非零向量a,b共线,则向量a,b的方向相同
B.在△ABC中,D是边BC的中点,则=(+)
C.若向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上
D.若a∥b,则存在λ∈R,使a=λb
4.[2024·河南驻马店高一期末] 已知cos αcos β=,sin αsin β=-,则= (　　)
A. B. C. D.
5.设α,β是互不重合的平面,l,m,n是互不重合的直线,则下列说法正确的是 (　　)
A.若m α,n α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α
B. 若l⊥n,m⊥n,则l∥m
C. 若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n
D. 若l⊥α,l∥β,则α⊥β
6.如图,已知点M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且=2,则向量= (　　)
A.+ B.+
C.+ D.+
7.用与球心距离为1的平面去截球,截面面积为π,则球的体积为 (　　)
A. B. C. 8π D.
8.如图,游客小明同学为了计算塔CD的高度,在该塔的正东方向找到一座建筑物AB,高为(13-13)米,在它们之间的地面上的点M(B,M,D在同一水平面上且三点共线)处测得楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则该塔的高度为 (　　)
A.24米 B.26米
C.28米 D.30米
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 (　　)
A.若sin B>sin C,则B>C
B. 若a=2,b=4,A=,则△ABC有两解
C. 若bcos B-ccos C=0,则△ABC一定为等腰直角三角形
D. 若△ABC的面积S=(a2+b2-c2),则C=
10.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图,把函数f(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度,可得到函数g(x)的图象,则下列结论正确的是 (　　)
A.φ=
B.函数g(x)的单调递减区间为,k∈Z
C.函数g(x)在区间上单调递增
D.直线x=是函数g(x)的图象的一条对称轴
11.如图,四棱锥P-ABCD的顶点都在球心为O的球面上,且PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,PA=AB=2,AD=4,设E,F分别是PB,BC的中点,则 (　　)
A.平面AEF∥平面PCD
B.四棱锥P-ABCD外接球的半径为
C.P,B,C三点到平面AEF的距离相等
D.平面AEF截球O所得的截面面积为π
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥(2a-b),则y=　　　　.
13.已知sin=,则sin 2x的值为　　　　.
14.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知不共线的向量a,b满足|a|=|b|=2.
(1)若向量a-kb与ka-b共线,求实数k的值;
(2)若(a+b)·(a-2b)=-2,求a与b的夹角θ的值.
16.(15分)[2024·广东湛江高一期中] 已知函数f(x)=2sin ωx·cos ωx-2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)在[-π,0]上的单调递增区间.
17.(15分)如图,在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b2-c2=a2-ac,D为AC上一点且=.
(1)若AB=2,BD=,求BC的长;
(2)若AC=4,求△ABD面积的最大值.
18.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,底面四边形ABCD为直角梯形,
∠BAD=90°,CD∥AB,CD=3AB=3AD=3,△PAD为正三角形,E,F,G分别在棱BC,CD,AP上,且DF=2FC,BE=2EC,PG=2GA.
(1)证明:平面GBD∥平面PEF;
(2)求二面角G-BD-A的正切值.
19.(17分)[2024·南昌高一期末] 已知函数g(x)=2sin(2x+φ)-b,函数g为偶函数.
(1)证明:gg+3b-b2为定值.
(2)若函数f(x)=|g(x)+b+1|-b在内存在零点,且零点为xi(i=1,2,…,n)(n∈N*),记X=x1+x2+…+xn,请写出X的所有可能取值.

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