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6.3　球的表面积和体积
第1课时　球的表面积和体积
1.B　[解析] 设球的半径为R,则由已知得πR3=,解得R=2.故球的表面积S表=4πR2=16π.
2.C　[解析] 设半径最小的球的半径为r,则另两个球的半径分别为2r,3r,所以各球的表面积分别为4πr2,16πr2,36πr2,所以半径最大的球的表面积与其余两个球的表面积之和的比值为=.故选C.
3.B　[解析] 由两个球的表面积之比为4∶9,可得这两个球的半径之比为2∶3,故这两个球的体积之比为8∶27.
4.A　[解析] 设球的半径为r,则S1=4πr2,设正方体的棱长为a,则S2=6a2.∵球和正方体的体积相等,∴πr3=a3,则a=r,故S2=6r2,∴===<1,即S2>S1.故选A.
5.B　[解析] 设球心为O,截面圆心为O1,连接OO1,则OO1垂直于截面圆O1,设AB为截面圆的一条直径,过OO1及AB作球的轴截面,如图所示.在Rt△OO1A中,O1A=cm,OO1=2 cm,∴球的半径R=OA==3(cm),∴球的体积V=π×33=36π(cm3).故选B.
6.C　[解析] 设两个球的半径分别为R,r(R>r),则即所以R-r=2.
7.D　[解析] 设因膨胀球的半径由r变为R,则4πr2·(1+21%)=4πR2,∴R==r=r,∴半径增加了.故选D.
8.D　[解析] 因为最大截面圆的面积为4π,最小截面圆的面积为π,所以截面圆的最大半径为2,最小半径为1,所以OE2=22-12=3,得OE=.故选D.
9.BD　[解析] 依题意,圆柱的底面半径为R,圆柱的高为2R,则圆柱的体积为πR2×2R=2πR3,∴A错误;圆锥的底面半径为R,母线长为R,则圆锥的侧面积为πR×R=πR2,∴B正确;∵圆柱的侧面积为4πR2,圆锥的表面积为πR2+πR2,二者不相等,∴C错误;∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3,∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2,∴D正确.故选BD.
10.　[解析] 设大球的半径为R,则πR3=2×π×13,∴R3=2,∴R=.
11.576π cm2　[解析] 设球的半径为R cm,则π×9=πR3,解得R=12,故这个球的表面积S=4π×R2=4π×122=576π(cm2).
12.　[解析] 设两圆的圆心分别为O1,O2,球心为O,公共弦为AB,AB的中点为E,连接O1E,O2E,OO1,OO2,O1O2,OE,OA,则四边形OO1EO2为矩形,∴O1O2=OE,又在Rt△OAE中,OA=2,AE=1,∴OE==,∴O1O2=.
13.解:两半球球面面积之和S1=4πr2=4π,圆柱的侧面积S2=2πrl=2π×1×3=6π,故该组合体的表面积为4π+6π=10π.两半球的体积之和V1=πr3=π,圆柱的体积V2=πr2·l=π×12×3=3π,
故该几何体的体积为V1+V2=π+3π=π.
14.解:作出球的与两个平行截面垂直的轴截面,如图所示,
∵两个平行截面的面积分别为5π,8π,
∴两个截面圆的半径分别为r1=,r2=2.∵球心到两个截面的距离d1==,
d2==,
∴d1-d2=-=1,∴R2=9,∴R=3.
15.4　[解析] 由题意知,北纬30°纬线圈的长度为12π cm,则该纬线圈的半径r=6 cm,
又∠ABO=30°,所以该地球仪的半径R===4(cm).
16.解:作CO⊥AB,垂足为O,如图所示,
因为三角形ABC是等腰直角三角形,
所以O为半圆的圆心.
因为半径r=6,所以AC=BC=6,CO=6,所以几何体是一个半径为6的球内部去掉两个底面半径为6,高为6的圆锥后剩余部分.
S圆锥AO侧=S圆锥BO侧=π×6×6=36π,所以几何体的表面积S=S球+S圆锥AO侧+S圆锥BO侧=4π×62+2×36π=(144+72)π.
V圆锥AO=V圆锥BO=π×62×6=72π,所以几何体的体积V=V球-(V圆锥AO+V圆锥BO)=π×63-2×72π=144π.6.3　球的表面积和体积
第1课时　球的表面积和体积
一、选择题
1.一个球的体积是,则此球的表面积是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.12π B.16π
C. D.
2.三个球的半径之比为1∶2∶3,那么半径最大的球的表面积是其余两个球的表面积之和的 (　 )
A.1倍 B.2倍
C.倍 D.倍
3.已知两个球的表面积之比为4∶9,则这两个球的体积之比为 (　 )
A.2∶3 B.8∶27
C.4∶9 D.16∶81
4.等体积的球和正方体的表面积分别为S1与S2,则S1与S2的大小关系是 (　 )
A.S2>S1 B.S2C.S2=S1 D.无法确定
5.一平面截一球得到直径为2 cm的圆面,球心到这个平面的距离是2 cm,则该球的体积是 (　 )
A.12π cm3 B.36π cm3
C.64π cm3 D.108π cm3
6.若两个球的表面积之差为48π,且这两个球的直径所在圆的周长之和为12π,则这两个球的半径之差为 (　 )
A.4 B.3
C.2 D.1
7.一个球受热膨胀,表面积增加了21%,那么球的半径增加了 (　 )
A. B. C. D.
8.[2023·广州广雅中学高一期中] 已知E是球O内一点,过点E作球O的截面,其中最大截面圆的面积为4π,最小截面圆的面积为π,则OE的长度为 (　 )
A. B. C. D.
9.(多选题)如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论正确的是 (　 )
A.圆柱的体积为4πR3
B.圆锥的侧面积为πR2
C.圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
二、填空题
10.两个半径为1的实心铁球,熔化后铸成一个大球(不计损耗),则这个大球的半径是　　　　.
11.一个底面直径是32 cm的圆柱形水桶装入一些水,将一个球放入桶内完全淹没,水面上升了9 cm且无溢出,则这个球的表面积是　　　　.
12.已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆,若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于　　　　.
三、解答题
13.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左、右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.
14.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且距离为1,求这个球的半径R.
15.某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm,轴截面如图所示,则该地球仪的半径是
　　　　cm.
16.如图所示,已知一个半径为6的半圆面剪去了一个等腰直角三角形ABC,将剩余部分绕着直径AB所在直线旋转一周得到一个几何体,其中点C为半圆弧的中点,求该几何体的表面积和体积.(共23张PPT)
§6 简单几何体的再认识
6.3 球的表面积和体积
第1课时 球的表面积和体积
探究点一 球的表面积与体积公式的应用
探究点二 球的截面问题
【学习目标】
．了解球的结构和性质．
．了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及
体积.
3.会处理球的截面问题.
知识点一 球的表面积和体积
______,（其中 为球的半径）.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
球的体积为其表面积的 .( )
×
[解析] 球的体积，表面积，所以 .
知识点二 球的截面与切线
1.球的截面
（1）大圆与小圆
球面被经过球心的平面截得的圆称为球的______，
被不经过球心的平面截得的圆称为球的______.
大圆
小圆
（2）截面的性质
如图，设小圆的圆心为，半径为 ，球的球心
为，半径为 ，则
① 圆面 ；
② .
2.球的切线
（1）当直线与球有__________时，称直线与球相切，这一交点称为
直线与球的______.
（2）过球外一点的所有切线的切线长都______，这些切点的集合是
一个____，该圆面及所有切线围成了一个______.
唯一交点
切点
相等
圆
圆锥
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）球心与球的一个小圆圆心的连线垂直于该小圆所在平面.( )
√
（2）球的表面积等于它的大圆面积的2倍.( )
×
[解析] .
探究点一 球的表面积与体积公式的应用
例1（1） 一个球的表面积是 ，则它的体积是( )
A. B. C. D.
[解析] 设球的半径为，则由题意可知 ，故 .
所以球的体积 .
√
（2）两个球的半径之比为 ，那么这两个球的表面积之比为_____.
[解析] 设两个球的半径分别为，，表面积分别为， ，
则 .
（3）已知球的体积为 ，求球的表面积.
解：设球的半径为，则 ，解得 ，
所以球的表面积 .
变式（1） 若两个球的体积之比为 ，则这两个球的表面积之比
为( )
A. B. C. D.
[解析] 设两个球的半径分别为,,由两个球的体积之比为 ，
得,即,则这两个球的表面积的比值为 ,故选B.
√
（2）[2023·金华曙光中学高一期中]一个直径为 的大金属球，熔
化后铸成若干个直径为 的小球，如果不计损耗，那么可铸成这
样的小球的个数为( )
A.3 B.6 C.9 D.27
[解析] 由大金属球的直径为,可得其半径为 ,
所以 .
由小金属球的直径为 ,可得其半径为,
所以 .
故可铸成这样的小球的个数 ,故选D.
√
［素养小结］
解决球的表面积和体积计算问题,关键是牢记公式.设球的半径为 ,则
球的表面积公式为,球的体积公式为 ,注意系
数与次数的区别和联系.
探究点二 球的截面问题
例2 一个球内有相距 的两个平行截面，它们的面积分别为
和 ，求球的表面积.
解：（1）当截面在球心的同侧时，如图所示为球
的轴截面，， 为两截面圆的圆心，，
易知，, 三点共线，连接，， ，
则， .设球的半径为 ，
， .同理，得 .
设，则 .
在中， ，
在中， ，
联立①②可得， .
球的表面积 .
（2）当截面在球心的两侧时，， 分别为两截面圆的圆心，
，易知,, 三点共线，
连接，， ，则， .
设球的半径为， ， .
， .
设，则 .
在中， ，在中， ，
，解得 ，不合题意，舍去.
综上所述，球的表面积为 .
变式 用一个平面去截球,所得截面的面积为 ,已知球心到该截面的
距离为1,则该球的体积是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知截面圆的半径为 ,因为球心到截面的距离为1,
所以球的半径为,所以球的体积为 .
故选C.
√
［素养小结］
设球的截面圆上的一点为,球心为,截面圆的圆心为,则 是
以 为直角的直角三角形,解答球的截面问题时,常放在该直角三
角形中求解.
球的表面积与体积公式(两个公式中唯一的变量是半径
前提条件 球的半径为
球的表面积公式
球的体积公式
球的表面积公式与体积公式的联系
球的截面问题
例 已知直三棱柱的高为4,底面三角形的三条边长分别是5,12,13,球心
在三棱柱的上方，当球与上底面的三条边都相切时,球心到下底面的
距离为8,则球的体积为_ ______.
[解析] 因为直三棱柱的底面三角形的三条边长分别是5,12,13,
所以底面为直角三角形,设其内切圆的半径为 ,
则,解得 .
又直三棱柱的高为4,球心在三棱柱的上方，
且球心到直三棱柱下底面的距离为8,所以球心到上底面的距离为4,
则球的半径为 ,
所以球的体积 .6.3　球的表面积和体积
第1课时　球的表面积和体积
【课前预习】
知识点一
4πR2
诊断分析
×　[解析] 球的体积V=πR3,表面积S=4πR2,所以=.
知识点二
1.(1)大圆　小圆
2.(1)唯一交点　切点　(2)相等　圆　圆锥
诊断分析
(1)√　(2)×　[解析] (2)S球面=4πR2=4S大圆.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)D　(2)4∶9　[解析] (1)设球的半径为R,则由题意可知4πR2=16π,故R=2.所以球的体积V=πR3=π.
(2)设两个球的半径分别为r1,r2,表面积分别为S1,S2,则===.
(3)解:设球的半径为R,则πR3=π,解得R=5,
所以球的表面积S=4πR2=4π×52=100π.
变式　(1)B　(2)D　[解析] (1)设两个球的半径分别为r1,r2,由两个球的体积之比为8∶27,得=,即=,则这两个球的表面积的比值为=,故选B.
(2)由大金属球的直径为6 cm,可得其半径为3 cm,所以V大球=×π×33=36π.由小金属球的直径为2 cm,可得其半径为1 cm,所以V小球=×π×13=π.故可铸成这样的小球的个数n===27,故选D.
探究点二
例2　解:(1)当截面在球心的同侧时,如图所示为球的轴截面,O1,O2为两截面圆的圆心,AO1∥BO2,易知O,O1,O2三点共线,连接OO2,OA,OB,
则OO1⊥AO1,OO2⊥BO2.
设球的半径为R cm,
∵π·O2B2=49π,∴O2B=7 cm.
同理,得O1A=20 cm.
设OO1=x cm,则OO2=(x+9)cm.
在Rt△O1OA中,R2=x2+202①,
在Rt△OO2B中,R2=72+(x+9)2②,
联立①②可得x=15,R=25.
∴球的表面积S球=4πR2=2500π(cm2).
(2)当截面在球心的两侧时,O1,O2分别为两截面圆的圆心,O1A∥O2B,易知O,O1,O2三点共线,连接O1O2,OA,OB,则OO1⊥O1A,OO2⊥O2B.
设球的半径为R cm,∵π·O2B2=49π,∴O2B=7 cm.
∵π·O1A2=400π,∴O1A=20 cm.
设O1O=x cm,则OO2=(9-x)cm.
在Rt△OO1A中,R2=x2+400,
在Rt△OO2B中,R2=(9-x)2+49,∴x2+400=(9-x)2+49,解得x=-15,不合题意,舍去.
综上所述,球的表面积为2500π cm2.
变式　C　[解析] 由题意知截面圆的半径为,因为球心到截面的距离为1,所以球的半径为=,所以球的体积为π×()3=4π.故选C.6.3　球的表面积和体积
第1课时　球的表面积和体积
【学习目标】
　　1.了解球的结构和性质.
　　2.了解球的表面积与体积公式,并能应用它们求球的表面积及体积.
　　3.会处理球的截面问题.
◆ 知识点一　球的表面积和体积
S球面=　　　　,V球=πR3(其中R为球的半径).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
球的体积为其表面积的. (　 )
◆ 知识点二　球的截面与切线
1.球的截面
(1)大圆与小圆
球面被经过球心的平面截得的圆称为球的　　　　,被不经过球心的平面截得的圆称为球的　　　　.
(2)截面的性质
如图,设小圆的圆心为O',半径为r,球的球心为O,半径为R,则
①OO'⊥圆面O';
②R2=r2+OO'2.
2.球的切线
(1)当直线与球有　　　　　　时,称直线与球相切,这一交点称为直线与球的　　　　.
(2)过球外一点的所有切线的切线长都　　　　,这些切点的集合是一个　　　　,该圆面及所有切线围成了一个　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)球心与球的一个小圆圆心的连线垂直于该小圆所在平面. (　 )
(2)球的表面积等于它的大圆面积的2倍. (　 )
◆ 探究点一　球的表面积与体积公式的应用
例1 (1)一个球的表面积是16π,则它的体积是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.64π B.
C.32π D.
(2)两个球的半径之比为2∶3,那么这两个球的表面积之比为　　　　.
(3)已知球的体积为π,求球的表面积.
变式 (1)若两个球的体积之比为8∶27,则这两个球的表面积之比为 (　 )
A.2∶3 B.4∶9
C.∶ D.2∶
(2)[2023·金华曙光中学高一期中] 一个直径为6 cm的大金属球,熔化后铸成若干个直径为2 cm的小球,如果不计损耗,那么可铸成这样的小球的个数为 (　 )
A.3 B.6 C.9 D.27
[素养小结]
解决球的表面积和体积计算问题,关键是牢记公式.设球的半径为R,则球的表面积公式为S球面=4πR2,球的体积公式为V球= πR3,注意系数与次数的区别和联系.
◆ 探究点二　球的截面问题
例2 一个球内有相距9 cm的两个平行截面,它们的面积分别为49π cm2和400π cm2,求球的表面积.
变式 用一个平面去截球,所得截面的面积为2π,已知球心到该截面的距离为1,则该球的体积是 (　 )
A.π B.2π
C.4π D.π
[素养小结]
设球的截面圆上的一点为A,球心为O,截面圆的圆心为O1,则△AO1O是以∠AO1O为直角的直角三角形,解答球的截面问题时,常放在该直角三角形中求解.

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