资源简介

单元素养测评卷(二)
1.C　[解析] 因为点(1,4)在抛物线y=ax2上,所以4=a×12,则a=4,所以抛物线的标准方程是x2=y,则抛物线的焦点坐标为.故选C.
2.D　[解析] 因为双曲线-y2=1(a>0)的实轴长为4,即2a=4,所以a=2,所以双曲线的方程为-y2=1,其渐近线方程为y=±x,故选D.
3.B　[解析] 易知直线过定点M(1,0),由+<1得点M在椭圆内,所以直线与椭圆相交.故选B.
4.A　[解析] 由椭圆+=1得其半焦距为=2,依题意得,a2+b2=(2)2=8.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,于是-=tan 120°,即b=a.由可得所以双曲线C的方程为-=1.故选A.
5.A　[解析] 由椭圆的方程+=1可得a=3,b=2,所以c===.设|PF1|=r,则|PF2|=2a-r=6-r,由点P在第一象限可得r>6-r,即r>3.因为PF1⊥PF2,所以r2+(6-r)2=(2c)2=20,整理可得r2-6r+8=0,解得r=4或r=2(舍),即|PF1|=4,|PF2|=2,所以在Rt△PF1F2中,tan∠PF1F2===.故选A.
6.D　[解析] 因为点P在椭圆+=1(a>b>0)上,所以|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|,所以|PF1|=a,|PF2|=a.因为|PF1|-|PF2|≤|F1F2|=2c,当且仅当点P在椭圆的右顶点时取等号,即a-a≤2c,所以离心率e=≥,即≤e<1,所以该椭圆的离心率的取值范围是.故选D.
7.D　[解析] 圆C:x2+y2-4x=0的标准方程为(x-2)2+y2=4,则圆心C的坐标为(2,0),半径为2.设动圆的圆心为M(x,y),半径为r,则根据题意得r=|x|≠0,且|MC|=r+2,即=|x|+2.当x>0时,得(x-2)2+y2=(x+2)2,即y2=8x;当x<0时,得(x-2)2+y2=(-x+2)2,即y=0.所以所求圆心的轨迹方程为y2=8x(x>0)和y=0(x<0).故选D.
8.A　[解析] 由y2=8x知,抛物线的焦点为F(2,0),方程x2+y2-4x+3=0可化为(x-2)2+y2=1,表示以(2,0)为圆心,1为半径的圆,由ax-y-a-1=0,得y=a(x-1)-1,所以直线恒过定点P(1,-1).如图,过点M作ME垂直于抛物线的准线x=-2,垂足为E,过点P作PQ垂直于抛物线的准线,垂足为Q,线段PQ交抛物线于点M',连接PE,MF,则|MP|+|MN|≥|MP|+|MF|-1=|MP|+|ME|-1≥|PE|-1≥|PQ|-1=3-1=2,所以当M为过P且垂直于准线的直线与抛物线的交点(即M位于点M'处),N为线段MF与圆的交点时,|MP|+|MN|取得最小值2,故选A.
9.BCD　[解析] 若方程+=1表示椭圆,则∴14,故B正确;若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则∴14,故D正确.故选BCD.
10.BCD　[解析] 由题意知,抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线l:y=-1,因为P为抛物线x2=4y上的一个动点,所以由抛物线的定义可知,点P到焦点F(0,1)的距离等于点P到准线l:y=-1的距离,故A错误,B正确;点P到直线y=-x-2的距离d1===,当m=-2时,d1取得最小值,故C正确;设点A(1,5)到准线l:y=-1的距离为d2,点P到准线l:y=-1的距离为d3,则+=|PF|+|PA|=d3+|PA|≥d2=5+1=6,当且仅当m=1,n=时取等号,故D正确.故选BCD.
11.ACD　[解析] 对于A,由椭圆的定义知|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=4,∴△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=8,故A正确;对于B,假设椭圆C上存在点P(m,n),使得·=0,则+n2=1(-2≤m≤2,-1≤n≤1),∵F1(-,0),F2(,0),∴=(--m,-n),=(-m,-n),由·=(--m)·(-m)+n2=0,得n2=3-m2=1-,解得m=±∈[-2,2],假设成立,∴椭圆C上存在点P,使得·=0,故B错误;对于C,直线2mx-2y-2m+1=0,即直线2m(x-1)-2y+1=0恒过定点,且+=<1,故该定点在椭圆的内部,过该定点的直线和椭圆一定有交点,故C正确;对于D,设P1(x1,y1),则点P1到圆x2+y2=1的圆心的距离为|P1O|===,∵-1≤y1≤1,∴|P1O|max=2,∴|P1Q|max=|P1O|max+1=3,故D正确.故选ACD.
12.　　[解析] 由题意知F1(-2,0),F2(2,0),设点P的坐标为(x,y),则线段PF1的中点的坐标为,因为线段PF1的中点在y轴上,所以=0,即x=2,所以PF2⊥x轴,即∠PF2F1=.|PF2|==,|PF1|=2a-|PF2|=6-=,所以|PF1|-|PF2|=.
13.9　[解析] 由题意知,抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,延长PQ交准线y=-1于点M,根据抛物线的定义知,|PF|=|PM|=|PQ|+1,所以|PA|+|PQ|=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=-1=9,当且仅当点P为线段AF与抛物线的交点时,等号成立,即|PA|+|PQ|的最小值为9.
14.　[解析] 由题知,双曲线的一条渐近线的方程为y=x,则焦点F2到渐近线的距离为|PF2|==b,所以|OP|=a,所以|PF1|=a.因为cos∠POF1=-cos∠POF2,所以=-,解得c2=2a2,则离心率e=.
15.解:(1)方法一:设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),
由所求椭圆与椭圆+=1有相同焦点,得a2-b2=5.
又点Q(2,1)在所求椭圆上,∴+=1,∴a2=+5,b2=,
∴所求椭圆的标准方程是+=1.
方法二:设所求椭圆的方程为+=1(λ>-4).
∵点Q(2,1)在所求椭圆上,∴+=1,得λ=-4+,
∴所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)方法一:当所求椭圆的焦点在x轴上时,
可设所求椭圆的标准方程为+=1(a1>b1>0).
依题意有解得
由a1>b1>0知,此时不符合题意,故舍去.当所求椭圆的焦点在y轴上时,可设所求椭圆的标准方程为+=1(a2>b2>0).
依题意有解得
∴所求椭圆的标准方程为+=1.
方法二:设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
依题意有解得∴所求椭圆的方程为5x2+4y2=1,故所求椭圆的标准方程为+=1.
16.解:(1)∵点M到点F(1,0)和直线x=-1的距离相等,
∴由抛物线的定义可知,点M的轨迹是抛物线,设其方程为y2=2px(p>0),∵=1,∴p=2.∴轨迹C的方程为y2=4x.
(2)证明:由消去y,整理得x2-12x+16=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,x1x2=16.∵y1y2=(x1-4)(x2-4)=-16,∴·=x1x2+y1y2=0,∴OA⊥OB.
17.解:(1)因为点A(2,8)在抛物线y2=2px(p>0)上,所以64=4p,解得p=16,所以抛物线的方程为y2=32x,焦点F的坐标为(8,0).
(2)因为△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合,所以由三角形重心的性质可得=2,设M(x0,y0),由=(6,-8),=(x0-8,y0),得解得
所以线段BC的中点M的坐标为(11,-4).
18.解:(1)双曲线C的上焦点F的坐标为(0,a),
取y=a,代入y2-x2=a2,得x=±a,∴2a=4,∴a=2,
故双曲线C的标准方程为-=1,双曲线C的实轴长为4.
(2)由可得(k2-1)x2+2kx-3=0,且Δ=(2k)2+4×3(k2-1)>0,x1+x2=-,x1x2=-,由x1+x2=2x1x2,得-=-,解得k=3,满足Δ>0.
19.解:(1)当点P在第一象限时,设P(t,2)(t>0),则kPA==≤=,当且仅当t=2时取等号,又kPA>0,∴kPA∈.
同理,当点P在第四象限时,kPA∈.
综上所述,直线PA的斜率的取值范围是∪.
(2)证明:设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),
由 得ky2-4y+4b=0,Δ=16-16kb>0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=.
∵∠PAO=∠QAO,
∴kAP+kAQ=+==0,
即y1(x2+2)+y2(x1+2)=0,即y1y2(y2+y1)+8(y1+y2)=0,
即(y1+y2)(y1y2+8)=0,即4b+8k=0,∴b=-2k,满足Δ>0,∴直线l的方程为y=kx-2k,即y=k(x-2)(k≠0),∴直线l过定点(2,0).单元素养测评卷(二)
第二章
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知点(1,4)在抛物线y=ax2(a>0)上,则抛物线的焦点坐标为 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(1,0) B.(0,1)
C. D.
2.若双曲线-y2=1(a>0)的实轴长为4,则其渐近线方程为 (　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
3.椭圆+=1与直线y=k(x-1)的位置关系是 (　　)
A.相离 B.相交
C.相切 D.无法确定
4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为120°,且该双曲线与椭圆+=1有相等的焦距,则双曲线C的方程为 (　　)
A.-=1
B.-=1
C.x2-=1
D.-=1
5.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1的左、右焦点,P是椭圆C在第一象限内的一点,若PF1⊥PF2,则tan∠PF1F2= (　　)
A. B.2
C. D.
6.在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(a>b>0)上存在点P,使得|PF1|=3|PF2|,其中F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则该椭圆的离心率的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
7.与圆C:x2+y2-4x=0外切,又与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程是 (　　)
A.y2=8x
B.y2=x(x>0)和y=0(x<0)
C.y2=8x(x>0)
D.y2=8x(x>0)和y=0(x<0)
8.点M为抛物线y2=8x上任意一点,点N为圆 x2+y2-4x+3=0上任意一点,P为直线ax-y-a-1=0所过的定点,则|MP|+|MN|的最小值为 (　　)
A.2 B.
C.3 D.2+
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知方程+=1,则下列说法正确的为 (　　)
A.当1B.当t>4或t<1时,该方程表示双曲线
C.若该方程表示焦点在x轴上的椭圆,则1D.若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,则t>4
10.已知P(m,n)为抛物线x2=4y上的一个动点,则 (　　)
A.抛物线的准线l的方程为x=-1
B.存在一个定点和一条定直线,使得点P到定点的距离等于点P到定直线的距离
C.点P到直线y=-x-2距离的最小值等于
D.+的最小值为6
11.椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,则下列说法正确的是 (　　)
A.过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点,则△ABF1的周长为8
B.椭圆C上不存在点P,使得·=0
C.直线2mx-2y-2m+1=0与椭圆C恒有公共点
D.P1为椭圆C上一点,Q为圆x2+y2=1上一点,则点P1,Q之间的最大距离为3
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则∠PF2F1=　　　,|PF1|-|PF2|=　　　　.
13.已知P是抛物线x2=4y上的动点,点P在x轴上的投影是点Q,点A的坐标是(8,7),则|PA|+|PQ|的最小值为　　　　.
14.设F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则双曲线C的离心率为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)过点Q(2,1),且与椭圆+=1有相同的焦点;
(2)中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过点P,M.
16.(15分)已知点M到点F(1,0)和直线x=-1的距离相等,记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)若直线y=x-4与轨迹C相交于A,B两点,求证:OA⊥OB(其中O为坐标原点).
17.(15分)已知点A(2,8)在抛物线y2=2px(p>0)上,△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合.
(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标;
(2)求线段BC的中点M的坐标.
18.(17分)设双曲线 C:y2-x2=a2(a>0)的上焦点为F,过F且平行于x轴的弦长为4.
(1)求双曲线C的标准方程及实轴长;
(2)直线l:y=kx+1(k≠±1)与双曲线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且满足x1+x2=2x1x2,求实数k的值.
19.(17分)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=4x,点A(-2,0),设直线l与C交于不同的两点P,Q.
(1)若直线l⊥x轴,求直线PA的斜率的取值范围;
(2)若直线l不垂直于x轴,且∠PAO=∠QAO,证明:直线l过定点.

展开更多......

收起↑