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山东省济南市2025-2026学年高三上学期9月摸底考试数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，满足与垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 记为等差数列的前项和.若，则（ ）
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
4. 已知集合，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
5. 已知分别为双曲线左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ）
A B. C. 2 D.
6. 的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知函数，满足，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图所示的六面体中，平面平面，，若，则（ ）
A. B.
C. D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设是复数，则下列命题中正确的有（ ）
A. B. C. D.
10. 已知的面积为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，满足，点满足，记的轨迹为，则（ ）
A
B. 的方程为
C. 当直线与相切时，
D. 存在线段，使得内心在外部
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若一组样本数据的平均数为8，则数据，的平均数为___________.
13. 在正四棱台中，，设正四棱台的体积为，三棱锥的体积为，则___________.
14. 已知函数，则的最小值为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知正项数列的前项积为，且满足.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）令，求数列的前项和.
16. 有四个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，将这些小球随机排成一列.
（1）求标有数字2和4的小球不相邻的概率；
（2）一个排列中，若两个相邻小球上的数字之和为5，则称这两个小球为一组“友好球”.设表示排列中“友好球”的组数，求的分布列和数学期望.
17. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.
（1）证明：；
（2）若直线与直线所成角的余弦值为，且，求直线与平面所成角的余弦值.
18. 已知函数.
（1）讨论函数的极值点个数；
（2）若函数有两个不同的极值点，其中.
（i）证明：；
（ii）证明：.
19. 已知抛物线的焦点为是上第一象限内的点.且到距离与到的距离相等.过作的切线交轴于点.
（1）求的标准方程；
（2）求证：；
（3）记关于轴的对称点为关于轴的对称直线为为上第四象限的点（与不重合），过做的切线，分别交于两点，若，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若为定值，求的值，若不为定值，请说明理由.

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