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2024-2025 学年内蒙古呼伦贝尔市扎兰屯一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 3 + 1 = 0 的倾斜角为( )
A. 0° B. 30° C. 45° D. 60°
2.已知抛物线 2 = 2 ( > 0)的准线与圆 2 + 2 6 7 = 0 相切，则 的值为( )
A. 12 B. 1 C. 2 D. 4
3.已知数列{ }满足 1 = 1, +1 = 2 +1，则 =( )
A. 2 1 2 12 1+1 B. 2 1 C. 2 +1 D. 2 1
4.已知空间四边形 ， ， 分别是 ， 的中点，且 = ， = ， = ，用 ， ， 表示向
量 为( )
A. 1 + 1 + 1 B. 1 1 12 2 2 2 2 + 2
C. 1 1 12 + 2 + 2 D.
1
2 +
1
2
12
5
2 2
.若直线 ： + = 4 和圆 ： 2 + 2 = 4 没有交点，则过点( , )的直线与椭圆 9 + 4 = 1 的交点个数
为( )
A. 0 个 B.至多有一个 C. 1 个 D. 2 个
6.圆 2 + 2 = 4 与圆 2 + 2 + 2 6 = 0 的公共弦长为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 3
7.已知函数 = ( )的定义域是 ，其导函数 ′( )满足 ′( ) = ′( + 1)，且有 (0) = 0， (1) = 2，则
(1) + (2) + (22) + … + (29) =( )
A. 1022 B. 1024 C. 2046 D. 2048
2 2
8.已知 1， 2分别是双曲线

： 4 12 = 1 的左、右焦点， 是 的左支上一点，过 2作∠ 1 2角平分线
的垂线，垂足为 ， 为坐标原点，则| | =( )
A. 4 B. 2 C. 3 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 ( )在 0处可导，下列式子中与 ′( 0)相等的是( )

A. → 0 ( 0) ( 0 2 ) B. → 0 ( 0+ ) ( 0 )2

C. → 0 ( 0+2 ) ( + )

0 D. → 0 ( 0+ ) ( 0 2 )
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10.已知圆 ： 2 4 + 2 = 0 直线 ：( + 1) + 2 3 = 0，( ∈ )，则( )
A.直线 恒过定点(1,1)
B.存在实数 ，使得直线 与圆 没有公共点
C.当 = 3 时，圆 上恰有两个点到直线 的距离等于 1
D.圆 与圆 2 + 2 2 + 8 + 1 = 0 只有一条公切线
11.如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中，点 在线段 1 (包括端
点)上运动，则下列结论正确的是( )
A. 异面直线 与 1 所成角的取值范围是( 3 , 2 )
B. 2平面 与平面 所成夹角的余弦值取值范围是[ 2 , 1]
C.三棱锥 1 1 的体积为定值
D.当 6为 1 的中点时， 到 1的距离为 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 0 < < 2，0 < < 2，则 2 + 2 + 2 + (2 )2 + (2 )2 + 2 + (2 )2 + (2 )2
最小值为______．
13.已知直线 1的一个方向向量为(4, )，直线 2的一个方向向量为(1 , 2)，若 1 ⊥ 2，则 的值为______．
14 .已知数列{ }满足 1 + 2 2 + 3 3 + + = 2 ，设 = ( +1)2 1， 为数列{ }的前 项和.若 <
对任意 ∈ 恒成立，则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)

已知函数 ( ) = + ．
(1)求导函数 ′( )；
(2)若曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 = ( + 1)，求 ， 的值．
16.(本小题 15 分)
已知 ， 两点的坐标分别是( 2,0)，(2,0)，直线 ， 相交于点 ，且直线 的斜率与直线 的斜率
的差为 4，记点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)将曲线 向上平移 4 个单位得到曲线 ，已知直线 ： = 3 + 2 与曲线 有两个不同的交点 ， ，求 ．
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17.(本小题 15 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ，侧面 1 1为正方形， = = 2， ， 分别为 ， 1
的中点．
(1)求证： //平面 1 1 ；
(2)求点 到平面 1 的距离．
18.(本小题 17 分)
( +1)
已知数列{ }的各项均为正数，其前 项和 = 2 ， ∈
．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设 +2 = 2 +1，若称使数列{ }的前 项和为整数的正整数 为“优化数”，试求区间(0,2025)内所有
“优化数”的和 ．
19.(本小题 17 分)
2 2
定义：若椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)上的两个点 ( 1, 1)， ( 2, 2)

满足 1 2 1 2 2 + 2 = 1，则称 ，
2
为该椭圆的一个“共轭点对”，即点( 1, 1)关于 的一个共轭点为( 2, 2)，已知椭圆 的离心率为 2 ，且
椭圆 过点 (2,1)．
(1)求椭圆 的方程；
(2)求点 关于 的所有共轭点的坐标；
(3)设点 ， 在 上，且 // ，求点 关于 的所有共轭点和点 ， 所围成封闭图形面积的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4 2
13.2
14.[ 32 , + ∞)
15. (1) ( ) = +

解： 由 ，

得 ′( ) = ( ) ′ + ( )′

= ( 1 + ) +
( 1)
2 ；
(2) ∵切点既在曲线上，又在切线上，
∴将 = 1 代入切线方程 = ( + 1)，得 = 2 ，
将 = 1 代入曲线方程，得 (1) = = 2 ，则 = 2，
将 = 1 代入导函数 ′( )，
可得 ′(1) = = ，即 = 1．
∴ = 1， = 2．
16.
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17.(1)证明：连接 1，
在△ 1中，因为 ， 分别为 ， 1的中点，
所以 // 1，又 平面 1 1 ， 1 平面 1 1 ，
所以 //平面 1 1 ；
(2)解：在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ，
则 ， ， 1两两垂直，
如图，以 为坐标原点， ， ， 1为 ， ， 轴正方向，
建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,2,0)， 1(0,2,2)，
1(0,0,2)， (1,1,0)， (1,0,1)，
1 = (1, 2, 1)， = (0, 1,1)．
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
1 = 2 = 0 = 3 ,则有 ，即
= + = 0 = ,
令 = 1，则 = 3， = 1，
所以 = (3,1,1)为平面 1 的一个法向量，
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设点 到平面 1 的距离 ，又 = (1, 1,0)，
= | 2 2 11则 | | | = = 11 ， 11
所以点 到平面 的距离为2 111 ．11
18. ( +1)解：(1)由 = 2 知，
当 = 1 时， = ， = 1( 1+1)1 1 1 2 ，即 1( 1 1) = 0，
因为数列{ }的各项均为正数，所以 1 = 1；
当 ≥ 2 = = ( 时， +1) 1( 1+1) 1 2 2 ，
整理得( + 1)( 1 1) = 0，
因为 + 1 > 0，所以有 1 = 1，
所以数列{ }是首项 1 = 1，公差 = 1 的等差数列，
数列{ }的通项公式为 = ．
(2)由 =
+2
知， = 2 +1 =
+2
2 +1 = log2( + 2) log2( + 1)，
数列{ }的前 项和为 1 + 2 + 3 + 4 + . . . +
= log23 log22 + log24 log23 + log25 log24 + . . . + log2( + 2) log2( + 1)
= log2( + 2) 1，
令 1 + 2 + 3 + = ( ∈ )，则有log2( + 2) 1 = ， = 2 +1 2，
由 ∈ (0,2025)， ∈ 知 2 < 2 +1 < 2027 < 2048 = 211， ∈ ，故 < 10 且 ∈ +，
所以区间(0,2025)内所有“优化数”的和为
= (22 2) + (23 2) + (24 2) + + (210 2) = (22 + 23 + 24 + + 210) 18
22= (1 2
9)
1 2 18 = 2
11 22 = 2026．
19.
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