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2025-2026学年湖南省湖湘名校联盟高二（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1,2,3,4}， = { | 1 < ≤ 3}，则 ∩ =( )
A. {0,1,2} B. (0,1,3) C. {0,1,2,3} D. ( 1,0,1,2,3)
2.已知复数 满足(3 ) = 10 ，则 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.如果 < < 0，那么下列不等式中成立的是( )
A. 2 < 2 B. < C. | | > | | D. 1 1 <
4.已知单位向量 , 满足 ⊥ ( 2 )，则 , =( )
A. 6 B.
C. 2 D. 5 3 3 6
5 1.若函数 ( ) = ( 2 + )cos 的图象关于 轴对称，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 2 D. 0
6.已知 ， 都是锐角，tan( + ) = 3 = 6 ，则 tan( ) =( )
A. 13 B.
2
3 C.
2 D. 45 5
7.已知 ， 为样本空间 中的两个随机事件，其中 ( ) = 24， ( ) = 12， ( ) = 8， ( ∪ ) = 16，则( )

A.事件 与 互斥 B. ( ) = 12 C. 事件 与 相互独立 D. ( + ) =
2
3
8.如图，棱长为 2 的正方体中， ， ， 均为顶点， 为所在棱的中点，若 //平面 ，且 ， 均在平面
内，则平面 截正方体所得图形的外接圆面积为( )
A. 5 4
B. 7 4
C. 9 4
D. 9
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 4.已知函数 ( ) = 1 + 2，则( )
A. ( )的定义域为( ∞,0) ∪ (0, + ∞) B. ( )为奇函数
C. ( )为 上的减函数 D. ( )无最值
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10.已知球 ( 为球心)为正方体 1 1 1 1的内切球，且球 的表面积为 4 ，则( )
A.线段 1的长为 3
B.直线 1与球 相切
C. △ 1 的面积为 2
D.直线 3与底面 所成角的正弦值为 3

11.设样本数据 1， 2，…， 8的平均数为 ，方差为 21.设 = 2 + 1， = 1，2，…，8，样本数据 1，

2，…， 8的平均数为 ，方差为 22，则( )

A. 2 = 1 B. 4 2 < 21 2
C. 18
1 8 2 2
8 =1 ( 2 ) = 1 D. 8 =1 ( 2 ) = 2 + 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知一个底面半径为 1 的圆锥侧面展开图形的面积是其底面面积的 2 倍，则该圆锥的母线长为______．
13.在矩形 中， = 2，点 为 中点， ⊥ ，则 = ______．
14.设函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，且对于任意的正数 ， ，都有 ( ) + ( ) = ( ) 1，若 ( 9 ) + (
1
5 ) = 6，
则 (2025) = ______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = ，函数 ( )满足 9 2( ) + [ ( ) 2]2 = 9 ( ，且 2 ) = 5．
(1)求 ( )的值域；
(2)求函数 ( ) = ( ) + ( )的最大值与最小值．
16.(本小题 15 分)
已知复数 1 = 2 + ( ∈ )， (1 2) = 1．

(1)求 2 + 2；
(2)求| 1 2|的最小值；
(3)若 1 2的实部大于 0，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
暑假过后，长沙橘子洲头旅游景区为了更好地提升旅游品质，以便给游客带来更好的旅游体验感，相关工
作人员随机选择 100 名游客对景区进行满意度评分(满分 100 分)，将评分绘制成如图频率分布直方图．
(1)求图中 的值；
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(2)估计这 100 名游客对景区满意度评分的中位数；
(3)若工作人员从这 100 名游客中随机抽取了 5 名，其中评分在[50,60)内的有 2 人，评分在[70,80)内的有
3 人.现再从这 5 人中随机抽取 2 人做进一步了解，求抽取的 2 人评分均在[70,80)内的概率．
18.(本小题 17 分)
如图，三棱柱 中， = ， ， 分别为线段 ， 的中点，且 ⊥平面 ．
(1)证明： // ；
(2)证明：∠ 为二面角 的平面角；
(3)若∠ = 60°，且 ⊥ ，求二面角 的大小．
19.(本小题 17 分)
△ + = 4 + 2 ( + 3 在 中， ，且 4 )sin( +
3
4 ) = 0．
(1)求 ；
(2)求△ 面积的最大值；

(3) △
1 1
若 是 边 上的一点，且 = ，证明 = 4 ，并求 + 的最小值(提示：函数| | | |
( ) = (1 2)在区间( 22 , + ∞)上单调递减)．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.8
14. 12
15.(1)由 ( ) = ，且 9 2( ) + [ ( ) 2]2 = 9，
可得[ ( ) 2]2 = 9(1 cos2 ) = 9 2 ，即 ( ) = 2 ± 3 ，
当 ( ) = 2 + 3 时， ( 2 ) = 2 + 3 = 5，符合题意；
当 ( ) = 2 3 时， ( 2 ) = 2 3 = 1，不符合题意，舍去．
综上所述， ( ) = 2 + 3 ，
结合 ∈ [ 1,1]，可知 ( ) ∈ [ 1,5]，即函数 ( )的值域为[ 1,5]；
(2)由(1)的结论，可得 ( ) = ( ) + ( ) = + 3 + 2，
所以 ( ) = 10sin( + ) + 2 1，其中锐角 满足 = 3，
当 + = 2 + 2 ( ∈ )时，即 =

2 + 2 ( ∈ )时， ( )取得最大值 10 + 2，
+ = + 2 ( ∈ ) = 当 2 时，即 2 + 2 ( ∈ )时， ( )取得最小值 10 + 2．
16.(1)因为 (1 2) = 1，所以 1 =
1
2 = ，所以 2 = 1 + ，

所以 2 + 2= (1 + ) + (1 ) = 2；
(2)因为 1 = 2 + ， 2 = 1 + ，
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所以 1 2 = (2 + ) (1 + ) = 1 + ( 1) ，
所以| 1 2| = 12 + ( 1)2，
当 = 1 时，原式取得最小值 1．
(3)因为 1 = 2 + ， 2 = 1 + ，
所以 1 2 = (2 + )(1 + ) = (2 ) + (2 + ) ，
因为 1 2的实部大于 0，则 2 > 0，即 < 2，
所以 的取值范围为( ∞,2)．
17.(1)由图知：0.02 + 10 + 0.18 + 0.25 + 0.4 = 1，解得 = 0.015；
(2)由 0.02 + 0.15 + 0.18 = 0.35 < 0.5，0.02 + 0.15 + 0.18 + 0.25 = 0.6 > 0.5，
所以中位数在[80,90) 80 + 0.5 0.35之间，且为 0.025 = 86；
(3)设评分在[50,60)中抽取的 2 人分别为 ， ，在[70,80)中抽取的 3 人分别为 ， ， ，
则从这 5 人中随机抽取 2 人所得样本空间为：{( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，
( , )，( , )}，共有 10 个样本点，
设选取的 2 人评分均在[70,80)内为事件 ，则 = {( , )，( , )，( , )}，共有 3 个样本点，
所以 ( ) = 310．
18.(1)证明：由三棱柱性质，四边形 为平行四边形，故 BC// ，
又 ， 分别为线段 ， 的中点，则易有 = ，
即四边形 为平行四边形，则 // ，
又由三棱柱性质有 // ，
故 AD// ；
(2)证明：由于 ⊥平面 ， 平面 ，故 A ⊥ ，又 = ，
由三棱柱性质知△ ≌△ ，则 = ，
又 为线段 的中点，故 EF⊥ ，
由于 ⊥ ， ⊥ ，且 ∩ = ， ， 平面 ，
故 EF⊥平面 ，
由(1)可知 // ，即点 在平面 内，又 = = ，
则四边形 为平行四边形，且 ⊥平面 ，
又 平面 ，故 EF⊥ ，
由于平面 与平面 的交线 满足 ⊥ ， ⊥ ，
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故∠ 为二面角 的平面角．
(3)由于 ⊥平面 ， // ，
故 BC⊥平面 ，
连接 ，同理可证∠ 为二面角 的平面角，
由于 ⊥ ，且 为线段 的中点，故 AE= ，
又∠ = 60°，故△ 为等边三角形，
不妨设 = = = 2 ，则 = 3 ，
由于 = ， ⊥ ，
故△ 为等腰直角三角形，故 = ，即 = 2 ，
则 cos∠ = =

2 =
1
2，
又由图有∠ < 90°，故∠ = 60°，
则∠ = ∠ = 60°．
19.(1) △ 3 3 在 中，由 + 2 ( + 4 )sin( + 4 ) = 0，
得 2 2 + 1 = 0，
解得 = 12或 = 1，
又 0 < < 1，所以 = 2，
2
所以 = 3；
(2)由 4 = + ≥ 2 得 ≤ 4，当且仅当 = = 2 时等号成立，
1
所以 = 2 ≤ 3，
所以△ 面积的最大值为 3；
(3) △

在 中，记角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，因为 = ，
| | | |
所以 是∠ 的平分线，
因为 = + ，
1
所以2 ∠ =
1 ∠
2 sin 2 +
1
2 sin
∠
2 ，
所以 = ( + ) = 4 ，
所以 = 4 ，
2
因为 = 3，
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所以∠ = ∠ = 3，
设∠ = , 0 < < 2 3，
在△ ，△ 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ , sin∠ = sin∠ ，
3 3
则 = 2 , = 2 ，
= 2 3 3令 2 ∈ [ 2 , + ∞), = + = ( + ) = 4 ,
在△ 中，由余弦定理可得 16 2 = 2 2 + 2 + = ( + )2 = 16 < 16，
解得 1 < < 1，
所以 ∈ [ 32 , 1),
1 1 1 1 4 4 1
则 + = + = = (16 16 2) = 4 (1 2)，
令 ( ) = (1 2)，
由题意可得函数 ( )在区间[ 32 , 1)上单调递减，
则 ( ) = (
3
2 ) =
3
8 ，
1 1 2 3
所以 + 的最小值为 3 ．
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