资源简介

第七章　统计案例
§1　一元线性回归
1.1　直线拟合
1.2　一元线性回归方程
【课前预习】
知识点一
1.成对数据　2.大致趋势　光滑的曲线　3.一条直线
诊断分析 C
知识点二
诊断分析 450
【课中探究】
例1　解:(1)散点图如图所示:
(2)由散点图知,各组数据对应的点大致在一条直线附近,所以施肥量X与产量Y具有近似的线性关系.
变式　AB
例2　Y=X-　[解析] 由数据得==11,==24,由最小二乘法得=
=
,=24-×11=-.所以Y关于X的线性回归方程为Y=X-.
变式　50　[解析] 因为线性回归方程为Y=3X+,=170,=40,所以=-3=170-3×40=50.
例3　解:(1)作出散点图如图所示.
(2)==9,==4,
=故所求线性回归方程为Y=0.7X-2.3.
(3)由(2)中线性回归方程可知,记忆力为7的同学的判断力估计为0.7×7-2.3=2.6.
变式　解:(1)由题意得==4,==5.0,
1.3,
∴=5-1.3×4=-0.2,∴Y=1.3X-0.2.
(2)由(1)得Y=1.3X-0.2,当X=11时,Y=1.3×11-0.2=14.1<15,故不需要更换机床.第七章　统计案例
§1　一元线性回归
1.1　直线拟合
1.2　一元线性回归方程
1.D　[解析] =×(1+2+4+5)=3,=×(2.2+3.3+5.8+6.7)=4.5,∴====1.15,∴=- =4.5-1.15×3=1.05,∴Y关于X的线性回归方程为Y=1.15X+1.05.故选D.
2.C　[解析] =×(3+4+5+6)=4.5,=×(30+40+60+50)=45.将(4.5,45)代入Y=8X+中,得45=8×4.5+,可得=9,∴Y关于X的线性回归方程为Y=8X+9.令X=7,可得Y=8×7+9=65.
3.B　[解析] 由题意可得=×(10+20+30+40+50)=30,设模糊不清的数据为t,则=×(62+t+75+81+89)=(t+307).因为(,)满足线性回归方程Y=0.67X+54.9,所以(t+307)=0.67×30+54.9,解得t=68.
4.B　[解析] 由已知得=3,=140,故回归直线必过点(3,140),A错误;由=+7.1,得=44.3,B正确;当X=6时,Y=272.9(万件),但这不是6月份的服装销量的准确值,C错误;销量预测是增加的,但事实不一定,D错误.故选B.
5.C　[解析] 作出散点图如图,从整体上看这些点大致分布在一条直线的附近,且该直线的斜率为正数,在y轴上的截距为负数,则<0,>0,故选C.
6.D　[解析] 对于A,B,因为去除两对误差较大的数据后,回归直线l的斜率变小,则Y的估计值增加速度变慢,A,B错误;对于C,由Y=1.2X+0.4及=3,得=4,因为去除的两对数据为(1.2,0.5)和(4.8,7.5),且=3,=4,所以去除两对数据后,,均不变,因此重新求得的回归直线一定过点(3,4),C错误;对于D,设去除两对误差较大的数据后重新求得的线性回归方程为Y=1.1X+,由选项C知,4=1.1×3+,解得=0.7,所以重新求得的线性回归方程为Y=1.1X+0.7,D正确.故选D.
7.AD　[解析] 由线性回归方程中系数的含义可知,产量每增加1千件,单位成本平均下降1.82元,故A正确;产量每减少1千件,单位成本平均上升1.82元,故B错误.由线性回归方程Y=77.36-1.82X可知,当产量为1千件时,单位成本估计为75.54元,故C错误;当产量为2千件时,单位成本估计为73.72元,故D正确.故选AD.
8.AC　[解析] 由题意可知=×(8.3+8.6+9.9+11.1+12.1)=10,所以A正确;=×(5.9+7.8+8.1+8.4+9.8)=8,所以B不正确;=- ≈8-0.77×10=0.3,所以C正确;当X=15时,Y的估计值约为0.77×15+0.3=11.85,所以D不正确.故选AC.
9.Y=0.2X-2.2　[解析] 设Y=X+,由题意得==25,==2.8,xiyi=15×1+20×2+25×2+30×4+35×5=400,=152+202+252+302+352=3375,则==0.2,=2.8-0.2×25=-2.2,即Y关于X的线性回归方程是Y=0.2X-2.2.
10.0.039 4　[解析] 依题意得=×(1+2+3+4+5)=3,=×(0.002+0.005+0.010+0.015+0.018)=0.01.由回归直线Y=0.004 2X+过点(3,0.01),得=-0.002 6,则线性回归方程为Y=0.004 2X-0.002 6.所以当X=10时,市场占有率Y估计为0.004 2×10-0.002 6=0.039 4.
11.2.1　[解析] ==3.2,将=3.2代入Y=X+1,得=4.2,∴=4.2,解得m=2.1.
12.Y=-1.9X+43.5　[解析] 由题意可得,更正后的=5,=×(35×7-60+53)=34,xiyi=-175+5×60-5×53=-140,=875,所以===-1.9,=-=34+1.9×5=43.5,故更正后的线性回归方程为Y=-1.9X+43.5.
13.解:(1)作出散点图如图所示.
(2)由题中数据得,==5,==50,
因为=145,xiyi=1380,
所以===6.5,=- =50-6.5×5=17.5,因此,Y关于X的线性回归方程为Y=6.5X+17.5.
(3)当X=12时,Y=12×6.5+17.5=95.5,即估计外卖份数为12时,收入为95.5元.
14.解:(1)由题意知,==6,==≈79.86.
(2)∵==
=4.75,
=-=-4.75×6≈51.36,
∴Y=4.75X+51.36.
(3)令200=4.75X+51.36,得X≈31.3.
因此若该店每天销售该种服装至少要获利200元,则预测该店每天至少要销售这种服装32件.
15.D　[解析] 由已知得=×(2+3+4+5+6)=4,=×(3.4+4.2+5.1+5.5+6.8)=5.因为回归直线过点(,),所以5=0.81×4+,解得=1.76,所以线性回归方程为Y=0.81X+1.76.由Y≤10,得0.81X+1.76≤10,解得X≤≈10.17,所以据此模型预测,该设备使用年限的最大值约为10.故选D.
16.C　[解析] 因为去除两对数据前的回归直线l1的方程为y=1.5x+0.5,且=3,所以=1.5×3+0.5=5,则(5-0.9-5.1)×=3,(5-2.4-7.6)×=5,则去除这两对数据后重新求得的回归直线l2过点(3,5).设l2的方程为y=1.2x+,所以5=1.2×3+,解得=1.4,所以回归直线l2的方程为y=1.2x+1.4,所以当x=2时,由l2的方程得y的估计值为3.8,故选C.第七章　统计案例
§1　一元线性回归
1.1　直线拟合1.2　一元线性回归方程
【学习目标】
　　1.结合具体实例,了解一元线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义,了解最小二乘原理,掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.
　　2.针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测.
◆ 知识点一　直线拟合
1.散点图:在平面直角坐标系中,每个点对应的一对数据(xi,yi),称为　　　　　　,这些点构成的图称为散点图.
2.曲线拟合:如果变量之间存在着某种关系,这些点会有一个　　　　　　,这种趋势通常可以用一条　　　　　　来近似地描述,这样近似描述的过程称为曲线拟合.
3.直线拟合:在两个变量X和Y的散点图中,所有点看上去都在　　　　　　附近波动,此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系,称之为直线拟合.
【诊断分析】 下面的变量之间可用直线拟合的是 (　 )
A.出租车费与行驶的里程
B.房屋面积与房屋价格
C.人的身高与体重
D.实心铁球的半径与质量
◆ 知识点二　一元线性回归方程
1.最小二乘法
对于给定的两个变量X和Y(如身高和体重),可以把其成对的观测值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)表示为平面直角坐标系中的n个点.
现在希望找到一条直线Y=a+bX,使得对每一个xi(i=1,2, …,n),由这个直线方程计算出来的值a+bxi与实际观测值yi的差异尽可能小.为此,希望[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…+[yn-(a+bxn)]2达到最小.换句话说,我们希望a,b的取值能使上式达到最小.这个方法称为最小二乘法.
2.线性回归方程
对于n对数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),由最小二乘法得==,=-.
将直线方程Y=+X称作Y关于X的线性回归方程,相应的直线称作Y关于X的回归直线(如图),,是这个线性回归方程的系数.
【诊断分析】 某农田小麦的产量Y(单位:kg)关于施肥量X(单位:kg)的线性回归方程是Y=4X+250,则当施肥量为50 kg时,可以预测小麦的产量为　　　　kg.
◆ 探究点一　直线拟合
例1 某农产品公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某新品种棉花进行施肥量X(单位:kg)对产量Y(单位:kg)影响的试验,得到如下表所示的数据.
X 15 20 25 30 35 40 45
Y 330 345 365 405 445 450 455
(1)画出散点图;
(2)判断施肥量X与产量Y是否具有近似的线性关系.
变式 (多选题)下列散点图中,变量X,Y有近似的线性关系的是 (　 )
A B C D
[素养小结]
绘制散点图后,如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量具有近似的线性关系.注意不要受个别点的位置的影响.
◆ 探究点二　一元线性回归方程
例2 患感冒与昼夜温差大小具有近似的线性关系,某居民小区诊所的张医生记录了四月份四个周一的温差情况与因患感冒到诊所看病的人数如下表:
昼夜温差X(℃) 11 13 12 8
感冒就诊人数Y 25 29 26 16
用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程为　　　　　　　　.
变式 [2024·浙江嘉兴高二期末] 某学生在对50位同学的身高Y(单位:厘米)与鞋码X(单位:欧码)的数据进行分析后发现两者线性相关,整理得到线性回归方程Y=3X+.若50位同学的身高与鞋码的均值分别为=170,=40,则=　　　　.
[素养小结]
当两个变量已明显具有近似的线性关系时,无需作出散点图就可直接利用数据求相关统计量,进而求线性回归方程.
◆ 探究点三　回归分析在实际生活中的应用
例3 某研究机构对高三年级学生的记忆力X和判断力Y进行统计分析,得到数据如下表:
X 6 8 10 12
Y 2 3 5 6
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程 Y=X+;
(3)试根据求出的线性回归方程,预测记忆力为7的同学的判断力.
变式 某型号机床的使用年数X和维护费Y有下表所示的关系:
X/年 2 3 4 5 6
Y/万元 2.0 3.5 6.0 6.5 7.0
(1)求Y关于X的线性回归方程;
(2)某厂该型号的一台机床已经使用了8年,现决定当维护费达到15万元时,更换机床,请估计到第11年结束,是否需要更换机床
附:在线性回归方程Y=+X中,=,=- .
[素养小结]
利用回归分析求解实际生活中的应用问题的基本步骤:
(1)读懂题意,根据所给数据作出散点图,从直观上分析变量间是否存在近似的线性关系;
(2)计算:,,,xiyi;
(3)代入公式求出Y=X+中,的值,进而得到线性回归方程;
(4)利用线性回归方程对实际问题作出估计.(共29张PPT)
1 一元线性回归
1.1 直线拟合
1.2 一元线性回归方程
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.结合具体实例,了解一元线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义,了
解最小二乘原理,掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.
2.针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测.
知识点一 直线拟合
1.散点图:在平面直角坐标系中，每个点对应的一对数据 ，称为_________
__，这些点构成的图称为散点图.
成对数据
2.曲线拟合：如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个__________，这
种趋势通常可以用一条____________来近似地描述，这样近似描述的过程称为
曲线拟合.
大致趋势
光滑的曲线
3.直线拟合：在两个变量和 的散点图中，所有点看上去都在__________附近
波动，此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线
拟合.
一条直线
【诊断分析】 下面的变量之间可用直线拟合的是( )
C
A.出租车费与行驶的里程 B.房屋面积与房屋价格
C.人的身高与体重 D.实心铁球的半径与质量
知识点二 一元线性回归方程
1.最小二乘法
对于给定的两个变量和（如身高和体重），可以把其成对的观测值 ，
， ，表示为平面直角坐标系中的 个点.
现在希望找到一条直线,使得对每一个 ，由这个直线
方程计算出来的值与实际观测值 的差异尽可能小.为此,希望
达到最小.换句话说，
我们希望, 的取值能使上式达到最小.这个方法称为最小二乘法.
2.线性回归方程
对于对数据,, , ,由最小二乘法得
, .
将直线方程称作关于的线性回归方程,相应的直线称作关于 的
回归直线（如图）,, 是这个线性回归方程的系数.
【诊断分析】 某农田小麦的产量（单位：）关于施肥量（单位： ）
的线性回归方程是，则当施肥量为 时，可以预测小麦的产量
为_____ .
450
探究点一 直线拟合
例1 某农产品公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某新品
种棉花进行施肥量（单位：）对产量（单位： ）影响的试验，得到如
下表所示的数据.
15 20 25 30 35 40 45
330 345 365 405 445 450 455
（1）画出散点图；
解：散点图如图所示：
（2）判断施肥量与产量 是否具有近似的线性关系.
解：由散点图知，各组数据对应的点大致在一条直线附近，
所以施肥量 与产量 具有近似的线性关系.
变式 （多选题）下列散点图中，变量， 有近似的线性关系的是( )
AB
A. B. C. D.
［素养小结］
绘制散点图后，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两
个变量具有近似的线性关系.注意不要受个别点的位置的影响.
探究点二 一元线性回归方程
例2 患感冒与昼夜温差大小具有近似的线性关系,某居民小区诊所的张医生记
录了四月份四个周一的温差情况与因患感冒到诊所看病的人数如下表:
11 13 12 8
25 29 26 16
用最小二乘法求出关于 的线性回归方程为_____________.
[解析] 由数据得,,由最小二乘法得
,
.
所以关于的线性回归方程为 .
变式 [2024·浙江嘉兴高二期末] 某学生在对50位同学的身高 （单位：厘米）
与鞋码 （单位：欧码）的数据进行分析后发现两者线性相关，整理得到线性回
归方程.若50位同学的身高与鞋码的均值分别为, ，则
____.
50
[解析] 因为线性回归方程为，, ，
所以 .
［素养小结］
当两个变量已明显具有近似的线性关系时，无需作出散点图就可直接利用数据
求相关统计量，进而求线性回归方程.
探究点三 回归分析在实际生活中的应用
例3 某研究机构对高三年级学生的记忆力和判断力 进行统计分析,得到数据
如下表:
6 8 10 12
2 3 5 6
（1）请画出上表数据的散点图;
解:作出散点图如图所示.
（2）请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于 的线性回归方程
;
解：, ,
, ,
故所求线性回归方程为 .
（3）试根据求出的线性回归方程,预测记忆力为7的同学的判断力.
解：由（2）中线性回归方程可知,记忆力为7的同学的判断力估计为
.
变式 某型号机床的使用年数和维护费 有下表所示的关系：
2 3 4 5 6
2.0 3.5 6.0 6.5 7.0
（1）求关于 的线性回归方程；
解：由题意得， ,
,
,
,
, .
（2）某厂该型号的一台机床已经使用了8年，现决定当维护费达到15万元时，
更换机床，请估计到第11年结束，是否需要更换机床？
附：在线性回归方程中，， .
解：由（1）得，当时， ，
故不需要更换机床．
［素养小结］
利用回归分析求解实际生活中的应用问题的基本步骤：
（1）读懂题意，根据所给数据作出散点图,从直观上分析变量间是否存在近似
的线性关系;
（2）计算:,,, ;
（3）代入公式求出中, 的值，进而得到线性回归方程;
（4）利用线性回归方程对实际问题作出估计.
1.一元线性回归方程的应用
（1）正确理解计算, 的公式和准确计算是求线性回归方程的关键.
（2）回归直线必过点 .
2.可以利用线性回归方程估计在取某一个值时 的值.
3.回归直线的截距和斜率 都是通过样本估计而来的，存在着误差，这种误差
可能导致估计结果的偏差.
例1 某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示.
1 2 3 4 5 6
78 87 98 108 115 120
其散点图如下:
则与 ______（填“具有”或“不具有”）线性相关关系.
具有
[解析] 由图知，所有数据对应的点都在一条直线附近，
因此，认为与 具有线性相关关系.
例2 设有一个线性回归方程为，则变量 增加1个单位时,( )
C
A.平均增加1.5个单位 B. 平均增加2个单位
C.平均减少1.5个单位 D. 平均减少2个单位
[解析] 因为线性回归方程为，
所以变量增加1个单位时 平均减少1.5个单位，故选C.
例3 [2024·江苏海门中学高二期中] 某企业近5年的广告费用（单位：百万元）
与销售额（单位：百万元）的数据如表所示：
6 4 8 2 5
50 40 70 30 60
（1）由表中数据可知，与线性相关，求销售额关于广告费用 的线性回归方程；
解：由题意知， ，
则 ，
.
销售额关于广告费用的线性回归方程为 .
（2）预测当销售额为76百万元时，广告费用为多少百万元.
附：回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计分别为
, .
解：当时，代入线性回归方程，得 ，
故预测当销售额为76百万元时，广告费用为9百万元.第七章　统计案例
§1　一元线性回归
1.1　直线拟合1.2　一元线性回归方程
一、选择题
1.若在一次试验中,测得两个变量X,Y的四对数据分别是(1,2.2),(2,3.3),(4,5.8),(5,6.7),则Y关于X的线性回归方程是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.Y=0.15X+4.05
B.Y=X+1.45
C.Y=1.05X+1.15
D.Y=1.15X+1.05
2.已知X与Y之间的一组数据如下表:
X 3 4 5 6
Y 30 40 60 50
若Y与X具有线性相关关系,根据上表求得Y关于X的线性回归方程Y=X+中的值为8,据此模型预测X=7时,Y的值为 (　 )
A.70 B.63 C.65 D.66
3.某学校的课外活动兴趣小组对两个变量X,Y收集到5对数据如下表:
X 10 20 30 40 50
Y 62 ■ 75 81 89
由最小二乘法求得Y关于X的线性回归方程为Y=0.67X+54.9.现发现表中有一个数据模糊不清,请推断该数据为 (　 )
A.67 B.68 C.69 D.70
4.某服装公司对1~5月份的服装销量进行了统计,结果如下:
月份X 1 2 3 4 5
销量Y(万件) 50 96 142 185 227
若Y与X线性相关,其线性回归方程为Y=X+7.1,则下列说法正确的是 (　 )
A.回归直线必过点(3,122)
B.=44.3
C.6月份的服装销量一定为272.9万件
D.销量一定是逐月增加的
5.根据如下数据,得到Y关于X的线性回归方程为Y=X+,则 (　 )
X 3 4 5 6 7 8
Y -3.0 -2.0 0.5 -0.5 2.5 4.0
A.>0,>0 B.>0,<0
C.<0,>0 D.<0,<0
6.根据一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),求得Y关于X的线性回归方程为Y=1.2X+0.4,且=3.现发现这组样本数据中有两对数据(1.2,0.5)和(4.8,7.5)误差较大,去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.1,则 (　 )
A.去除两对误差较大的数据后,Y的估计值增加速度变快
B.去除两对误差较大的数据后,Y的估计值增加速度不变
C.去除两对误差较大的数据后,重新求得的回归直线一定过点(3,5)
D.去除两对误差较大的数据后,重新求得的线性回归方程为Y=1.1X+0.7
7.(多选题)某工厂的某产品的产量X(单位:千件)与单位成本Y(单位:元)满足线性回归方程Y=77.36-1.82X,则下列说法正确的是 (　 )
A.产量每增加1千件,单位成本平均下降1.82元
B.产量每减少1千件,单位成本平均下降1.82元
C.当产量为1千件时,单位成本为75.54元
D.当产量为2千件时,单位成本估计为73.72元
8.(多选题)两个变量X,Y的5对数据如表:
X 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1
Y 5.9 7.8 8.1 8.4 9.8
根据上表,可得线性回归方程Y=X+中≈0.77.则以下结论正确的是 (　 )
A.=10
B.=9
C.≈0.3
D.当X=15时,Y的估计值约为11.95
二、填空题
9.[2024·海南中学高二期末] 某冷饮店日盈利Y(单位:百元)与当天平均气温X(单位:℃)之间有如下数据:
X/℃ 15 20 25 30 35
Y /百元 1 2 2 4 5
已知Y与X之间具有线性相关关系,则Y关于X的线性回归方程是　　　　　　.
10.某公司于2022年1月推出了一款产品A,现对产品A上市时间X(单位:月)和市场占有率Y进行统计分析,得到如下表数据:
X 1 2 3 4 5
Y 0.002 0.005 0.010 0.015 0.018
由表中数据求得的线性回归方程为Y=0.004 2X+,则当X=10时,市场占有率Y估计为　　　　.
11.已知X,Y的取值如下表:
X 0 1 4 5 6
Y 0.8 m 5.1 5.6 7.4
若Y与X具有线性相关关系,且求得的线性回归方程为Y=X+1,则m=　　　　.
12.某种细胞的存活率Y(单位:%)与存放温度X(单位:℃)之间具有线性相关关系,其样本数据如表所示:
存放温度X 20 15 10 5 0 -5 -10
存活率Y 6 14 26 33 43 60 63
计算得=5,=35,xiyi=-175,=875,并求得线性回归方程为Y=-2X+45,但实验人员发现表中数据X=-5的对应值Y=60录入有误,更正为Y=53,则更正后的线性回归方程为　　　　　　　　.
三、解答题
13.某特色餐馆开通了外卖服务,一周内某种特色菜的外卖份数X与收入Y(单位:元)之间有如下对应数据:
外卖份数X 2 4 5 6 8
收入Y 30 40 60 50 70
(1)在图中画出散点图;
(2)请根据以上数据用最小二乘法求出收入Y关于份数X的线性回归方程;
(3)据此估计外卖份数为12时,收入为多少元.
参考数据:=145,xiyi=1380.参考公式:在线性回归方程Y=+X中,=,=-.
14.[2024·河北唐山乐亭高平中学高二期末] 某个体服装店经营的某种服装在某周内每日所获纯利润Y(元)与当天销售这种服装的件数X之间有一组数据如表所示.
销售服装件数X 3 4 5 6 7 8 9
所获纯利润Y(元) 66 69 73 81 89 90 91
(1)求,(计算结果精确到0.01);
(2)若每日所获纯利润Y(元)与当天销售这种服装的件数X之间是线性相关的,求Y关于X的线性回归方程(系数精确到0.01);
(3)若该店每天销售该种服装至少要获利200元,请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件.
15.已知某设备的使用年限X(单位:年)和所支出的维修费用Y(单位:万元)的一组数据如表:
X 2 3 4 5 6
Y 3.4 4.2 5.1 5.5 6.8
由上表可得线性回归方程Y=0.81X+,若规定:维修费用不超过10万元,一旦超过10万元,该设备必须报废.据此模型预测,该设备使用年限的最大值约为 (　 )
A.7 B.8
C.9 D.10
16.已知由成对数据集合{(xi,yi)|i=1,2,…,5}求得的回归直线l1的方程为y=1.5x+0.5,且=3.现发现两对数据(0.9,2.4)和(5.1,7.6)误差较大,去除这两对数据后重新求得的回归直线l2的斜率为1.2,则当x=2时,由l2的方程得y的估计值为 (　 )
A.2.9 B.3.5
C.3.8 D.4.1

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