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§3　独立性检验问题
3.1　独立性检验
3.2　独立性检验的基本思想
3.3　独立性检验的应用
1.C　[解析] 作出2×2列联表如下(单位:人):
近视情况 性别 总计
男 女
近视 80 70 150
不近视 70 70 140
总计 150 140 290
根据列联表可得χ2的值,再根据χ2与临界值比较,可检验这些中学生的近视情况是否与性别有关,故利用独立性检验的方法最有说服力.故选C.
2.C　[解析] 因为a+21=73,所以a=52.因为b+25=33,所以b=8,所以c=a+b=52+8=60.
3.B　[解析] 由独立性检验知χ2≈4.514>3.841,所以判断变量A与B有关,该判断犯错误的可能性不超过5%.故选B.
4.D　[解析] 因为χ2≈3.852>3.841,所以有95%的把握判断是否爱好运动与性别有关,即这种判断犯错误的可能性不超过5%,故选D.
5.A　[解析] 由题意,可得χ2=≈7.822>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“是否爱好某项运动与性别有关联”.故选A.
6.C　[解析] 对于A,==;对于B,==;对于C,==;对于D,=
=.显然最大,故选C.
7.ACD　[解析] χ2的值越大,两个变量有关的可能性就越大,A中说法错误,B中说法正确;若χ2=2.89>2.706,则认为两个变量有关,该判断犯错误的可能性不超过10%,C中说法错误;χ2的计算公式是χ2=,D中说法错误.故选ACD.
8.BCD　[解析] 对于A,若2×2列联表中的每个数字均变成原来的2倍,则χ2==2×,此时χ2的值变为原来的2倍,所以A错误;对于B,同一个样本中,|ad-bc|越小,说明两个变量有关联的可能性越小,|ad-bc|越大,说明两个变量有关联的可能性越大,所以B正确;对于C,独立性检验中,随机变量χ2的值越小,判定“两变量有关联”犯错误的概率越大,所以C正确;对于D,根据独立性检验的意义可知χ2=5.012>3.841,所以认为“X与Y有关联”犯错误的概率不超过0.05,所以D正确.故选BCD.
9.7.469　[解析] χ2=≈7.469.
10.28　[解析] 由2×2列联表得a+6=18,所以a=12,因为a+b=20,所以b=8.因为6+d=50-20,所以d=24,故a-b+d=12-8+24=28.
11.9　[解析] 由题意知χ2≥6.635,则=≥6.635,解得a≥8.65或a≤0.58,又因为a>5且15-a>5,a∈Z,所以a=9.
12.12　[解析] 设被调查的男生人数为x,则被调查的女生人数为,则2×2列联表为
单位:人
性别 对某视频APP的态度 合计
喜欢 不喜欢
男生 x
女生
合计 x
因为是否喜欢某视频APP和性别有关联,且犯错误的可能性不超过5%,所以χ2≥3.841,因为χ2==,所以≥3.841,则x≥≈10.243,又,,均为整数,所以男生至少有12人.
13.解:由列联表知χ2=≈1.586 9<2.706,∴根据独立性检验的思想,没有充分的证据推断药物A对预防疾病B有效,故可认为药物A对预防疾病B无效.
14.解:(1)该市一天早高峰时段的天气为晴天的概率的估计值为=0.75,该市一天早高峰时段的天气为雨天的概率的估计值为=0.06.
(2)2×2列联表如下:
单位:天
天气情况 交通状况 总计
交通顺畅 交通拥堵
天气好 62 13 75
天气不好 13 12 25
总计 75 25 100
提出假设H0:交通状况与天气情况无关联.
由表中数据,得χ2=≈9.404,因为9.404>7.879,所以我们认为可能性不超过0.5%的小概率事件发生了,所以认为假设H0不成立,即认为交通状况与天气情况有关联.
15.解:(1)因为P(A|)=,P(B|)=,
所以P(|)=1-P(A|)=,P(|)=1-P(B|)=,由P(B)=,得P()=1-P(B)=,
因为P(|)·P()=P(|)·P(),
所以P()=,所以P(A)=.P(A)=P(B)·P(A|B)+P()·P(A|),解得P(A|B)=.
(2)由(1)可知,期末统考中的数学成绩及格的学生人数为36×P()=36×=24,其中建立了个性化错题本的学生人数为24×P(B|)=24×=20,未建立个性化错题本的学生人数为24-20=4.
期末统考中的数学成绩不及格的学生人数为36-24=12,其中建立了个性化错题本的学生人数为12×P(B|A)=12×=12×=4,
未建立个性化错题本的学生人数为12-4=8,列联表如下:
单位:人
个性化 错题本 期末统考中的数学成绩 总计
及格 不及格
建立 20 4 24
未建立 4 8 12
总计 24 12 36
提出假设H0:期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关联.根据列联表中的数据,经计算得到χ2==9,
因为9>7.879,所以我们认为可能性不超过0.5%的小概率事件发生了,所以认为假设H0不成立,即认为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本有关联.(共33张PPT)
3 独立性检验问题
3.1 独立性检验
3.2 独立性检验的基本思想
3.3 独立性检验的应用
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.理解列联表的统计意义,能用 列联表探讨两个变量的关系.
2.了解 的含义及其应用,理解独立性检验的基本思想及其实施步骤,并能应
用解决实际问题.
知识点一 2×2列联表
设， 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，
变量, ;
变量, .
通过观察得到如表所示的数据：
A B 总计
总计
此表称为____________.
列联表
【诊断分析】 为了调查吸烟与患肺癌是否有关系，某机构随机调查了6578
人，得到如下表所示的数据（单位：人）
吸烟情况 患肺癌情况 患肺癌 未患肺癌
吸烟 56 1932
不吸烟 23 4567
总计 79 6499
在这个问题中，需要考虑两个变量：__________，____________；每个变量应
取两个值：______、________，________、__________.
是否吸烟
是否患肺癌
吸烟
不吸烟
患肺癌
未患肺癌
知识点二 独立性检验
1.独立性检验:如何根据列联表中的数据来判断变量和 __________的问
题称为 列联表的____________.
2.公式:_ _________________,其中 _____________.
是否独立
独立性检验
卡方公式常用来检测变量之间是否独立.
在变量A,B独立的前提下,当样本量很大时,χ2近似服从一个已知的分布χ2(1),χ2的值
越大,变量A,B独立的可能性越小.
3.临界值表
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
知识点二 独立性检验
独立
4.小概率值α的检验规则
(1)当χ2≥x0时,我们认为,可能性不超过x0的小概率事件发生了,所以认为假设H0不
成立, 即认为变量A,B有关联.
(2)当χ2能否定假设H0,即认为变量A,B独立.
5.应用独立性检验推断“变量A,B有关联”的一般步骤
(1)提出假设H0:变量A,B　 　,并给出在问题中的解释;
(2)根据抽样数据整理出2×2列联表,计算　　的值,并与　 　比较;
(3)根据临界值表作出判断.
χ2
临界值x0
【诊断分析】 利用 临界值对变量的独立性进行判断：
(1)在独立性检验中,若χ2越大,则两个分类变量有关联的可能性越大. ( )
(2)若χ2>6.635,则在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为吸烟与患肺病有关联,
那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病. ( )
(3)应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的.( )
(4)假设H0可以表述为:分类变量X和Y相互独立. ( )
(5)独立性检验的样本不同,其结论可能不同. ( )
√
×
×
√
√
探究点一 列联表
例1 某学校高二年级有学生1000名，经调查，其中750名学生经常参加体育锻
炼（称为类学生），另外250名学生不经常参加体育锻炼（称为 类学生），
现用分层随机抽样方法（按类、 类分两层）从该年级的学生中共抽取100名，
如果以 作为身高达标的标准，由抽取的100名学生的身高，得到以下列联
表（单位：人）
学生分类 身高达标情况 总计
身高达标 身高不达标 43 ____ ____
___ 17 ____
总计 ____ ____ 100
请将上表补充完整.
32
75
8
25
51
49
[解析] 由题知，抽取的100名学生中类学生有（名）,
类学生有（名），则补全列联表如下（单位：人）
学生分类 身高达标情况 总计
身高达标 身高不达标 43 32 75 8 17 25 总计 51 49 100 变式 如表是一个列联表,则表中， 的值分别为( )
总计
21 73
22 25 47
总计 46 120
C
A.94，72 B.52，50 C.52，74 D.74，52
[解析] 由题意，根据列联表，
可得 ， .故选C.
［素养小结］
作 列联表的关键是对涉及的变量分清类别,同时计算时要准确无误.
探究点二 独立性检验的基本思想
例2 为考察一种新药预防疾病的效果,某科研小组进行动物试验,收集整理数据后
将所得结果填入相应的2×2列联表中.由列联表中的数据计算得χ2≈10.921.参照附表,
下列结论正确的是 ( )
A.可能性不超过0.1%的小概率事件发生了,认为“药物有效”
B.认为“药物无效”,该判断犯错误的可能性不超过0.1%
C.可能性不超过0.01%的小概率事件发生了,认为“药物有效”
D.对分类变量X与Y,统计量χ2的值越大,则判断“X与Y有关系”的把握程度越大
P(χ2≥x0) 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 5.024 6.635 7.879 10.828
AD
[解析] 因为χ2≈10.921>10.828,所以我们认为可能性不超过0.1%的小概率事件发生
了,所以认为药物有效,故B,C错误.
根据统计量χ2的意义,可知其值越大,则判断X与Y有关的把握程度越大,故D正确.
故选AD.
变式 在检验与是否有关的过程中，根据所得数据算得 的值，则下列说法
正确的是( )
C
A.越大，认为“与 有关”的把握越小
B.越大，认为“与 无关”的把握越大
C.越小，认为“与 有关”的把握越小
D.越接近0，认为“与 无关”的把握越小
[解析] 越大，认为“A与B有关”的把握越大，
越小，认为“A与B有关”的把握越小.故选C.
［素养小结］
理解统计量在 列联表的独立性检验中的重要作用.
探究点三 独立性检验的应用
例3 某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的
关系,经过调查得到如下2×2列联表:
单位:人
试问:员工工作态度与对待企业改革态度之间是否有关联
工作态度 对待企业改革态度 总计
积极支持 不太支持 积极 54 40 94
一般 32 63 95
总计 86 103 189
解:依题意知该问题是判断员工工作态度是否与对待企业改革态度有关.
提出假设H0:员工工作态度与对待企业改革态度无关.
由2×2列联表中的数据,经计算得到χ2=≈10.759,
因为10.759>7.879,所以我们认为可能性不超过0.5%的小概率事件发生了,
所以认为假设H0不成立,即认为员工工作态度与对待企业改革态度有关.
变式 游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱,某中学对
100名学生进行了问卷调查,得到如下2×2列联表:
单位:人
已知在这100人中随机抽取1人,抽到喜欢游泳的学生的概率为.
(1)请将上述2×2列联表补充完整.
性别 是否喜欢游泳 总计
喜欢 不喜欢 男 10
女 20
总计
解:因为在这100人中随机抽取1人,抽到喜欢游泳的学生的概率为,
所以这100人中喜欢游泳的学生人数为100×=60.2×2列联表补充完整如下:
性别 是否喜欢游泳 总计
喜欢 不喜欢 男 40 10 50
女 20 30 50
总计 60 40 100
(2)试问:该校学生是否喜欢游泳与性别之间是否有关联
解：依题意知该问题是判断该校学生是否喜欢游泳是否与性别有关.
提出假设H0:该校学生是否喜欢游泳与性别之间无关.
根据2×2列联表中的数据,经计算得到χ2=≈16.667,
因为16.667>10.828,所以我们认为可能性不超过0.1%的小概率事件发生了,
所以认为假设H0不成立,即认为该校学生是否喜欢游泳与性别有关.
［素养小结］
利用 进行独立性检验的步骤:
（1）列出 列联表;
（2）计算出 的值;
（3）与临界值比较,得出两个变量有关的可能性大小,进而得到结论.
1.如何用列联表判定两个变量是否有关系
提示:对于两个变量,, 利用列联表中的数据计算,若
,则说明两个变量没有关系,若
,则说明两个变量有关系.
2.用 进行独立性检验的依据
独立性检验的基本思想类似于反证法.先假设“两个变量独立”成立,计算 的值,
如果的值很大,说明假设不成立. 越大,两个变量有关系的可能性越大.
3.独立性检验与反证法的异同点
（1）两者都是先假设结论不成立,然后根据是否能够推出“矛盾”来断定结论是否
成立.
（2）但二者“矛盾”的含义不同,反证法中的“矛盾”是指一种不符合逻辑事情的发
生;而独立性检验中的“矛盾”是指一种不符合逻辑的小概率事件的发生,即在结论
不成立的假设下,推出有利于结论成立的小概率事件发生.
4.解决独立性检验的应用问题,一定要按照独立性检验的步骤得出结论.
（1）准确给出 列联表.
总计
总计
,并且 为样本容量.
（2）当与无关时,指事件与相互独立,应该有 ,我们用
字母表示上式,即,我们称之为统计假设.当 成立时,
下面三个式子都成立:, ,
.
（3）计算,它的大小可以决定是否否定假设 .
（4）当时,推断不成立,即认为和 不独立,该推断犯错误的概率不超过
.当时,没有充分证据推断不成立,可以认为和 独立.
例1 66名学生的英语考试成绩与数学考试成绩如下表所示（单位：人），根据
这些数据，试问:英语成绩与数学成绩是否有关
英语成绩 数学成绩 总计
数学及格 数学不及格 英语及格 61 5 66
英语不及格 57 9 66
总计 118 14 132
解：提出假设H0:英语成绩与数学成绩无关,因为χ2=≈1.278<2.706,
所以不能否定假设H0,即认为英语成绩与数学成绩无关.
例2 骑电瓶车佩戴头盔是一种对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安
全教育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统
计数据：
年度 2020 2021 2022 2023
1 2 3 4
1250 1050 1000 900
（1）请利用所给数据求不戴头盔人数关于年度序号 的线性回归方程
，并估算该路口2024年不戴头盔的人数；
解：， ，
，
，
故所求线性回归方程为 ，
可估算该路口2024年不戴头盔的人数为 .
（2）交警统计了 年通过该路口的骑电瓶车出事故的50人，分析不
戴头盔行为与出现事故的关系，得到下表（单位：人），试问:不戴头盔行为与
出现事故是否有关
事故情况 戴头盔情况 总计
不戴头盔 戴头盔 出现事故 7 3 10
未出现事故 13 27 40
总计 20 30 50
参考公式：, .
，其中 .
解：提出假设H0:不戴头盔行为与出现事故无关,
因为χ2==4.687 5>3.841,所以我们认为可能性不超过5%的小概率事
件发生了,所以认为假设H0不成立,即认为不戴头盔行为与出现事故有关.
P(χ2≥x0) 0.1 0.05 0.01
x0 2.706 3.841 6.635§3　独立性检验问题
【课前预习】
知识点一
2×2列联表
诊断分析
是否吸烟　是否患肺癌　吸烟　不吸烟　患肺癌　未患肺癌
知识点二
1.是否独立　独立性检验
2.　a+b+c+d
5.独立　χ2　临界值x0
诊断分析
(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
【课中探究】
探究点一
例1　32　75　8　25　51　49　[解析] 由题知,抽取的100名学生中A类学生有100×=75(名),B类学生有100×=25(名),则补全列联表如下(单位:人):
学生分类 身高达标情况 总计
身高达标 身高不达标
A类学生 43 32 75
B类学生 8 17 25
总计 51 49 100
变式　C　[解析] 由题意,根据2×2列联表,可得a=73-21=52,b=a+22=52+22=74.故选C.
探究点二
例2　AD　[解析] 因为χ2≈10.921>10.828,所以我们认为可能性不超过0.1%的小概率事件发生了,所以认为药物有效,故B,C错误.根据统计量χ2的意义,可知其值越大,则判断X与Y有关的把握程度越大,故D正确.故选AD.
变式　C　[解析] χ2越大,认为“A与B有关”的把握越大,χ2越小,认为“A与B有关”的把握越小.故选C.
探究点三
例3　解:依题意知该问题是判断员工工作态度是否与对待企业改革态度有关.提出假设H0:员工工作态度与对待企业改革态度无关.由2×2列联表中的数据,经计算得到χ2=≈10.759,因为10.759>7.879,所以我们认为可能性不超过0.5%的小概率事件发生了,所以认为假设H0不成立,即认为员工工作态度与对待企业改革态度有关.
变式　解:(1)因为在这100人中随机抽取1人,抽到喜欢游泳的学生的概率为,所以这100人中喜欢游泳的学生人数为100×=60.2×2列联表补充完整如下:
单位:人
性别 是否喜欢游泳 总计
喜欢 不喜欢
男 40 10 50
女 20 30 50
总计 60 40 100
(2)依题意知该问题是判断该校学生是否喜欢游泳是否与性别有关.提出假设H0:该校学生是否喜欢游泳与性别之间无关.根据2×2列联表中的数据,经计算得到χ2=≈16.667,因为16.667>10.828,所以我们认为可能性不超过0.1%的小概率事件发生了,所以认为假设H0不成立,即认为该校学生是否喜欢游泳与性别有关.§3　独立性检验问题
3.1　独立性检验
3.2　独立性检验的基本思想
3.3　独立性检验的应用
【学习目标】
　　1.理解2×2列联表的统计意义,能用2×2列联表探讨两个变量的关系.
　　2.了解χ2的含义及其应用,理解独立性检验的基本思想及其实施步骤,并能应用解决实际问题.
◆ 知识点一　2×2列联表
设A,B为两个变量,每一个变量都可以取两个值,
变量A:A1,A2=;
变量B:B1,B2=.
通过观察得到如表所示的数据:
A B 总计
B1 B2
A1 a b a+b
A2 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
此表称为　　　　　　.
【诊断分析】 为了调查吸烟与患肺癌是否有关系,某机构随机调查了6578人,得到如下表所示的数据(单位:人):
吸烟情况 患肺癌情况
患肺癌 未患肺癌
吸烟 56 1932
不吸烟 23 4567
总计 79 6499
在这个问题中,需要考虑两个变量:　　　　,　　　　　　;每个变量应取两个值:　　　　、　　　　,　　　　、　　　　　.
◆ 知识点二　独立性检验
1.独立性检验:如何根据2×2列联表中的数据来判断变量A和B　　　　　　的问题称为2×2列联表的　　　　　　.
2.卡方公式:χ2=　　　　　　　　　　　　,其中n=　　　　　　.
卡方公式常用来检测变量之间是否独立.
在变量A,B独立的前提下,当样本量很大时,χ2近似服从一个已知的分布χ2(1),χ2的值越大,变量A,B独立的可能性越小.
3.临界值表
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
4.小概率值α的检验规则
(1)当χ2≥x0时,我们认为,可能性不超过x0的小概率事件发生了,所以认为假设H0不成立, 即认为变量A,B有关联.
(2)当χ25.应用独立性检验推断“变量A,B有关联”的一般步骤
(1)提出假设H0:变量A,B　　　　,并给出在问题中的解释;
(2)根据抽样数据整理出2×2列联表,计算　　　　的值,并与　　　　比较;
(3)根据临界值表作出判断.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在独立性检验中,若χ2越大,则两个分类变量有关联的可能性越大. (　 )
(2)若χ2>6.635,则在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为吸烟与患肺病有关联,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病. (　 )
(3)应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的. (　 )
(4)假设H0可以表述为:分类变量X和Y相互独立. (　 )
(5)独立性检验的样本不同,其结论可能不同. (　 )
◆ 探究点一　列联表
例1 某学校高二年级有学生1000名,经调查,其中750名学生经常参加体育锻炼(称为A类学生),另外250名学生不经常参加体育锻炼(称为B类学生),现用分层随机抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中共抽取100名,如果以165 cm作为身高达标的标准,由抽取的100名学生的身高,得到以下列联表(单位:人):
学生分类 身高达标情况 总计
身高达标 身高不达标
A类学生 43
B类学生 17
总计 100
请将上表补充完整.
变式 如表是一个2×2列联表,则表中a,b的值分别为 (　 )
X分类 Y分类 总计
Y1 Y2
X1 a 21 73
X2 22 25 47
总计 b 46 120
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.94,72 B.52,50
C.52,74 D.74,52
[素养小结]
作2×2列联表的关键是对涉及的变量分清类别,同时计算时要准确无误.
◆ 探究点二　独立性检验的基本思想
例2 (多选题)为考察一种新药预防疾病的效果,某科研小组进行动物试验,收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中.由列联表中的数据计算得χ2≈10.921.参照附表,下列结论正确的是 (　 )
P(χ2≥x0) 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 5.024 6.635 7.879 10.828
A.可能性不超过0.1%的小概率事件发生了,认为“药物有效”
B.认为“药物无效”,该判断犯错误的可能性不超过0.1%
C.可能性不超过0.01%的小概率事件发生了,认为“药物有效”
D.对分类变量X与Y,统计量χ2的值越大,则判断“X与Y有关系”的把握程度越大
变式 在检验A与B是否有关的过程中,根据所得数据算得χ2的值,则下列说法正确的是 (　 )
A.χ2越大,认为“A与B有关”的把握越小
B.χ2越大,认为“A与B无关”的把握越大
C.χ2越小,认为“A与B有关”的把握越小
D.χ2越接近0,认为“A与B无关”的把握越小
[素养小结]
理解χ2统计量在2×2列联表的独立性检验中的重要作用.
◆ 探究点三　独立性检验的应用
例3 某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系,经过调查得到如下2×2列联表:
单位:人
工作态度 对待企业改革态度 总计
积极支持 不太支持
积极 54 40 94
一般 32 63 95
总计 86 103 189
试问:员工工作态度与对待企业改革态度之间是否有关联
变式 游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱,某中学对100名学生进行了问卷调查,得到如下2×2列联表:
单位:人
性别 是否喜欢游泳 总计
喜欢 不喜欢
男 10
女 20
总计
已知在这100人中随机抽取1人,抽到喜欢游泳的学生的概率为.
(1)请将上述2×2列联表补充完整.
(2)试问:该校学生是否喜欢游泳与性别之间是否有关联
[素养小结]
利用χ2进行独立性检验的步骤:
(1)列出2×2列联表;
(2)计算出χ2的值;
(3)与临界值比较,得出两个变量有关的可能性大小,进而得到结论.§3　独立性检验问题
3.1　独立性检验
3.2　独立性检验的基本思想
3.3　独立性检验的应用
一、选择题
1.为了调查中学生的近视情况,测得某校150名男生中有80人近视,140名女生中有70人近视.用下列方法检验这些学生的近视情况是否与性别有关时,最有说服力的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.回归分析 B.均值与方差
C.独立性检验 D.概率
2.下面是一个2×2列联表:
X分类 Y分类 总计
Y1 Y2
X1 a 21 73
X2 b 25 33
总计 c 46 106
则表中a,b,c的值分别为 (　 )
A.94,6,102 B.52,50,60
C.52,8,60 D.54,8,60
3.对于分类变量A和B,通过计算得到χ2≈4.514,则下列说法正确的是 (　 )
A.判断变量A和B有关,该判断犯错误的可能性不超过1%
B.判断变量A和B有关,该判断犯错误的可能性不超过5%
C.判断变量A和B无关,该判断犯错误的可能性不超过1%
D.判断变量A和B无关,该判断犯错误的可能性不超过5%
4.根据是否爱好运动与性别的2×2列联表得到χ2≈3.852>3.841,判断是否爱好运动与性别有关,那么这种判断犯错误的可能性不超过 (　 )
A.2.5% B.0.5% C.1% D.5%
5.通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动,得到如下的2×2列联表.
单位:人
性别 是否爱好某项运动 总计
不爱好 爱好
男 20 40 60
女 30 20 50
总计 50 60 110
则下列结论正确的是 (　 )
A.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“是否爱好某项运动与性别有关联”
B.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“是否爱好某项运动与性别无关联”
C.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“是否爱好某项运动与性别有关联”
D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“是否爱好某项运动与性别无关联”
6.[2024·江西九江同文中学高二期末] 假设有两个变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列联表为
X Y 总计
Y=y1 Y=y2
X=x1 a b a+b
X=x2 c d c+d
总计 a+c b+d n=a+b+c+d
根据以下选项中的数据计算χ2的值,其中χ2最大的一组为 (　 )
A.a=60,b=50,c=40,d=30
B.a=60,b=40,c=50,d=30
C.a=40,b=30,c=50,d=60
D.a=30,b=40,c=50,d=60
7.(多选题)下面关于χ2的说法错误的是 (　 )
A.χ2的值越小,两个变量有关的可能性就越大
B.χ2的值越大,两个变量有关的可能性就越大
C.若χ2=2.89,则认为两个变量有关,该判断犯错误的可能性不超过1%
D.χ2的计算公式是χ2=
8.(多选题)[2024·河南南阳高二期中] 如表,在两个变量X与Y的2×2列联表中,已知χ2=,其中n=a+b+c+d,则下列结论正确的是 (　 )
X Y 总计
Y=y1 Y=y2
X=x1 a b a+b
X=x2 c d c+d
总计 a+c a+d a+b+c+d
A.若每个数据a,b,c,d均变为原来的2倍,则χ2的值不变
B.|ad-bc|越大,两个变量有关联的可能性越大
C.对于独立性检验,随机变量χ2的值越小,判定“两变量有关联”犯错误的概率越大
D.若计算得到χ2=5.012,则认为“X与Y有关联”犯错误的概率不超过0.05
二、填空题
9.为了研究患慢性支气管炎是否与吸烟有关,调查了339名50岁以下的人,根据调查结果得到如下列联表(单位:人).
吸烟情况 患慢性病情况 总计
患慢性支气管炎 未患慢性支气管炎
吸烟 43 162 205
不吸烟 13 121 134
总计 56 283 339
根据列联表中的数据,求得χ2的值约为　　　　.(精确到0.001)
10.在下面的2×2列联表中,a-b+d=　　　　.
X分类 Y分类 总计
Y1 Y2
X1 a b 20
X2 6 d
总计 18 50
11.[2024·吉林长春南关区实验中学高二期末] 为了考察某种药物治疗疾病的效果,进行动物试验后得到如下的2×2列联表(单位:只):
服用药物情况 治疗效果情况 总计
治愈 未治愈
服用药物 a 15-a 15
未服用药物 20-a 30+a 50
总计 20 45 65
其中a,15-a均为大于5的整数,则当a=　　　　时,认为“是否服用药物与治疗效果有关联”,该判断犯错误的可能性不超过1%.
12.[2024·武汉武钢三中高二月考] 某校团委对“学生性别和是否喜欢某视频APP是否有关联”做了一次调查,其中被调查的女生人数是男生人数的一半,男生喜欢该视频APP的人数占男生人数的,女生喜欢该视频APP的人数占女生人数的,若认为是否喜欢该视频APP和性别有关联,且犯错误的可能性不超过5%,则男生至少有　　　　人.
三、解答题
13.为考察某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物试验,得到如下列联表(单位:只):
服用药物情况 患疾病情况 总计
未患疾病B 患疾病B
未服用药物A 29 15 44
服用药物A 47 14 61
总计 76 29 105
试问:药物A对预防疾病B是否有效.
14.某校学生社团组织社会调查活动,随机调查了市区某个路口100个工作日中每天早高峰时段(7点至9点)的天气情况和当天早高峰时段经过该路口的机动车车次,整理数据得到下表:
天气 机动车车次
[0,800) [800,1600) [1600,2400]
晴天 10 52 13
阴天 2 9 8
雨天 0 2 4
(1)分别估计该市一天早高峰时段的天气为晴天和雨天的概率.
(2)晴天记为“天气好”,阴天或雨天记为“天气不好”.若当天早高峰时段经过该路口的机动车车次小于1600,则视为交通顺畅,否则视为交通拥堵.根据所给数据,列出2×2列联表,试问:交通状况与天气情况是否有关联
15.[2024·龙岩上杭一中高二月考] 某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况,用来研究这两者是否有关联.若从该班级中随机抽取1名学生,设A=“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”,B=“抽取的学生建立了个性化错题本”,且P(A|)=,P(B|)=,P(B)=.
(1)求P(A)和P(A|B).
(2)若该班级共有36名学生,请完成列联表,试问:学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关联
单位:人
个性化 错题本 期末统考中的数学成绩 总计
及格 不及格
建立
未建立
总计

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