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1.3正方形的性质与判定课后培优提升训练2024-2025学年北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．每一条对角线平分一组对角
C．对角线相等 D．对边相等
2．如图，以正方形的一边向形外作等边，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，小青用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得，对角线，接着把活动学具做成图2的正方形，则图2中对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，面积为1的正方形中，点E、F、G、H分别是边的中点，则四边形的面积是（　　）
A．1 B． C． D．
5．如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．1
7．如图，四边形为正方形，E、B、C共线，把绕A点逆时针方向旋转到处，F在上，连，则①旋转角度为；②；③为等腰直角三角形；④，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④
8．如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，已知正方形的边长为2，点E是边的中点，点P是对角线上的一个动点，则线段的最小值是 ．
10．如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，．下列结论：①；②；③点B到直线的距离为；④；⑤．其中正确结论的序号是 ．
11．在菱形中，，以为边作正方形，连接，则的度数为 ．
12．如图，、为正方形对角线上两点，，，，则的长为 ．
三、解答题
13．已知E为正方形内部一点，且满足， 连接、、．
(1)如图1， 若，则 ________；
(2)如图2， 连接，点F为右侧一点，且．连接，射线交线段于点M．
①依题意补全图2；
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．
14．如图，在正方形中，E，F分别是边，上的一点，，连接，．
(1)求证：；
(2)如图，连接交于点G，连接，若，，求的长；
(3)如图，过点F作于点M，若，，求出的长．
15．已知点在正方形的边（不含端点）上，将沿翻折得到．
(1)若点落在对角线上，请在图中作出（尺规作图，保留作图痕迹），并直接写出的度数；
(2)如图，点是的延长线与的交点，连接，
求的度数；
如图，设与相交于点，连接，．若，求的值．
16．在正方形中，点是射线上的一个点，以为边向右侧作正方形．
(1)如图1，当点在线段上时，求证：；
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点为线段的中点，连接，若，则的最小值为 ．
17．如图，在正方形中，点是对角线上的一点，点在的延长线上，且，交于点．
求：
(1)求证：
(2)连接，求证：
(3)如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，试探究线段与的数量关系，并说明理由．
18．已知四边形和四边形都是正方形，且．
(1)如图1，连接．求证：；
(2)如图2，如果正方形绕点C旋转到某一位置恰好使得，．
①求的度数；
②若正方形的边长是，请求出的面积．
参考答案
一、选择题
1．C
2．A
3．C
4．B
5．C
6．C
7．D
8．A
二、填空题
9．
10．①②⑤
11．或
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：四边形是正方形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）解：①补全图，如下
②，理由如下：
如图，连接、，过作交的延长线于，
且，
四边形是正方形，
，
，
，
，
（），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（），
．
14．【解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，即点F为中点，
如图所示，取中点H，连接交于P，
∴，
同理可证，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
取中点Q，连接，则是的中位线，
∴，
∴由平行线的唯一性可知点Q与点P重合，
∴，
∴垂直平分，
∴，
又∵
∴；
（3）解：连接，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
在中，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴．
15．【详解】（1）解：如图，即为所求，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
由作图可知，平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴即为所求，，
∴；
（2）解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠性质可知，，
∴，
设，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
如图，过作，交延长线于点，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠性质可知：，，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵垂直平分，，
∴，
∴，
∴．
16．【解】（1）证明：∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，以为原点，和所在的直线为坐标轴建立坐标系，则，作于，交于点G，则，，
∴，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
设，
∴，
又∵点为线段的中点，
∴，
即，
∴，
∴点在直线上运动，当直线时，最小，
设直线交直线于，交轴于，作于，
由得，
，
∴，
∴，
由得，
，
∴最小，
故答案为：．
17．【解】（1）证明：在正方形中，，，
又∵，
∴（），
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（）知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵（对顶角相等），
∴，即，
∴，
∵，
∴；
（3）解：
理由是：在菱形中，，，
在和中，又∵，
∴（），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵（对顶角相等），
∴，
即，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
82．【详解】（1）证明：∵四边形和四边形为正方形，
∴．
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴；
（2）解：①连接，如图2所示：
由（1）可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
②延长交于点H，过点G作于N，如图3所示：
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
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