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第12章 函数与一次函数
一、单选题
1．把直线向下平移2个单位，得到的直线是（　　）
A． B． C． D．
2．一次函数y＝kx+b的图像如图所示，当kx+b＞3时，x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x＜0 C．x＜2 D．x＞2
3．一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（　　）
A．两车到第3秒时行驶的路程相同
B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米
C．乙前4秒行驶的路程为48米
D．在4到8秒内乙的速度都小于甲的速度
5．若a>0，b<0，则函数y=ax+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体x（kg）之间的函数解析式分别是y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，图象如图所示，当所挂物体质量均为2kg时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为
A．y1>y2 B．y1=y2 C．y17．若一次函数 的图象位于第一、二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表：
… -2 -1 0 1 2 …
… 4 1 -2 -6 -8 …
经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（　　）
A．2 B．1 C．-6 D．-8
9．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为（2，0）、（1，2），点B在第一象限，将直线y＝﹣2x沿y轴向上平移m（m＞0）个单位．若平移后的直线与边BC有交点，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜8 B．0＜m＜4 C．2＜m＜8 D．4≤m≤8
10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（　　）
A． B．
C． D．
11．把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为（　　）
A．y＝﹣2x+4 B．y＝﹣2x+8 C．y＝﹣2x﹣4 D．y＝﹣2x﹣8
12．高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．或
二、填空题
13．请写出一个y随着x的增大而减小的正比例函数解析式　 　．
14．将直线的图象向下平移2个单位后，经过点，则平移后的直线解析式为　 　．
15．将直线沿轴向上平移3个单位长度后经过点，则　 　．
16．如图是关于x的一次函数的图象，则实数m的取值范围　 　．
17．如图，经过点（4，0）的直线：y＝﹣x+b与直线：y＝ax交于点P（n，3），则不等式组﹣x+b≥ax＞0的解集是　 　．
18．如图，折线表示从甲地向乙地打电话所需的电话费（元）关于通话时间（分钟）的函数图象，则通话7分钟需要支付电话费　 　元．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0）…直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点A1，A2，A3，…An，函数y＝2x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点B1，B2，B3，…Bn．如果△OA1B1的面积记为S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记作Sn，那么S2011＝　 　．
20．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则
（1）　 　．
（2）　 　．
21．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx﹣1（k ≤ 2）与直线x＝﹣k，y＝﹣k分别交于点A，B．直线x＝﹣k与y＝﹣k交于点C．记线段AB，BC，AC围成的区域（不含边界）为W；横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
（1）当k＝﹣2时，区域W内的整点个数为　 　．
（2）若区域W内没有整点，则k的取值范围是　 　．
22．甲地宏达物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度沿快速通道向乙地匀速行驶，快递车到达乙地后，卸完物资并另装货物共用了分钟，然后按原路以另一速度返回，直至与货车相遇，已知货车行驶速度为，两车间的距离与货车行驶时间之间的函数图象如图所示
给出以下四个结论：
①快递车从甲地到乙地的速度是
②甲、乙两地之间的距离是
③图中点的坐标为
④快递车从乙地返回时的速度为
其中正确的是　 　填序号
23．如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A （2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则
（1）点B4的坐标为　 　．
（2）点Bn的坐标为　 　．
三、解答题
24．已知与成正比例，且时，．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）求当时，的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y = kx ＋ b 的图象与 x 轴交点为 A(-3， 0)，与 y 轴交点为 B ，且与正比例函数的图象交于点C（m，4）.
（1）求点C 的坐标；
（2）求一次函数 y = kx ＋ b 的表达式；
（3）若点P 是y 轴上一点，且 BPC 的面积为6，请直接写出点P 的坐标.
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B两点分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB=3．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图1，若点C( 2，2)，求三角形ABC的面积；
（3）若点P是第一、三象限角平分线上一点，且三角形ABP的面积为，求点P坐标．
27．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点
（1）求直线 的解析式；
（2）若直线上的点C 在第一象限，且 求点C的坐标．
28．甲、乙两人相约登山， 他们同时从人口处出发， 甲步行登山到山顶， 乙先步行 15 分钟到缆车站， 再乘坐缆车到达山顶． 甲、乙距山脚的垂直高度 （米） 与甲登山的时间 （分钟）之间的函数图象如图所示．
（1） 当 时， 求乙距山脚的垂直高度 与 之间的函数关系式；
（2）求乙乘坐缆车上升过程中， 和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．
29．宜良烤鸭，是云南省经典的地方传统名肴．起源于明朝，已有600多年的历史，它肥瘦相宜，皮酥脆，内香嫩，光亮油润，色泽红艳，清香离骨，地方风味显著．已知3袋鸭翅比2袋烤鸭贵50元，1袋鸭翅和2袋烤鸭刚好110元（1袋鸭翅为1kg，1袋烤鸭为一整只装）．
（1）1袋鸭翅、1袋烤鸭分别是多少元？
（2）仪仪一家计划购买烤鸭和鸭翅共10袋，带回家与亲友共享，其中烤鸭至少比鸭翅多1袋，又不能超过鸭翅的4倍，仪仪想用自己剩余的380元零花钱来买单，请你帮仪仪计算一下她的零花钱够不够付账．
30．今年，我省部分地区出现持续干旱现象，为确保生产生活用水，某村决定由村里提供一点，村民捐一点的办法筹集资金维修和新建一批储水池．该村共有243户村民，准备维修和新建的储水池共有20个，费用和可供使用的户数及用地情况如下表：
储水池 费用（万元/个） 可供使用的户数（户/个） 占地面积（m2/个）
新建 4 5 4
维修 3 18 6
已知可支配使用土地面积最多为，若新建储水池x个，新建和维修的总费用为y万元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）满足要求的方案各有几种；
（3）在以上备选方案中，若平均每户捐2000元时，村里出资最多和最少分别是多少？
31．如图，已知一次函数的图象经过点与，点为直线上一点，横坐标为，点为平面内一动点，当点不在直线上时，以为边向左作正方形．
（1）直接写出直线的函数关系式为______；
（2）当时，求线段的长；
（3）求正方形的边长长（用含的代数式表示）；
（4）当正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围．
32．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．
（1）如图1，作直线，在轴上有一点，若的面积为2，求点的坐标；
（2）如图1，若在第一象限上存在一点M，M的坐标为，满足，求的取值范围；
（3）如图2，点在线段上，且m，n满足，点在轴负半轴上，连接交轴于点，记D、B、F三点构成的三角形面积为，记F、O、三点构成的三角形面积记为，若，求点的坐标．
33．在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是直线上的一点．
（1）求出直线的解析式；
（2）如图1，当的面积为9时，求点的坐标；
（3）如图2，直线交轴于点．若，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵kx＋b＞3，
∴y＞3，
∵当y＞3时，结合图像可得：函数与y轴交点上方的图像，
∴x＜0；
故答案为：B．
【分析】
通过观察题目给出的一次函数图象将kx＋b＞3转化为y＞3， 再通过分析函数图象在y=3时的位置以及大于3时所对应的x的取值范围，得出答案即可．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵中，，
∴一次函数图象经过第一、三、四象限，
∴不经过第二象限，
故答案为：B ．
【分析】根据一次函数中的符号，图像从左到右是上升，且与y轴相交于负关轴，从而可画出图像可过一、三、四象限，即可得答案．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：A．由于甲的图象是过原点的直线，所以可得v=4t（v、t分别表示速度、时间），
将v=12代入v=4t得t=3，则t=3前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第3秒时行驶的路程不相等，符合题意；
B．根据图象得：在0到8秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到32米/秒，则每秒增加（32÷8）=4（米/秒），不符合题意；
C．根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12×4=48米，不符合题意；
D．在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据函数图象对每个选项一一判断求解即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵a>0，
∴y随x的增大而增大.
∵b<0，
∴函数图象与y轴的交点坐标在y轴负半轴，C满足.
故答案为：C.
【分析】y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限.
6．【答案】A
7．【答案】B
【解析】【解答】解：y＝（k 3）x＋1的图象经过第一、二、四象限，
∴k 3＜0，
∴k＜3；
故答案为：B．
【分析】先求出k 3＜0，再求出k＜3即可作答。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：设该一次函数的解析式为 （ ），
将 ， 代入 ，得： ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为 .
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
∴C错误.
故答案为：C.
【分析】由表格中任取两个点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式，再逐一验证其它三点坐标即得结论.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：设平移后的直线解析式为y＝-2x＋m.
∵四边形OABC为平行四边形，且点A（2，0），O（0，0），C（1，2），
∴点B（3，2）．
∵平移后的直线与边BC有交点，
∴，
解得：4≤m≤8．
故答案为：D．
【分析】先设平移后的直线解析式为y＝-2x＋m，再利用平行四边形的性质求出点B的坐标，然后将点B的坐标，再结合“平移后的直线与边BC有交点”列出不等式组，最后求出m的取值范围即可.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，
∴CD=AB=2，BC=AD=3，
∵点E是BC边上靠近点B的三等分点，
∴CE=×3=2，
①点P在AD上时，△APE的面积y=x 2=x（0≤x≤3），
②点P在CD上时，S△APE=S梯形AECD﹣S△ADP﹣S△CEP，
=（2+3）×2﹣×3×（x﹣3）﹣×2×（3+2﹣x），
=5﹣x+﹣5+x，
=﹣x+，
∴y=﹣x+（3＜x≤5），
③点P在CE上时，S△APE=×（3+2+2﹣x）×2=﹣x+7，
∴y=﹣x+7（5＜x≤7），
故选：A．
【分析】求出CE的长，然后分①点P在AD上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的函数关系；②点P在CD上时，根据S△APE=S梯形AECD﹣S△ADP﹣S△CEP列式整理得到y与x的关系式；③点P在CE上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的关系式，然后选择答案即可．
11．【答案】B
【解析】【解答】解：∵直线AB是直线y＝﹣2x平移后得到的，
∴直线AB的k是﹣2（直线平移后，其斜率不变）
∴设直线AB的方程为y﹣y0＝﹣2（x﹣x0）①
把点（m，n）代入①并整理，得
y＝﹣2x+（2m+n）②
∵2m+n＝8③
把③代入②，解得y＝﹣2x+8，
即直线AB的解析式为y＝﹣2x+8．
故答案为：B．
【分析】由题意知，直线AB的斜率，又已知直线AB上的一点（m，n），所以用直线的点斜式方程y﹣y0＝k（x﹣x0）求得解析式即可．
12．【答案】D
【解析】【解答】解：关于的方程有三个不同的实根，
与有三个不同的交点，
有恒过点，
如下图：
当过点时，，
当过点时，，
当过点时，，
当过点时，，
关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是或．
故答案为：D
【分析】根据题意结合一次函数的图象得到与有三个不同的交点，恒过点，再找出临界点，从而即可得到k的取值范围。
13．【答案】y=-x（答案不唯一）
【解析】【解答】解：设正比例函数的解析式为：y=kx（k≠0），
∵y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
∴k的值可以取-1，
即正比例函数解析式可以为：y=-x，
故答案为：y=-x（答案不唯一）.
【分析】根据正比例函数的性质求解即可。
14．【答案】
【解析】【解答】解：将直线的图象向下平移2个单位，
∴平移后得到的新解析式为：，
∵平移后的新解析式经过点，
∴，
解得：，
∴平移后的直线解析式为，
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象平移的规律“上加下减常数项，左加右减自变量”得出平移后的解析式，然后将点坐标代入新的解析式，即可求解．
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】0＜x≤1
【解析】【解答】∵经过点（4，0）的一次函数y＝﹣x+b与正比例函数y＝ax交于点P（n，3）．
∴﹣4+b＝0，
∴b＝4，
∴y＝﹣x+4，
∴3＝﹣n+4，
∴n＝1，
∴P（1，3），
由图象得：不等式组﹣x+b≥ax＞0的解集是0＜x≤1，
故答案为0＜x≤1．
【分析】将点（4，0）和点P的坐标代入一次函数的解析式求得n的值，然后根据函数的图象结合点P的坐标确定不等式的解集即可．
18．【答案】6.4
【解析】【解答】解：设BC的解析式为y=kx+b，
∵B（3，2.4），C（5，4.4），
∴，
∴，
∴BC的解析式为y=x-0.6，
∴当x=7时y=6.4，
∴通话7分钟需要支付电话费6.4元.
故答案为：6.4.
【分析】设BC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出BC的解析式为y=x-0.6，求出当x=7时y=6.4，即可得出通话7分钟需要支付电话费6.4元.
19．【答案】2010.5
【解析】【解答】∵函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点A1，A2，A3，…An，
∴A1（1，1），A2（2，2），A3（3，3）…An（n，n），
又∵函数y＝2x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点B1，B2，B3，…Bn，
∴B1（1，2），B2（2，4），B3（3，6），…Bn（n，2n），
∴S1＝×1×（2﹣1），
S2＝×2×（4﹣2）﹣×1×（2﹣1），
S3＝×3×（6﹣3）﹣×2×（4﹣2），
…
Sn＝
＝n2﹣（n﹣1）2
＝n﹣．
当n＝2011，S2011＝2011﹣＝2010.5．
故答案为：2010.5．
【分析】先求出规律Sn＝＝n﹣，再将n=2011代入计算即可。
20．【答案】50；
21．【答案】（1）6
（2）0＜k≤1或k=2
【解析】【解答】解（1）∵当k＝﹣2时 ， y＝kx﹣1 =-2x-1
∴直线x＝﹣k=2，y＝﹣k =2
∴A(2，-5)，B( ，2)，C(2，2)
作出图象：
在区域W内有6个整数点：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（1，-1），（1，-2）
故答案为：6；
（2）∵当k＜0时，则 x＝﹣k ＞0
∴区域内包含坐标原点，不符合题意；
当0＜k≤1时， -1≤x＝﹣k＜0，
∵该区域不含边界
∴无整数点，故当0＜k≤1时，W内无整点，符合题意；
当1＜k≤2时， -2≤x＝﹣k＜1，
∴该区域内横坐标只能是-1
∴边界上两点坐标为M（-1，-k），N（-1，-k-1），MN=1
∴当k不为整数时，必有整数点
但当k=2时，只有两个边界点为整数点，此时W内无整点
综上所述，当0＜k≤1或k=2时， 区域W内没有整点
故答案为： 0＜k≤1或k=2.
【分析】（1）将k=-2代入解析式中，求出A、B、C三点坐标，作出图象，即可求得区域W内的整点个数；
（2）根据 k ≤ 2 ，分k＜0，0＜k≤1和1＜k≤2这三种情况讨论，当k＜0时，区域内包含坐标原点，不符合题意；当0＜k≤1时，W区域内横坐标在-1和0之间，无整数点，从而得到当0＜k≤1时，W内无整点；当1＜k≤2时，W区域内横坐标只能是-1，边界上两点坐标为M（-1，-k），N（-1，-k-1），MN=1，当k不为整数时，必有整数点，当k=2时，只有两个边界点为整数点，此时W内无整点；综上可得出答案.
22．【答案】①③④
【解析】【解答】解：①根据图象得，V快-V货=，
∵ V货=60km/h，
∴ V快=100km/h，故①符合题意；
②甲乙两地的距离=V快×2=200km，故②不符合题意；
③B点的横坐标为2+=2，纵坐标为80-×V货=35，
即B（2，35），故③符合题意；
④设快递车从乙地返回时的速度为a km/h，
根据题意得，(a+60)()=35，
解得，a=90，
故④符合题意.
故答案为：①③④.
【分析】根据A点可得V快-V货=40，即可判断①；根据货车速度和时间可计算出甲乙两地的距离，即可判断②；B点为货车开始从乙地返回的时间和两车间的距离，即可判断③；根据BC两点列方程即可判断④.
23．【答案】（1）（8，16）
（2）（2n﹣1，2n）
【解析】【解答】解：（1）由已知作图规律可知：
A1（1，0），A （2，0），A3（4，0），A4（8，0）；
∴对应的B1（1，2），B2（2，4），B3（4，8），B4（8，16）；
故答案为B4（8，16）；（2）A1（1，0），A （2，0），A3（4，0），A4（8，16），…，An（2n﹣1，0），
∴对应的B1（1，2），B2（2，4），B3（4，8），B4（8，16），…，Bn（2n﹣1，2n），
故答案为（2n﹣1，2n）
【分析】（1）根据作图规律，A的横坐标后一个是前一个的2倍；（2）B点的横坐标和A点横坐标相同，B点在y＝2x上，即可求出点B的规律；
24．【答案】（1）；
（2）．
25．【答案】（1）点C坐标为（3，4），（2）一次函数的表达式为：（3）点P 的坐标为（0，6）或（0， 2）．
26．【答案】（1）A（3，0），B（0，3）；
（2）三角形ABC的面积为；
（3）点P坐标为（8，8）或（-5，-5）．
27．【答案】（1）
（2）
28．【答案】（1）解：由图像可知 当 时 直线经过（15，0），（40，300），
设 乙距山脚的垂直高度 与 之间的函数关系式为y=kx+b，
由图像可知直线y=kx+b经过（15，0），（40，300），
将这两点代入得，，解得，
∴乙距山脚的垂直高度 与 之间的函数关系式为y=12x-180.
（2）解：设甲得函数解析式为y=mx+n，
将（25，160），（60，300）代入得，
，解得，
∴甲得函数解析式为y=4x+60，
∵ 乙乘坐缆车上升过程中， 和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度 ，
∴，解得
乙乘坐缆车上升过程中， 和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为 180 米
【解析】【分析】（1）将 乙距山脚的垂直高度 与 之间的函数关系式 设出来，再利用待定系数法求解即可；
（2） 先求出甲和乙得解析式，乙乘坐缆车上升过程中， 再将甲，乙两个解析式组成一元二次方程组，求出方程组得解，y的值就是乙乘坐缆车上升过程中， 和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度.
29．【答案】（1）1袋鸭翅为40元、1袋烤鸭为35元
（2）仪仪的零花钱够付账的
30．【答案】（1）解：由题意，得：；
（2）解：由题意，得：，
解得：；
∴的整数解有7，8，9共3个；
故满足要求的方案有三种：
新建7个，维修13个；
新建8个，维修12个；
新建9个，维护11个；
（3）解：由知：y随x的增大而增大．
∴当时，y最小（万），
当时，y最大（万）．
而居民捐款共（万）．
∴村里出资最多为万，最少为万．
【解析】【分析】（1）根据总费用新建x个储水池的费用+维护(20-x)个储水池的费用，可列出y与x之间的函数关系式；
（2）根据新建x个储水池可供使用的户数+维护的(20-x)个水池可供使用的户数不少于243及新建的x个水池占地面积+维护的(20-x)个水池的占地面面积不超过106，列出不等式组，求出x的整数解即可得出答案；
（3）根据一次函数的增减性，求出函数最大值和最小值，进而算出居民捐款的总钱数，再分别求差即可.
（1）解：由题意，得：；
（2）由题意，得：，
解得：；
∴的整数解有7，8，9共3个；
故满足要求的方案有三种：
新建7个，维修13个；
新建8个，维修12个；
新建9个，维护11个；
（3）由知：y随x的增大而增大．
∴当时，y最小（万），当时，y最大（万）．
而居民捐款共（万）．
∴村里出资最多为万，最少为万．
31．【答案】（1）
（2）1
（3）或
（4）或
32．【答案】（1）或
（2）或
（3）
33．【答案】（1）
（2）或
（3）或

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