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第21章二次函数与反比例函数
一、单选题
1．一次函数与反比例函数（，为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，则点C的坐标为（　　）
A．（3，6） B．（0，8）
C．（0，﹣1） D．（4，0）或（2，0）
3．若函数在每一象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．下列二次函数中，顶点坐标为（－5，0），且开口方向、形状与y＝－x2的图象相同的是（　　）
A．y＝（x－5）2 B．y＝x2－5
C．y＝－（x＋5）2 D．y＝（x＋5）2
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），点A(-1，0)，与y轴交于点C(0，c)，其中2≤c≤3．对称轴为直线x=1，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x≥3时，y<0；③这个二次函数的最大值的最小值为；④-1≤a≤-其中正确结论的个数有（　　）个
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，已知二次函数的图象如图所示，对于下列结论，其中正确结论的个数是（　　）
①；
②；
③；
④若m为任意实数；则．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表：
x 0 1 3 5
y 0 8 9 5
下列说法错误的是（　　）
A．，
B．
C．不等式的解集是
D．（m为任意实数）
8．已知二次函数图象的最低点坐标为，则一次函数图象可能在（　　）
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
9．如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，直线与反比例函数相交于点，与轴交于点，将射线绕点逆时针旋转，交反比例函数图象于点，则点构成的三角形面积为（　　）
A． B． C． D．
11．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y= 上的三点，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（　　）
A．x1 x2＜0 B．x1 x3＜0 C．x2 x3＜0 D．x1+x2＜0
12．如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y= （x＞0）的图象经过顶点B，则反比例函数的表达式为（　　）
A．y= B．y= C．y= D．y=
13．如图是抛物线 的部分图象，其对称轴为直线 且与x轴的一个交点坐标是 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ （m为任意实数）．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间（包含端点）．有下列结论：①；②；③；④当时，，⑤．其中正确的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
15．如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是　 　（用“＜”连接）．
16．将抛物线 向右平移个单位，再向上平移个单位后得到一条新的抛物线，则这条新的抛物线的顶点为　 　.
17．在直角坐标平面内，函数（）的图象在同一个象限内经过两点，且．过点B作y轴的垂线，垂足为点C，连接，若，则点B的坐标是　 　．
18．在平面直角坐标系xOy中，点，都在反比例函数的图象上，则的值为　 　．
19．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长度为，则这块矩形场地的最大面积为 　 　．
20．如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．若格点A、B在函数的图象上，则k的值为　 　．
21．如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝．
22．如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是　 　．
23．如图，已知点M(a，b)是函数y=-x2+x+2图象上的一个动点，若|a|<1，则b的取值范围是　 　。
24．如图，曲线 是双曲线 绕原点O逆时针旋转 得到的图形，P是双曲线 上任意一点，点A在直线 上，且 ，则 的面积等于　 　
三、解答题
25．函数是二次函数，求该函数图象与x轴的交点坐标．
26．已知：二次函数．
（1）将化成的形式．
（2）求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值．
27．在平面直角坐标系中，点，为抛物线上两个不同的点．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（2）若，求m的取值范围．
28．在平面直角坐标系中，一次函数经过点，，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）①当双曲线经过点时，求的值；
②当时，对于的每一个值，永远有成立，直接写出的取值范围．
29．如图，已知直线与双曲线（为大于零的常数，且）交于点，且．
（1）求的值．
（2）若点关于直线的对称点为，试判断点是否在双曲线上，并求出所在直线的函数解析式．
30．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．通过调查市场行情发现销售该水果不会亏本．
（1）当售价为60元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8000元时，每千克水果售价为多少元？
（3）若某个月的水果销售量不少于400千克，当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？最大月利润是多少？
31．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润=销售价-进价）
32．如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，E点是BC的中点，F是AB延长线上一点且FB=1．
（1）求经过点O、A、E三点的抛物线解析式；
（2）点P在抛物线上运动，当点P运动到什么位置时△OAP的面积为2，请求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
33．如图：反比例函数 与一次函数 的图象交于A(1，3)和B(-3，n)两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）当x取什么值时，一次函数的值大于反比例函数的值．
（3）求出△OAB的面积．
34．新定义：如果函数G的图象与直线l相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），那么我们把|x1 x2|叫做函数G在直线l上的“截距”．
（1）求双曲线G：与直线l：上的“截距”；
（2）若抛物线与直线相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若“截距”为，且x1＜x2＜0，求b的值；
（3）设m，n为正整数，且，抛物线在x轴上的“截距”为d1，抛物线在x轴上的“截距”为d2．如果对一切实数t恒成立，求m，n的值．
35．如图，△PAB的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数 图象的两个分支上，且PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F已知B（1，3）
（1）k=　 　；
（2）试说明AE=BF；
（3）当四边形ABCD的面积为 时，求点P的坐标。
36．如图，在平面直角坐标系中，的边垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过的中点C，交于点D．若点D的坐标为，且．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；
（3）设点E是线段上的动点（不与点C，D重合），过点E且平行于y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】C
【解析】【解答】解：顶点坐标为（－5，0），且开口方向、形状与y＝－x2的图象相同的二次函数解析式为：y＝－（x＋5）2，
故答案为：C．
【分析】根据 顶点坐标为（－5，0），且开口方向、形状与y＝－x2的图象相同 ，对每个选项一一判断即可。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵对称轴为直线x==1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故①正确；
∵抛物线过点（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴与x轴的另一个交点坐标为（3，0）.
∵C（0，c），2≤c≤3，
∴a<0，
∴当x≥0时，y≤0，故②错误；
∵抛物线过点（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴a+2a+c=0，
∴a=c，
∴b=-2a=c.
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，函数取得最大值，此时y=a+b+c=c+c+c=c，
∵2≤c≤3，
∴≤c≤4，
∴这个二次函数的最大值的最小值为，故③正确；
∵a=c，2≤c≤3，
∴-1≤a≤-，故④正确.
故答案为：B.
【分析】根据对称轴为直线x==1可得b=-2a，据此判断①；根据对称性可得与x轴的另一个交点坐标为（3，0），由C（0，c），2≤c≤3可得a<0，据此判断②；根据图象过点（-1，0）结合b=-2a可得a=c，则b=-2a=c，则函数的最大值为y=a+b+c=c+c+c=c，结合c的范围可判断③；根据a=c结合c的范围可得a的范围，进而判断④.
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】C
10．【答案】D
【解析】【解答】解：过作于，过作轴于，过作延长线于，连接，设交轴于点，
∵直线与反比例函数相交于点，
∴，，
解得：，，
∴直线解析式为，反比例函数，
当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∵点和点，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴，
令，则，
∴，
∴，
联立，解得：或，
∴，
∴
，
故答案为：。
【分析】过作于，过作轴于，过作延长线于，连接，设交轴于点，将A点坐标分别代入一次函数和 反比例函数，求出直线AB的解析式和反比例函数的解析式，然后令x=0，求出B点坐标，然后再根据旋转的角度，易得是等腰直角三角形，再根据 ，易证，设，由点和点，则，，代入数据，即可求出a的值，可得F点的坐标， 设直线的解析式为 ，因F点在AC直线上，将A点坐标和F点坐标代入 ，求得直线的解析式，然后建立方程组，求出C点坐标，最后再通过，代入数据即可求解。
11．【答案】A
【解析】【解答】解：∵反比例函数y= 中，2＞0，
∴在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，
∴点A，B在第三象限，点C在第一象限，
∴x1＜x2＜0＜x3，
∴x1 x2＜0，
故选A．
【分析】根据反比例函数y= 和x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，可得点A，B在第三象限，点C在第一象限，得出x1＜x2＜0＜x3，再选择即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性，本题是逆用，难度有点大．
12．【答案】C
【解析】【解答】
解：过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
则∠AMO=∠BNC=90°，
∵四边形AOCB是菱形，
∴OA=BC=AB=OC，AB//OC，OA//BC，
∴∠AOM=∠BCN，
∵A（3，4），
∴OM=3，AM=4，由勾股定理得：OA=5，
即OC=OA=AB=BC=5，
在△AOM和△BCN中
∴△AOM≌△BCN（AAS），
∴BN=AM=4，CN=OM=3，
∴ON=5+3=8，
即B点的坐标是（8，4），
把B的坐标代入y= 得：k=32，
即y= ，
故选：C．
【分析】过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，根据菱形性质得出OA=BC=AB=OC，AB//OC，OA//BC，求出∠AOM=∠BCN，OM=3，AM=4，OC=OA=AB=BC=5，证△AOM≌△BCN，求出BN=AM=4，CN=OM=3，ON=8，求出B点的坐标，把B的坐标代入y= 求出k即可．
13．【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线对称轴为直线 ，
∴b=-2a，∴2a+b=0，故①符合题意；
∵抛物线的对称轴x=1，与x轴交于（3，0），
∴另一个交点坐标（-1，0），
∴x=-2时，y=4a-2b+c＜0，故②符合题意；
∵x=-1时，y=0，即a-b+c=0，
∴a+2a+c=0，即3a+c=0，
∴c=-3a，∴a+2b-c=a-4a+3a=0；故③不符合题意；
∵x=1时，函数有最大值，
∴点A（m，n）在该抛物线上，
则am2+bm+c≤a+b+c，∴am2+bm≤a+b，
即am2-a≤b（1-m）（m为任意实数），
故④不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的图象与性质一一判断即可．
14．【答案】C
15．【答案】k1＜k2＜k3
16．【答案】(5，-1)
【解析】【解答】解：向右平移个单位，可得：
向上平移个单位可得：，
∴平移后新抛物线顶点坐标为，
故答案为：.
【分析】将抛物线y=a（x-h）2+k向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h+m）2+k；将抛物线y=a（x-h）2+k向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h-m）2+k；将抛物线y=a（x-h）2+k向上平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k+m；将抛物线y=a（x-h）2+k向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k-m，据此得到平移后的抛物线的解析式，进而根据顶点式y=a（x-h）2+k的顶点式中其顶点坐标为（h，k）即可直接得出答案.
17．【答案】或
18．【答案】
【解析】【解答】解：∵点，都在反比例函数的图象上
∴，解得
∴
故答案为：．
【分析】利用待定系数法可分别求出m、n的值。
19．【答案】32
20．【答案】4
21．【答案】24
22．【答案】1+
【解析】【解答】如图，∵点A坐标为（﹣2，2），
∴k=﹣2×2=﹣4，
∴反比例函数解析式为y=-，
∵OB=AB=2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB=PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，
∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（-，t），
∵PB=PB′，
∴t﹣2=|-|=，
整理得t2﹣2t﹣4=0，
解得t1=1+ ，t2=1﹣（舍去），
∴t=1+．
故答案为：1+．
【分析】将A点坐标代入反比例函数解析式得出反比例函数解析式为y=-，再由OB=AB=2得△OAB为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质和垂直的定义得∠AOB=∠OPQ=45°；再由对称性可知PB=PB′，BB′⊥PQ，从而得出B′P⊥y轴，即B′（-，t），根据PB=PB′得t﹣2=|-|=，解之即可得出
t的值.
23．【答案】0【解析】【解答】解： y=-x2+x+2 =-(x-)2+，.
∴对称轴x=，
∴M点到对称轴的距离范围为：∵图象的张口向下，
当a=-1时，b有最小值，
bmax=-(x-)2+
=-(-1-)2+
=0，
当a=时，b有最大值，
bmin=-(x-)2+
=-(-)2+
=.
故答案为： 0【分析】先配方确定对称轴方程，然后求出M点到对称轴的距离范围，结合图象的张口向下，可知当M点到对称轴的距离越远，则b值越小，反之越大，据此分别求b值，则b的范围可定.
24．【答案】
【解析】【解答】解：由直线l的解析式 易知直线l与x轴的夹角为60°，
如图，将C2及直线 绕点O逆时针旋转30°，得到双曲线C3，此时直线l与y轴重合，则双曲线C3的解析式为 ，
过点P作PB⊥y轴于点B，
∵PA＝PO，
∴B为OA中点，
∴S△PAB＝S△POB，
由反比例函数系数k的性质可知：S△POB＝ ，
∴△POA的面积是 ，
故答案为： ．
【分析】根据旋转的性质求出旋转轴后的解析式，再根据反比例函数k的几何意义求解即可。
25．【答案】图象与x轴的交点坐标为，
26．【答案】（1）
（2）对称轴是直线，顶点坐标是，最小值为
27．【答案】（1）抛物线的对称轴为直线；
（2）m的取值范围是：或．
28．【答案】（1）
（2）①6；②且
29．【答案】（1）
（2）在的图象上，直线为．
30．【答案】（1）400千克
（2）60元或80元
（3）当每千克水果售价为60元时，获得的月利润最大值为8000元
31．【答案】（1）函数的表达式为：y=-2x+220；（2）80元，1800元．
32．【答案】解：（1）A的坐标是（2，0），E的坐标是（1，2）．
设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得：．
则抛物线的解析式是y=﹣2x2+4x；
（2）当△OAP的面积是2时，P的纵坐标是2或﹣2．
当﹣2x2+4x=2时，解得：x=1，则P的坐标是（1，2）；
当﹣2x2+4x=﹣2时，解得：x=1±，
此时P的坐标是（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2）；
（3）AF=AB+BF=2+1=3．
OA=2，则A是直角顶点时，Q不可能在抛物线上；
当F是直角顶点时，Q不可能在抛物线上；
当Q是直角顶点时，Q到AF的距离是AF=，若Q存在，则Q的坐标是（2﹣，），即（﹣，），不在抛物线上，总之Q不存在．
【解析】【分析】（1）首先确定A和E的坐标，利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）根据三角形的面积公式即可求得P的纵坐标，进而求得P的坐标；
（3）分成A是直角顶点，F是直角顶点，Q是直角顶点三种情况进行讨论，确定若构成等腰直角三角形时，Q是否在抛物线上即可．
33．【答案】（1），y=x+2；（2）-3＜x＜0或x＞1；（3）4．
34．【答案】（1）截距为1
（2）
（3）或
35．【答案】（1）3
（2）解：设A点坐标为(a， )，则D(0， )，P(1， )，C(1，0)，∴PB=3- ，PC=- ，PA=1-a，PD=1，易证△PCD∽△PBA，所以CD∥BA.而BC∥DF，AD∥EC，
∴四边形BCDE、ADCF都是平行四边形，
∴BE=CD，AF=CD，∴BF=AE
（3）解：∵四边形ABCD的面积=
∴ ，
整理得a+ ，
∴P点坐标为(1，-2).
【解析】【解答】解：（1）把(1，3)代入
【分析】（1）将B点坐标代入反比例函数，可求得K的值。
（2）可根据边长关系证得△PCD∽△PBA，从而得出四边形BCDE、ADCF都是平行四边形，得出BF=AE。
（3）用坐标表示出边长和面积，解得a的值。
36．【答案】（1）反比例函数解析式为
（2）直线的解析式为
（3）最大值为

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