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2025-2026学年河北省邢台市高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.从装有个红球、个白球和个黄球的口袋中任取个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是( )
A. “取出的是白球” B. “取出的是黄球”
C. “取出的是红球” D. “取出的不是红球”
3.如图，在平行四边形中，为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知甲的投篮命中率为，若甲连续投篮次，每次投中与否相互独立，则甲连续投中次的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知，，是个不同的平面，且，下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6.在中，内角，，所对的边分别为，，，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在棱长均相等的正三棱柱中，，分别为线段，的中点，点在上，若平面，则( )
A.
B.
C.
D.
8.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，该图被后人称为“赵爽弦图”如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为，为的中点，点在正方形内不含边界，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. B. 的共轭复数为
C. D.
10.如图，正方体的棱长为，则( )
A. 平面与平面所成二面角的正弦值为
B. 平面与平面所成二面角的正弦值为
C. 点到平面的距离为
D. 三棱锥外接球的表面积为
11.从日历上随机选个日期，记这些日期中星期一到星期天的天数分别为，，，，下列结论正确的是( )
A. ，，，中最多有个数据大于
B. 若，，，的极差为，则，，，中最多有个数据为
C. 若，，，的方差为，则
D. 若，，，的方差为，且中位数为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则______．
13.已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该正四棱台的体积为______．
14.某斜面上有两根长为米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为，，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某机构为了调查喝酸奶是否可以降低体脂，邀请了名女性作为研究对象，将其随机分成两组，其余变量不变的情况下，实验组每天喝酸奶，对照组每天喝牛奶，持续周后，得到如下数据．
单位：人
受试者 脂肪 合计
没有减少 减少
实验组
对照组
从这些研究对象中随机抽取人，求此人每天喝酸奶且脂肪减少的概率；
用按比例分层随机抽样的方法从脂肪减少的研究对象中抽取人进行进一步调查，并从这人中随机选人发一份小礼品，求这人都来自实验组的概率．
16.本小题分
为进一步加强防溺水宣传工作，保障儿童生命安全，预防溺水事故发生，某校举办了“珍爱生命，谨防溺水”主题教育活动及知识竞赛得分均为整数，满分为分从参赛的学生中抽取了人，统计了其本次竞赛成绩，将数据按照，，，分成组，制成如图所示的频率分布直方图．
求的值；
试估计本次竞赛成绩的平均分；同一组中的数据用该组区间的中点值作代表
该校准备对本次竞赛成绩排名前的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，记平面平面，平面．
证明：．
证明：平面平面．
已知，，求直线与直线所成角的余弦值．
18.本小题分
如图，在中，点在边上，且．
若，求；
若，求的面积；
若，求的周长．
19.本小题分
如图，圆台形水桶内装有少量水，已知水桶的上底面直径，下底面直径，水面直径，，，均为圆台形水桶的母线，长度均为现有一根细棒，其长度为，将放入水桶中，且将的一端置于点处水桶厚度、细棒粗细均忽略不计．
如何放置时，浸入水中部分的长度最小，最小为多少？
若将的另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度．
已知，若将的另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度．
参考答案
1.
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15.根据题意可知，这些研究对象中共有人每天喝酸奶且脂肪减少，
从这些研究对象中随机抽取人，每天喝酸奶且脂肪减少的概率为；
根据题意可知，抽取的人中有人来自实验组，分别记为，，，人来自对照组分别记为，，
从人中随机选人构成的基本事件有：，，，，，，，，，，共种；
这人都来自实验组的基本事件有：，，，共种，
从这人中随机选人发一份小礼品，求这人都来自实验组的概率为．
16.根据题意可得，解得；
估计本次竞赛成绩的平均分为：
分；
设受嘉奖的学生分数不低于分，因为，对应的频率分别为，，
所以，解得，
故受嘉奖的学生分数不低于分．
17.证明：由平面平面，平面，
因为平面，且平面平面，所以，
又因为平面，且平面平面，所以，
所以；
证明：因为平面，且平面，所以，
又因为，且，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
因为平面，所以，，又，
所以以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴和轴，建系如图：
因为，，且，
所以，，，，
所以，
设直线与直线所成角的余弦值为：
，．
18.由于，，
可得，，
可得，
可得；
设，
可得，
可得，解得，
可得的面积；
设，则，
可得，则，
在中，可得，
在中，可得，
在中，可得，
即，整理得，
令，，可得，
可得，
两边平方得，解得或，
当时，舍去，
当时，成立，
可得，，
可得的周长为．
19.由题意水桶的上底面直径，下底面直径，水面直径，
，，均为圆台形水桶的母线，长度均为，
细棒的长度为，
当垂直于圆台形水桶的底面，即直线垂直于圆台形水桶底面时，浸入水中部分的长度最小，
记，，，，
水桶的高，因为∽，所以，
即，解得，所以浸入水中部分的长度最小值为．
记，过作，垂足为，
，
在中，，
所以，
即，
解得，负根舍去，
由得，∽，
所以，解得，
因为，所以，即，
解得，
所以浸入水中部分的长度为．
记圆台形水桶上底面圆的圆心为，下底面圆的圆心为，连接，
因为平面，平面，所以，
因为，直线与直线一定相交，所以平面，
又平面，所以，
在等腰梯形中，，，，
在中，，
所以，
即，
解得，负根舍去，
记点在平面内的投影为，点在平面内的投影为，
矩形如图所示，
因为∽，所以，即，
解得，
记与水面交于点，点在平面内的投影为，如图所示，
因为∽，所以，即，
解得，
所以浸入水中部分的长度为．
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