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1.5.2等腰三角形的判定
一、基础过关
1．的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A． B．
C．， D．
2．下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是( )
A．有两个内角分别是的三角形
B．有一个角为的直角三角形
C．一个外角是，与它不相邻的一个内角为的三角形
D．有两个内角分别是的三角形
3．如图，已知是的中线．下列条件能使是等腰三角形的是（ ）
①；②；③
A．①②③ B．①和② C．②和③ D．①和③
4．如图，是等腰三角形，，，平分，则图中等腰三角形的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB=4，AD=2，则△AED的周长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
6．在中，，于，平分交于，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．命题“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是 ，此逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
8．如图，在中，，，D、E是上两点，且，则图中有 个等腰三角形．
9．如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，，求的周长．
10．如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当时，求的度数；
(3)当时，求的度数．
11．如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，则与l的位置关系是________．
12．如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)已知，求的长．
二、能力提升
13．如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论：①；②的周长等于与的和；③；④和都是等腰三角形．其中正确的有 ．（填入序号）
14．如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为 ．
15．如图，是等腰直角三角形，，为的平分线．若点到直线的距离为，则的长为 ．
16．如图，已知点P是射线上的一动点，若，当 时，为等腰三角形．
17．如图，在等腰中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)连接，试判断的形状，并说明理由．
18．如图，在中，，，点在线段上运动（不与重合），连接，作，与交于．
(1)当时，_______°，_________°；当点从向运动时，逐渐变________（填“大”或“小”）；
(2)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由．
19．在中，，与的平分线交于点，经过点，与，相交于点，，且．
(1)如图1，直接写出图中所有的等腰三角形；猜想：与，之间有怎样的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，中，的平分线与三角形外角平分线交于点，过点作交于点，交于点．图中有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．写出与，之间的数量关系，并说明理由．
20．已知：如图△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF＝90°
(1)求证：△DEF为等腰直角三角形；
(2)求证：；
(3)如果点E运动到AB的延长线上，F在射线CA上且保持∠EDF＝90°，△DEF还仍然是等腰直角三角形吗？请画图说明理由．
参考答案
1．D
【详解】解：A、因为，，所以，所以是等腰三角形；
B、因为 ，所以设，则有两边相等的是等腰三角形；
C、因为 ，所以，则，所以是等腰三角形；
D、因为，，则，那么， ，不能判定是等腰三角形．
故选：D.
2．D
【详解】解：A：两内角是，第三角为，存在两个的角，故为等腰三角形，不符合题意；
B：直角三角形中一个角为，则另一锐角为，两角相等，故为等腰直角三角形，不符合题意；
C：外角对应内角为，与它不相邻的内角为，根据三角形外角的性质，另一不相邻内角为，此时三角形内角为，存在两角相等，故为等腰三角形，不符合题意；
D：两内角为，第三角为，三角均不相等，无法构成等腰三角形，符合题意；
故选：D．
3．D
【详解】解：①∵中，，
∴，
∴是等腰三角形．
故①正确；
②不能使是等腰三角形，
故②错误；
③是的中线，且，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴是等腰三角形，
故③正确；
综上，①③正确．
故选：D．
4．C
【详解】解：∵，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴为等腰三角形，
综上所述：图中共有3个等腰三角形．
故选：C．
5．A
【详解】∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，
∴=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=4+2=6，
故选A．
6．C
【详解】分析：根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．
详解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE．
又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE．
故选C．
7． 在同一个三角形中，等边对等角 真
【详解】解：“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是“在同一个三角形中，等边对等角”，逆命题是真命题，
故答案为：在同一个三角形中，等边对等角，真．
8．6
【详解】解：，
，
，
，
，，，
，，，，，都是等腰三角形．
故答案为：6．
9．(1)见解析 (2)32
【详解】（1）证明：∵，
∴，．
∵平分，
∴．
∴，
∴．
∴是等腰三角形．
（2）解：由（1）知，．
∵点F是的中点，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴的周长为．
10．(1)见解析 (2) (3)
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
∴，
，
是等腰三角形；
（2），
，
，
，
，
；
（3），，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．
11．(1)见解析 (2)
【详解】（1）证明：在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
12．(1)见解析 (2)8
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵平分，
∴，
又∵在和中，，，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：连接，如图所示：
∵，平分，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
13．②③④
【详解】解：∵，
∴，
∵与的平分线交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴和都是等腰三角形，故④正确；
∴，故③正确；
∴的周长为：，故②正确；
∵不一定等于，
∴不一定等于，
∴与不一定相等，故①错误．
故答案为：②③④．
14．2
【详解】解：∵，
∴，，
∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，，
∴，即，
∴，
故答案为：2．
15．
【详解】解：延长AD、BC交于点F，
平分，，，
，，
，
（），
，.
是等腰直角三角形，，
，
又∵，
，
又∵，，
（），
.
故答案为：4.
16．或或
【详解】解：分三种情况：
①当时，则，
；
②当时，则；
③当时，则，
综上所述，当为或或时，为等腰三角形，
故答案为：或或．
17．(1)见详解
(2)等腰三角形，理由见详解
【详解】（1）证明：在等腰中，，，
，，
．
又交的延长线于点，
，
，
，
又为的中点，
，
即，
在和中，
，
，
．
又，
，
即；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
连接，如图，
由（1）知：，
，
是等腰直角三角形，且是的平分线，
垂直平分，
，
，
，
是等腰三角形．
18．(1)25，115，小
(2)当的度数为110°或80°时，的形状是等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，可得，从而得到，即可求解；
（2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点从向运动时，逐渐变小，
故答案为：25，115，小；
（2）解：当的度数为110°或80°时，的形状是等腰三角形，理由如下：
当时，则，
∵，
∴，
∵，∠ADB=∠DAC+∠C，
∴；
当时，，
∵，∠ADB=∠DAC+∠C，
∴；
当时，∠AED=∠ADE=40°（不合题意）；
综上所述，当的度数为110°或80°时，是等腰三角形．
19．(1)等腰三角形有，，
(2)等腰三角形有，，
【分析】（1）等腰三角形有，，根据角平分线性质和平行线性质推出，，根据等角对等边推出即可；根据，即可得出与，之间的关系；
（2）等腰三角形有，，根据角平分线性质和平行线性质推出，，根据等角对等边推出即可；根据，即可得出与，之间的关系．
【详解】（1）解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
和是等腰三角形
即图中等腰三角形有，；
与、之间的关系是；
（2）平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
和是等腰三角形
即图中等腰三角形有，；
与、之间的关系是．
20． 【详解】（1）证明：如图，连接AD，设∠DAC=∠1，∠ADF=∠2，∠ADE=∠3，∠BDE=∠4，
∵∠A＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD，∠1＝45°，
∴∠1＝∠B＝45°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
又∵∠3+∠4＝90°，
∴∠2＝∠4，
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴DE＝DF，
又∵∠EDF＝90°，
∴△DEF为等腰直角三角形；
（2）解：在（1）中已证明△BDE≌△ADF，
∴，
∵D是斜边BC的中点，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）仍然成立．如图，连接AD，设∠DAC=∠1，∠ADF=∠2，∠BDF=∠3，∠BDE=∠4，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD，∠1＝45°，
∵∠DAF＝180°－∠1＝180°－45°＝135°，
∠DBE＝180°－∠ABC＝180°－45°＝135°，
∴∠DAF＝∠DBE，
∵∠EDF＝90°，
∴∠3+∠4＝90°，
又∵∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝∠4，
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴DE＝DF，
又∵∠EDF＝90°，
∴△DEF为等腰直角三角形．

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