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1.2矩形的性质与判定课后培优提升训练2024-2025学年北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角互补
C．对边相等 D．对角线互相平分
2．下列命题中，错误的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形的对角线互相垂直
C．矩形的对角线相等
D．对角线相等的四边形是矩形
3．利用尺规作图在一个矩形内作菱形，则下列作法中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于点E，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形中，的平分线交于点，，，则等于（ ）
A． B． C． D． E．1
6．如图，点是矩形的中心，是上的点，沿折叠后，点恰好与点重合．若，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为 ．
10．已知，如图矩形中，，为对角线的中点，是边中点，连接，则四边形的周长为 ．
11．如图，将矩形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若， ．
12．如图，在矩形中，，，点在上，于，于，则 ．
三、解答题
13．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求和的长．
14．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，，求的长度．
15．【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动．
(1)操作与证明：
①如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_______，_______；
②如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，过点D作交BC于点G，求证：四边形是菱形；
(2)迁移应用：
如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，连接，若，，求的长．
16．矩形中，，点E是线段上一动点．点F在线段上．
(1)沿折叠，使A落在边上的G处（如图），若，求的长；
(2)若按折叠后，点A落在矩形的边上，求的长度范围．
17．如图所示，点O是菱形两对角线、的交点，且，，连接．
(1)求证：；
(2)若菱形的面积为16，求四边形的面积．
18．如图，在矩形中，，为边上的一动点（不与点重合），连接，作点关于直线的对称点，作射线交边于点．
(1)如图1，当点与点重合时，作交于点．
①求证：四边形为菱形；
②求线段的长．
(2)当时，直接写出线段的长．
参考答案
一、选择题
1．B
2．D
3．D
4．C
5．D
6．D
7．C
8．B
二、填空题
9．
10．20
11．3
12．
三、解答题
13．【解】（1）证明：四边形为菱形，
点为的中点，
点为中点，
为的中位线，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为矩形．
（2）点为的中点，，
，
，，
在中，．
四边形为菱形，
，
由（1）知：为的中位线，
，
四边形为矩形，
，
．
14．【解】（1）证明：∵在平行四边形中，
∴且，
∵，
∴，
即．
∴且，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴在中，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
15．【解】（1）解：①由折叠得，
，
，
矩形中，
，
故答案为：60，60；
②四边形是矩形，
，
又，
四边形是平行四边形；
，
，
由折叠得，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
中，，，
，
，
由折叠得，，，
，
又，，
，
如图，过点E作于点G，
，
，
，
．
16．【解】（1）解：如图，过G作于H．
则．
∵矩形中，，
∴四边形是矩形．
∴．
设，
则，
由折叠知，，
∴．
∵在中，，
∴．
解得．
∴．
（2）解：观察图形可知，当点F与点D重合时，．
∴．
∴的最大值为6．
当E与B重合时，．
∵，
∴．
∴．
∴的最小值为2．
综上所述：．
17．【解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，，
，
∴四边形是矩形，
，
∵，
，
（2）解：∵四边形是菱形，
，，
即，
则
18．【解】（1）①证明：如图1，连接，
∵四边形是矩形，点P与点C重合，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵点B与点关于直线对称，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
∴线段的长是．
（2）当点落在矩形内部时，如图2，
∵点B与点关于直线对称，
∴是连接的线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
，
，
∴；
当点落在矩形外部时，如图3，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
综上所述，线段的长是3或
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