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1.1菱形的性质与判定课后培优提升训练2024-2025学年北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．菱形中，，，菱形面积是（ ）
A． B． C．4 D．3
2．已知菱形的周长，一条对角线长为，那么这个菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．在四边形中，分别是的中点．若四边形为菱形，则线段与一定满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
4．四边形是平行四边形，对角线相交于点下列条件中，不能判定为菱形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，，若，，则四边形的面积是（ ）
A．160 B．120 C．96 D．48
7．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在线段上，，点在线段上，．连接，点为的中点，连接，则的长为（ ）
A． B．13 C． D．
二、填空题
9．若菱形的两条对角线长分别为4和6，则该菱形的面积为 ．
10．如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点，连接．若，则的度数为 ．
11．如图，在面积为96的菱形中，对角线，点O是线段上的动点，于E，于F．则 ．
12．如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ．
三、解答题
13．在菱形中，，点M、N分别是、边上的动点，连结、相交于E点．
(1)若点M是的中点，求证：；
(2)若，试求的度数．
14．如图，在中，平分，过点作交AB于点交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的面积．
15．如图，矩形的对角线，交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
16．如图，菱形的对角线和交于点，分别延长、至点、点，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为．
(1)填空：_______；
(2)点M是线段上的一个动点（点A、B除外），试探索在坐标平面内是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．
18．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形．
(1)判断四边形的形状并证明．
(2)若A、B的距离为3，A、C的距离为2，求四边形的面积．
参考答案
一、选择题
1．A
2．B
3．A
4．C
5．D
6．C
7．C
8．D
二、填空题
9．12
10．
11．9.6
12．
三、解答题
13．【解】（1）证明：连接，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，，
点M是的中点，
，，
，
；
（2）解：过点D作的延长线于F，过点D作于G，连接，
由（1）知，和都是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
又，，
，
，
，，
平分，
，
，
．
14．【解】（1）证明：，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
，，
，
，
，四边形是菱形，
，
，，
，，
，
．
15．【解】（1）证明：，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
．
．
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，四边形是菱形，
，．
在中，由勾股定理得：．
．
，
．
16．【解】（1）解：∵菱形的对角线和交于点，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又 ∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，，
，
，
，
．
17．【解】（1）解：直线分别与轴、轴交于点、，且点的坐标为，
，
解得，
故答案为：；
（2）解：由（1）知直线的解析式为，则，
∴．
设（），则，，
情况一：以为对角线时，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
展开得，
移项化简得，
∴
∴
∵菱形对角线互相平分，中点坐标为，. ，
∴的坐标为，
情况二：以为对角线，
∵四边形是菱形，
∴，
即，
解得（舍去），，
∴，
∵菱形对角线互相平分，中点坐标为，，
∴的坐标为，
情况三：以为对角线，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
即，
，
，
∵，
∴，
则，
∵菱形对角线互相平分，中点坐标为，，
∴的坐标为，
综上，在坐标平面内存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，的坐标为或或．
18．【解】（1）解：四边形是菱形，证明如下：
作于点E，于点F，
由题意得：，，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：如图，连接，
由（1）得四边形是菱形，
且互相平分，
即，，
，，
，
在中，，
，
，
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