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2025-2026学年安徽省淮南二中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {0,1,2,3}， = { | = 3 2, ∈ }，则 ∩ =( )
A. {0,1,2,3} B. {1,2,3} C. {2,3} D. {3}
2.在复平面内， 为虚数单位，若复数(1 + ) = (2 )，则 =( )
A. 1 3 1 3 1 3 12 2 B. 2 + 2 C. 2 2 D. 2 +
3
2
3.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为 0.6，乙中靶的概率为 0.7，且两人是否中靶相互
独立，若甲、乙各射击一次，则( )
A.两人都中靶的概率为 0.12 B.两人都不中靶的概率为 0.42
C.恰有一人中靶的概率为 0.46 D.至少一人中靶的概率为 0.74
4.已知函数 = 1 + 1( > 0, ≠ 1)的图象恒过定点 = + ( , > 0) 1 + 1，且点 在直线 上，则
的最小值为( )
A. 4 B. 1 C. 2 D. 32
5.已知向量 为单位向量，向量 在 上的投影向量为 2 ，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 12
6 .如图， 为平行四边形 所在平面外一点， 为 的中点， 为 上一点，当 //平面 时， =( )
A. 23
B. 14
C. 13
D. 12
27 5 + 6, ≤ ,.已知函数 ( ) = | 1|, > 有且仅有一个零点，则正数 的取值范围为( )
A. (0,2) B. (0,2) ∪ [ ，3) C. (0,2] ∪ [ , 3) D. [ , 3)
8.通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对( 1, 2)( 1, 2 ∈ )
看作一个向量，记 = ( 1, 2)，则称 为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于 = ( 1, 2)， = ( 3, 4)，

1、 2、 3、 4， ∈ ，我们有如下运算法则：① ± = ( 1 ± 3, 2 ± 4)；② = ( 1, 2)；③ = 1 3+

2 4；④| | = .则下列结论正确的是( )
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A.若 = (1,2 )， = (1 + , 2 )，则 = 1 + 5
B.若 = (1,2 )， = (1 + , 2 )，则| + | = 10
C. ( ) = ( )
D. ( + ) = +
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件 ， 满足 ( ) = 0.5， ( ) = 0.4，则下列说法正确的是( )
A.若 ，则 ( ) = 0.5
B.若 ， 互斥，则 ( + ) = 0.9
C.若 ， 互斥，则 ( ) = 0.2
D.若 ， 相互独立，则 ( + ) = 0.7
10 2 5 10.已知 ， 为锐角， = 5 ，sin( ) = 10 ，则( )
A. 2 = 4 B. = 7 25 10
C. tan( + ) = 9 113 D. = 7
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1， 为 的中点， 为线段 1上的
动点，过点 ， ， 的平面截该正方体所得截面记为 ，则下列命题正确的是( )
A. 1直线 与直线 1 1所成角的正切值为2
B. = 1当 2时，截面 的形状为等腰梯形
C. = 3 1当 4时， 与 1 1交于点 ，则 1 = 4
D. 1当2 < < 1 时，直线 与平面
10 1
1 1的夹角正弦值的取值范围是( 10 , 2 )
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 4， = 2 2， = 4，则 = ______．
13.已知命题 ： 2 1 ≤ 1， ： 2 (2 + 1) + 2 + ≤ 0，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取
值范围是______．
14.高一某班有 24 名男生和 40 名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为 4，若男生
分数的方差为 94，全班分数的方差为 84，则女生分数的方差为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了 40 名工人某天生产该产品的数量，得到频率分布直方
图如图所示．
(1)求频率分布直方图中 的值．
(2)求这 40 名工人一天生产该产品的数量的众数，80%分位数和平均数．
16.(本小题 15 分)
如图，在边长为 2 的正方形 中，点 是 的中点，点 是 的中点，将△ ，△ ，△ 分别
沿 ， ， 折起，使 ， ， 三点重合于点 ′．
(1)求证 ′ ⊥ ；
(2)求三棱锥 ′ 的体积．
(3)求点 到平面 ′ 的距离．
17.(本小题 15 分)
已知向量 = ( , )， = ( , 3 )，函数 ( ) = ．
(1)求 ( )的最小正周期及单调递增区间；
(2)若 ( ) = ( ) + 32 ( > 0)在区间[0,

2 ]
3
上的值域为[ 2 , 1]，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
( ) = 3已知 +3 ( > 0 且 ≠ 1)．
(1)判断并证明函数 ( )的奇偶性；
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(2)令 ( ) = ( 3)，写出 ( )的单调区间(只需写出结论)；
(3)在(2)的条件下，问：是否存在实数 ， 且 < ，使得函数 ( )在区间[ , ]上的值域为
[log ( ), log ( )]？若存在，求实数 的取值范围；若不存在，说明理由．
19.(本小题 17 分)
在锐角△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 = 2 .点 在 上，满足 = 2
且 = 1．
(1)求角 ；
(2)求证：4 2 + 2 + 2 = 9；
(3)求△ 面积的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 6
13.{ |0 ≤ ≤ 12 }
14.72
15.(1)由频率分别直方图的性质，
可得(0.020 + 0.040 + + 0.010 + 0.005) × 10 = 1，
解得 = 0.025；
(2) 55+65由频率分布直方图，可得众数为 2 = 60；
由频率分布直方图可得：
0.2 × 50 + 0.4 × 60 + 0.25 × 70 + 0.1 × 80 + 0.05 × 90 = 64，
所以这 40 名工人一天生产该产品的数量的平均数为 64；
因为前 2 组的频率和为 10 × (0.02 + 0.04) = 0.6 < 0.8，
前 3 组的频率和为 0.6 + 0.25 = 0.85 > 0.8，
所以 80%分位数在第 3 组，设 80%分位数为 ，
则 0.6 + ( 65) × 0.025 = 0.8，解得 = 73，
所以 80%分位数为 73．
16.(1)证明：由题意，折叠前 ⊥ ， ⊥ ，
则折叠后 ′ ⊥ ′ ， ′ ⊥ ′ ，
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因为 ′ ∩ ′ = ′， ′ 、 ′ 平面 ′ ，
故 A′ ⊥平面 ′ ，
因为 平面 ′ ，故 A′ ⊥ ；
(2)解：由(1)问可知， ′ ⊥平面 ′ ，
所以三棱锥 ′ 的高 ′ = = 2，
又因为△ ′ 折叠前为△ ，点 ， 分别为 ， 的中点，
所以 1△ ′ = △ = 2 × 1 × 1 =
1
2，
所以 1 1 1 1 ′ = ′ = 3 △ ′ ′ = 3 × 2 × 2 = 3；
(3) 1 1解：由题意， △ ′ = 2 × ′ × ′ = 2 × 1 × 2 = 1，
设点 到平面 ′ 的距离为 ，
则有 1 1 ′ = ′ = 3 △ ′ = 3，解得 = 1，
即点 到平面 ′ 的距离为 1．
17.(1)依题意，得 ( ) = = 3cos2
= 12 2
3
2 2
3 = sin(2 2 3 )
3
2 ；
函数 ( ) 2 的最小正周期 = 2 = ；
由 2 + 2 ≤ 2
≤ 3 2 + 2 , ∈ ，得
5
12 + ≤ ≤ 12 + , ∈ ，
所以 ( )的单调递增区间为[ + , 5 12 12 + ]( ∈ )；
(2)由(1)知， ( ) = ( ) + 3 2 = sin(2 3 )，( > 0)，
当 ∈ [0, 2 ]时，2 3 ∈ [ 3 ,

3 ]，
因为 ( ) 3在 ∈ [0, 2 ]上的值域为[ 2 , 1]，
≤ ≤ 4 所以2 3 3，
5 5
解得6 ≤ ≤ 3，
5 5所以实数 的取值范围是[ 6 , 3 ]．
18.解：(1) ( )为奇函数．证明如下：
3
由 +3 > 0，解得 < 3 或 > 3，
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即 ( )的定义域为( ∞, 3) ∪ (3, + ∞)，关于原点对称，
( ) = 3 = +3 = ( 3又 ) 1 +3 3 +3 =
3
+3 = ( )，
∴ ( )为奇函数．
(2) ( ) = ( 3) = 6 = (
6
+ 1)，
6
由 > 0，解得 < 0 或 > 6，
即 ( )的定义域为( ∞,0) ∪ (6, + ∞)，
又函数 = 6 + 1 在( ∞,0)，(6, + ∞)上单调递增，
当 > 1 时， ( )在( ∞,0)，(6, + ∞)上单调递增，
当 0 < < 1 时， ( )在( ∞,0)，(6, + ∞)上单调递减，
综上，当 > 1 时， ( )的增区间为( ∞,0)、(6, + ∞)，无减区间；
当 0 < < 1 时， ( )的减区间为( ∞,0)、(6, + ∞)，无增区间．
(3)由log ( ) < log ( )， < ，得 0 < < 1，
又 > 0， > 0，得 > 0， > 0，∴ 6 < < ．
∴ ( )在(6, + ∞)上单调递减，则 ( )在[ , ]上的值域为[ ( ), ( )]，
6
( ) = ( ) = 得 ( ) = ( )
，即 6 ，
=
∴ 6， 是方程 = 即 2 + 6 = 0 在(6, + ∞)的两个不同的根，
× 62 6 + 6 > 0
则 = 1 24 > 0 ，解得 0 < < 1．
1 24
2 > 6
∴ 1存在满足题意的 ， ，此时 的取值范围为(0, 24 )．
2 2
19.(1) 2 = 2 2 = 2 × +
2
解：根据 ，结合余弦定理得 2 ，
两侧同乘 ，可得 2 2 = 2 + 2 2，整理得 2 + 2 2 = ，
2 2 2
= + = 1 ∈ (0, ) = 所以 2 2，结合 ，可得 3；
(2)证明：根据 = 2 ，可得 = 2( ) 1，化简得 = + 2 3 3 ，
2 1 2 4 2
两边平方得 = + 9 9
+ 4 1 4 1，即则| |2 = | |2 + | | | 9 9 9 2 | +
4
9 |
|2，
= 1 1 = 1 4 1 4而 ，所以 2 2 2 29 + 9 2 + 9 ，化简得 4 + + 2 = 9，原命题得证；
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(3)解：由(1)的结论，可得 2 + 2 2 = ，即 2 = 2 + 2 ，
因为△ 是锐角三角形，所以 > 0， > 0，
结合余弦定理解得 2 + 2 2 > 0， 2 + 2 2 > 0，
我们先求解 2 + 2 2 > 0，此时代入 2 = 2 + 2 ，
得到 2 + 2 + 2 2 > 0 2 2 > 0 > ，即 ，解得 2，即 < 2，
同理，由 2 + 2 2 > 0 1 1 ，可推导出 > 2，可得2 < < 2，
= 设 ， ∈ (
1
2 , 2)，
由 = ，平方得 2 = 2 2，结合 4 2 + 2 + 2 = 9，可得 4 2 2 + 2 + 2 2 = 9，
9 9 2
化简得 2(4 2 + 1 + 2 ) = 9，可得 2 = 24 2+1+2 ，且 = 4 2+1+2 ，
9 9 2 9
所以 = 2 2 = 4 2+1+2 × 4 2+1+2 = 4 2+1+2 ，
1 3 9 9 3
根据三角形面积公式，可得 △ = 2 × 2 × 4 2+1+2 = 4 × 4 2+1+2 ，
令 ( ) = 14 2+1+2 ，则 ( ) = 4 2+1+2 = ，4 +1 +2
= 4 + 1 1 1由对勾函数性质得 在( 2 , 2)上单调递增，可得 ( )在( 2 , 2)上单调递减，
当 → 12时， ( ) →
1
6，当 → 2 时， ( ) →
2
21，故 ( ) ∈ (
2 1
21 , 6 )，
3 3 3 3 3 3 3 3
则 △ ∈ ( 14 , 8 )，故△ 面积的取值范围为( 14 , 8 )．
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