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2.4用因式分解法求解一元二次方程培优提升训练2024-2025学年北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．关于x的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．已知三边分别为a、b、c，其中，，c是一元二次方程的一个根，则的面积是（ ）．
A．12或 B．24或 C．24或 D．12或
3．已知实数x满足，那么的值为（ ）
A． B． C．1 D．或1
4．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（ ）．
A． B．1 C．或 D．或1
6．关于的一元二次方程的一个解是0，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
7．方程解的个数（ ）
A． B． C． D．
8．对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数（　　）
A．10 B．4 C．4或 D．4或或10
二、填空题
9．关于的方程的解是（为常数，），则方程的解是 ．
10．已知等腰的一边，而另外两边的边长恰好是关于的一元二次方程的两实数根，则这个三角形的周长为 ．
11．菱形的两条对角线相交于点O，若菱形的边长是的一个根，且，该菱形的面积是 ．
12．若等腰的一边长为，另外两边恰好是关于的方程的两个实数根，则的周长是 ．
三、解答题
13．用适当的方法解下列方程
(1)
(2)
(3)
14．阅读下面的材料：
解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
(1)解方程：．
(2)已知实数a，b满足，试求的值．
15．已知是一元二次方程的两个实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若，求的值及方程的另一根．
16．关于 x 的一元二次方程有实数根．
(1)求 k 的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时 m 的值．
17．关于的一元二次方程经过适当变形可以写成的形式现列表探究的变形：
变形
【观察】表格中的值为______，与满足的等量关系为______，的值随值的增大而______（填“增大”或“减小”）；
【尝试】若一元二次方程变形为，求、的值；
【拓展】若一元二次方程经过变形可写成，则的最大值为______（用含有、的代数式表示）．
18．观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：，方程的两个根分别是，；
第2个方程：，方程的两个根分别是，；
第3个方程：；方程的两个根分别是，；
第4个方程：；方程的两个根分别是，；
……
(1)请按照此规律写出两个根分别是，的一元二次方程 ．
(2)如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”．
(3)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少．
参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．A
4．B
5．A
6．A
7．B
8．B
二、填空题
9．
10．14或16
11．24
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：，
移项，得，
两边同加上4，得，
即，
开平方，得，
解得：，；
（2），
方程左边因式分解，得，
所以或，
解得：，；
（3），
移项，得，
方程左边因式分解，得，
所以或，
解得：，．
14．【解】（1）解：设，则，
整理得：，
解得：，
当，即时，
解得；
当，即时，
解得．
综上，原方程的解为，．
（2）设，则，
整理得：，
解得： (舍去)，
∴．
15．【解】（1）解：∵原方程有两个实数根，
∴，
∴，解得：．
（2）解：把代入原方程得，解得：，
∴原方程化为：，即，
∴这个方程的解为：，
∴方程的另一根．
16．【解】（1）解：∵关于 x 的一元二次方程有实数根，
∴，
∴．
（2）解：∵k是符合条件的最大整数，
∴，
∴为，
解得，，
当是一元二次方程的解时，
，
解得，
∵，
∴不合题意，舍去；
当是一元二次方程的解时，
，
解得．
综上所述，m的值为．
17．【解】解：观察：由表格可得；
由、、、知，
对于，，；
对于，，；
对于，，；
对于，，．
可以发现的值从逐渐减小到，的值从逐渐增大到，
的值随值的增大而减小．
故答案为：，，减小．
尝试：由题意，，
，
，
变形为，
，．
拓展：由题意，一元二次方程经过变形可写成，即．
，．
．
，
．
．
的最大值为．
故答案为：．
18．【解】（1）解：由题意可知：方程的一次项系数为：，常数项为：，
∴，，
所以，对应的一元二次方程为：．
（2）解：∵
∴，
∵
∴是“邻根方程”．
（3）解：∵，
∴，
∴，，
∵关于x 的方程（m是常数）是“邻根方程”，
∴或，
∴解得：或，
①当时，方程的两个根为和，
∵方程两根为直角三角形的两条边，
若4和3为两条直角边长时，则此三角形的第三边长为：；
若3为直角边长，4为斜边长时，则此三角形的第三边长为：；
②当时，方程的两个根为和，
∵方程两根为直角三角形的两条边，
若4和5为两条直角边长时，则此三角形的第三边长为：；
若4为直角边长，5为斜边长时，则此三角形的第三边长为：；
综上所述：此三角形的第三边长为3或5或或．
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