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2.1认识一元二次方程培优提升训练2024-2025学年北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若关于x的方程是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程的二次项系数是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
4．已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
5．已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71
A． B．
C． D．
7．如果是一元二次方程的解，那么的值是（　　）
A．0 B．3 C．6 D．
8．把方程化成一般式，则，，的值分别是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
二、填空题
9．当 时，关于的方程是一元二次方程．
10．将一元二次方程化为一般形式是 ．
11．已知关于x的方程的一个根是，则 ．
12．已知是方程的一个根，则代数式的值等于 ．
三、解答题
13．已知关于x的方程．
(1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数．
(2)若此方程是一元一次方程，求出a的值．
14．已知m是方程的一个根．
(1)的值为______．
(2)求的值．
15．已知是关于的方程的一个根，
(1)求的值；
(2)求．
16．已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值．
17．定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由；
(2)已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值．
18．定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程．
(1)【概念感知】的“友好”方程是______；
(2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．D
4．C
5．A
6．C
7．D
8．D
二、填空题
9．
10．
11．
12．6
三、解答题
13．【解】（1）解：
移项、合并同类项，得，
∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为；
（2）解：若方程是一元一次方程，则，，
解得．
14．【解】（1）解：把m代入方程，得：，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）是方程的一个根，
，且．
将等式两边同时除以m，得
．
15．【解】（1）解：代入到方程得，，
解得：；
（2）解：
，
代入，原式．
16．【解】解：是方程的一个根，
．
∴，．
．
17．【解】（1）解：该方程是“联合方程”，理由如下：
在一元二次方程中，，，，
，
一元二次方程是“联合方程”；
（2）解：是关于的“联合方程”，
，
是此“联合方程”的一个根，
，
即，
解得，
的值为，的值为6．
18．【解】（1）解：的“友好”方程是；
故答案为：；
（2）解：是．理由如下：
把代入方程得，
即，
关于的一元二次方程的“友好”方程为，
把代入得，
所以是方程的一个解，
即为的“友好”方程的一个解．
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