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湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题
时量:120分钟 满分:150分
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 从数字1，2，3，4，5，6中随机抽取两个数字（不允许重复），则这两个数字乘积是奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数是
A. 奇函数，且最大值为2 B. 偶函数，且最大值为2
C. 奇函数，且最大值为 D. 偶函数，且最大值为
5. 已知函数满足为奇函数，为偶函数，则下列一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（ ）
A. 2 B. 9 C. 10 D. 18
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C方程为 若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D.
8. 已知实数满足，，其中为自然对数的底数，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在平行六面体ABCD-A B C D 中， 且 M为A C 与B D 的交点，设 则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于两点，则（ ）
A. 抛物线C的准线方程为
B 若，则
C. 的最大值为16
D. 为钝角
11. 记的内角，，的对边分别为，，，为边的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则是钝角三角形
三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
12. 知数列的通项公式为，则数列的最大项为第______项．
13. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
14. 已知5件产品中2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则__________．
四、解答题(本大题共5个小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：
喜欢 不喜欢
男性 40 10
女性 20 30
（1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？
（2）从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义.
，.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
17. 已知数列的前n项和为其中c为常数.
（1）求数列通项公式；
（2）若数列为等差数列.
（Ⅰ）若设,求数列的前n项和
（Ⅱ）若数列的前n项和为且求证：
18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的焦点与短轴两个顶点所成三角形的面积为 ，离心率为
（1）求椭圆C方程；
（2）设A(4，0)，B(0，2)，点 P 是椭圆上且在第三象限内的一点.
（Ⅰ）当 的面积取最大值时，求点 P 的坐标；
（Ⅱ）记直线PA与y轴交于点M，直线 PB与x轴交于点N，求四边形ABNM面积的最大值.
19. 已知函数
（1）若恒成立，求实数a的取值集合；
（2）在（1）的条件下，若函数，的两个零点分别为与且，求证：；
（3）已知正整数n满足，试求出所有满足条件的n.(已知
参考答案
1-8. DCADA BDD 9-11.ACD BD ABD
12.4
13.
14.
15.
16.
【小问 2 详解】
17.
18.
19.

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