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2025年9月
绵阳南山中学高2023级高三2025年第二次教学质量检测
数 学
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2. 答题时请按要求用笔。
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知无穷等比数列的前n项和为，则“”是“既无最大值也无最小值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如右图，为等边三角形的中线上任一点，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（ ）项.
A．2026 B．2027 C．4048 D．4049
7．已知对任意恒成立，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知数列满足，其中，则（ ）
A． B．为等差数列
C．数列的前项和为 D．数列的前99项和大于
10．在中，是角的对应边，满足，，下列说法正确的是（ ）
A． B．的最小值为1
C．若，则 D．的面积最大值为
11．祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，则两个几何体体积相等.由此原理可知有限平面区域绕与其不相交的轴（可为其边界）旋转所得旋转体体积＝旋转区域面积重心旋转的圆形轨迹周长.如图1，记圆面绕轴旋转形成的几何体体积为，记半圆面重心坐标为.如图2，阴影部分为函数与的图象围成的区域，记该区域绕轴，轴旋转形成的几何体体积分别为.则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，，，则的最小值为 ．
13．已知满足，且对任意的实数，不等式恒成立，设的夹角为，则 .
14．已知数列的通项公式是，记为在区间内的项的个数，则使得不等式成立的的最小值为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知
（1）求的最小正周期 单调递增区间；
（2）若在区间有两个不等的实根，求m的范围。
16．（本小题满分15分）
已知．
（1）求的通项公式；
（2）令，为的前项之积，求证：．
17．（本小题满分15分）
已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个正零点且，
（i）求证：；
（ii）当时，不等式恒成立，求证：.
18．（本小题满分17分）
已知方程的两实根分别为，数列的通项公式为的前项和为.
（1）求；
（2）求的值；
（3）设数列的前项和为，证明：.
19．（本小题满分17分）
已知函数
（1）若恒成立，求实数a的取值集合；
（2）在（1）的条件下，若函数，的两个零点分别为与且，求证：；
（3）已知正整数n满足，试求出所有满足条件的n.(已知
试卷第4页，共4页
绵阳南山中学高2023级高三2025年第二次教学质量检测
数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B B D B C A C C BCD BCD BCD
12．4 13． 14．12
8．【详解】由题意可知函数的定义域为，又，
，
恒成立，即恒成立，即，
令，，
令，，
在上单调递增，且，当时，，
存在使得，即，即，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
又，，，
，，
，
，，
又，当且仅当时等号成立，
，，，
实数的取值范围是.
11．【详解】易知圆的重心即圆心，由题意可知，故选项A错误；
易知该半圆面绕直线旋转所得的几何体为半径为1的球体，
其体积，解得，故选项B正确；
抛物线在点处的切线方程为，切线与轴的交点为，
所以直线，与围成的平面区域绕轴旋转所形成的旋转体的体积为
，
所以 ，而，所以，故选项C正确；
对于D，方法一：
如图，图（1）阴影区域满足，记其绕轴旋转形成的几何体体积为，
图（2）阴影区域满足，记其绕y轴旋转形成的几何体体积为，
设用纵坐标为的平面去截这两个几何体，由得，
则图（1）对应旋转体的截面面积为；
由，得，
则图（2）对应旋转体的截面面积为 ，则，
易知 ，而，故选项D正确.

方法二：
设题图2中的阴影部分绕轴旋转而成的几何体为，为上一点，
用过点且与轴垂直的平面截几何体，所得截面面积为 .
如图，直三棱柱 的高为，底面为腰长为1的等腰直角三角形，
用过点且与平面ABC垂直的平面截该三棱柱，所得截面面积为.
所以，故选项D正确.
14．【详解】由，得，
当为奇数时，；
当为偶数时，，
则当为奇数时，，
由，解得，而为奇数，则；
当为偶数时，，由，解得，
所以使得不等式成立的的最小值为12.
15．（1）由题意： ，所以，
令，所以，
所以的单调递增区间为；
（2）由有，作出的图像：由图可知，在区间有两个不等的实根，
所以所以.
16．（1）由，又由题意知，，
左右同时除以得，
所以，则，
故是以3为首项，3为公差的等差数列，
所以，可得；
（2）令函数，求导得，
在上单调递增，，即，
取，则，于是，
由（1）知，,
，
所以.
17．（1）函数的定义域为，求导得 ，
当时， ，所以函数在上单调递增；
当时，令 ，解得，
当时， ，函数在上单调递减，
当时， ，函数在上 单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）由题意知方程有两个不同的正实根 ，
由（1）知 且 ，解得 ，
所以 ，，
两边同时取自然对数，得 ，
两式相减得 ，即 ，
（i）要证 ，只需证明 ，
令 ，只需证明
构造函数 ，求导得 ，
所以函数 在 上单调递增，于是 ，所以不等式 成立，
于是原不等式 成立.
（ii）结合以上分析可知当 时， ；
当 时， ；当 时， ．
所以要满足题意，则关于 的方程 的两根也是 ，
于是 ，
对比系数得 ，
所以 ．
18．（1）因为方程的两实根分别为，故，
故，.
（2）由题设可得，
，
所以，
故，
，
，
，
累计可得：即.
（3）当时，由题设：
故，设，
则，其中，，
故且，
而，，
故、均为等比数列，
且前者首项为，公比为，后者首项为，公比为，
故，
且，
所以，其中，
而满足上式，故，
整理得：
因为，而，
故，
而，
故，
故即.
19．（1） 函数，恒成立，
令函数，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
则，由，得，即，因此，解得，
所以实数a的取值集合是.
（2）由（1）知，，，函数的定义域为，
求导得，由，解得，
要证，即证，只证，
，
令函数，求导得，函数在上单调递减，
，函数在上单调递减，，
而，因此，
所以.
（3）由（2）得函数在上单调递减，当时，，
由，得，则，
令函数，求导得，函数在上递减，
，函数在上单调递增，，
因此，即，从而，
又正整数n满足不等式，则，
所以.
答案第16页，共17页2025年9月
绵阳南山中学高2023级高三2025年第二次教学质量检测
数学
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试
卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.设集合A={xy=Vx,B={x-2≤x≤1，则AnB=()
A.{x|02.已知无穷等比数列{an的前n项和为Sn,则“a1a5>a"是“Sn既无最大值也无最小值”的（)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.如右图，N为等边三角形ABC的中线AD上任一点，MB=3,MC=2,则MN.(MB-MC)=()
A.号
B.9
c.3
D.月
4.已知ae(),且sina+cosa=
5
,则tana的值为()
A.2
B.-月
C.-42
D.-2
3
5.若a=1og47,b=1ogs8,c=9受则a,b.c的大小关系为（）
D
A.a>c>b
B.b>c>a
C.c>a>b
D.c>b>a
6.已知等差数列{a的前n项和Sn满足：S2025A.2026
B.2027
C.4048
D.4049
7.已知sin(gx-)(ax2+bx+c)≥0(a≠0)对任意x∈[0,8恒成立，则cx2+ax+b>0的解集为()
A.（-1,)
B.（-∞，-)U(1,+0)
c.（-1)
D.(-∞，-1)U(9,+∞)
高三数学试卷第1页共4页
8.若函数f(x)=alnx,且f(ax)≤ex,则实数a的取值范围是()
A.(1,e)
B.(o月
C.(0,e
D.(0,1]
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9已知数列a满足at1=品，a1=克其中t≠0，则()
A.a2=t
B.{a}为等差数列
C.数列{+}的前n项和为m2+n
D.数列{Vtan+1的前99项和大于18√2
10.在△ABC中，a,b,c是角A,B,C的对应边，满足osA+osB
=2,Q+b+c=12,下列说法正确的是()
sinB
sinA
A.2sinC=ac
2b2
B.tanA·tanB的最小值为l
2a2
C.若b2=a(a+c),则sinAsinBsinC=3
D.△ABC的面积最大值为36(3-2V2)
11.祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的
两个截面的面积总相等，则两个几何体体积相等由此原理可知有限平面区域绕与其不相交的轴（可为其边
界)旋转所得旋转体体积=旋转区域面积×重心旋转的圆形轨迹周长.如图1，记圆面(x-1)2+y-1)2≤1
绕x轴旋转形成的几何体体积为V1,记半圆面(x-1)2+
(y-1)2≤1(y≤1)重心坐标为(xo,y0).如图2，阴影部分
为函数y=x2与y=1的图象围成的区域，记该区域绕x轴，
y轴旋转形成的几何体体积分别为V2,V3.则()
A.Vi=
图1
图2
B.%=1-升
C.V2D.V%=月
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知x>0,y>0,2xy=x+y+4,则x+y的最小值为
13.已知d,满足|=V3,=1,且对任意的实数x,不等式a+xb≥a+恒成立，设d,的夹角为0，
则tan20=
14.已知数列{an}的通项公式是an=2n-1,记bm为{an}在区间[m,2m)(m∈N+)内的项的个数，则使得
不等式bm+1-bm>2025成立的m的最小值为_，
高三数学试卷第2页共4页

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