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(共25张PPT)
1 直线与直线的方程
1.1 一次函数的图象与直线的方程
1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系
第1课时 直线的倾斜角和斜率
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.
2.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
知识点一 一次函数的图象与直线的方程
一般地，一次函数 的图象是一条直线，它是以满足
的每一对，的值为坐标的点构成的.同时函数解析式 可
以看作二元一次方程.
知识点二 直线的倾斜角
1.定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把 轴（正方向）
按逆时针方向绕着交点旋转到和直线首次重合时所成的角，称为直线 的倾斜角.
2.通常倾斜角用 表示.当______________________时，规定它的倾斜角为0.
3.倾斜角 的取值范围：______.
直线和轴平行或重合
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）所有直线都有倾斜角．( )
√
（2）平行于轴的直线的倾斜角是 或 ．( )
×
（3）一个倾斜角 不能确定一条直线．( )
√
知识点三 直线的斜率
经过两点， 的直线的斜率公式是__________.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.( )
×
（2）直线的倾斜角是锐角时，直线的斜率为正；直线的倾斜角是钝角时，直线
的斜率为负.( )
√
（3）经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．( )
×
探究点一 一次函数的图象与直线的方程
例1 已知一次函数的图象经过点，则 的值为____.
变式 （多选题）函数 的图象经过的象限有( )
ACD
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
［素养小结］
一元一次方程与一次函数的关系
（1）对于一次函数，由它的函数值就得到关于 的一元
一次方程，解这个方程可得，于是一次函数 的图象
与轴的交点坐标为 .
（2）若已知一次函数的图象与轴的交点坐标为 ，则
一元一次方程的根为 .
探究点二 直线的倾斜角
例2 [2024·内蒙古呼伦贝尔高二期中]下列图中 能表示直线 的倾斜角的是 ( )
A
A. B. C. D.
变式1 若直线过点，且不过第四象限，则直线的倾斜角 的取值范围
是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 如图所示，当直线在的位置时，；当直线在的位置时， .
故直线的倾斜角 的取值范围是, ．故选B.
变式2 （多选题）若直线与轴交于点，其倾斜角为 ，直线绕点 按顺时
针方向旋转后得到直线，则直线 的倾斜角可能为( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 因为直线的倾斜角的取值范围为，
所以当 时，直线 的倾斜角为，
当时，直线的倾斜角为 .
故选 .
［素养小结］
求直线的倾斜角的方法及两点注意
（1）方法：结合图形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角.
（2）两点注意：①当直线与轴平行或重合时，倾斜角为 ，当直线与 轴垂
直时，倾斜角为 .
②直线倾斜角的取值范围是 .
探究点三 直线的斜率
例3（1） 已知直线上两点，求直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角：
①， ；
解：直线的斜率，由 ，
结合倾斜角的取值范围知，其倾斜角为锐角.
②， ．
解：直线的斜率，由 ，
结合倾斜角的取值范围知，其倾斜角为钝角.
（2）判断下列三点是否在同一条直线上：
①,, ；
解：因为， ，
所以，所以，， 三点不在同一条直线上.
②,, .
解： 因为， ，
所以 .
又直线与直线有公共点，所以，， 三点在同一条直线上.
变式 设点,,,若直线的斜率等于直线 的
斜率的3倍,则实数 的值为___.
4
[解析] 依题意知直线的斜率存在,则,
由 ,得,所以 .
［素养小结］
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
（1）斜率与两点，在直线上的位置无关，即，和， 在公式中的
前后顺序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
（2）当时，公式右边无意义，直线与轴垂直，直线的倾斜角 ，
斜率不存在；
（3）当时，直线与轴平行或重合，直线的倾斜角 ，斜率 .
拓展 已知，，可以构成三角形，则实数 的取值集合为
_ ____________.
[解析] 因为，，可以构成三角形，
所以，， 三点不共线.
当，，三点共线时，即 ，
解得，
所以当时，，，三点可以构成三角形，
所以实数 的取值集合为 .
1.倾斜角的定义解读
（1）倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对于 轴的倾斜程度.
（2）平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的
直线倾斜角相等,倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.直线与倾斜角是多对一
的关系.
（3）由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜
角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．
2.直线的斜率解读
用斜率公式时要一看，二用，三求值.一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，
若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的
坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值.若点的坐标中含有参数，则应
用斜率公式时要对参数进行讨论.
例1 设直线过坐标原点，其倾斜角为 ，将 绕坐标原点按逆时针方向旋转
，得到直线 ，则( )
D
A.直线的倾斜角为
B.直线的倾斜角为
C.直线的倾斜角为
D.当 时，直线的倾斜角为 ；当 时，
直线的倾斜角为
[解析] 根据题意，画出图形，如图所示，
由图可知，当 时， 的倾斜角为 ；
当 时， 的倾斜角为 .
故选D.
例2 下列各组的点在同一条直线上的是( )
C
A.，， B.，，
C.，， D.，，
[解析] 对于A选项，过点，的直线的斜率 ，
过点，的直线的斜率 ，
两者不相等，故三点不在同一条直线上，A选项错误；
对于B选项，过点， 的直线的斜率，
过点，的直线的斜率 ，
两者不相等，故三点不在同一条直线上，B选项错误；
对于C选项，过点， 的直线的斜率，
过点，的直线的斜率 ，
两者相等，故三点在同一条直线上，C选项正确；
对于D选项，过点， 的直线的斜率，
过点，的直线的斜率 ，
两者不相等，故三点不在同一条直线上，D选项错误.
故选C.　　　　第一章　直线与圆
§1　直线与直线的方程
1.1　一次函数的图象与直线的方程
1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系
第1课时　直线的倾斜角和斜率
【课前预习】
知识点二
2.直线l和x轴平行或重合　3.[0,π)
诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√
知识点三
k=
诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×
【课中探究】
例1　-2　变式　ACD　例2　A
变式1　B　[解析] 如图所示,当直线l在l1的位置时,α=0;当直线l在l2的位置时,α=.故直线l的倾斜角α的取值范围是.故选B.
变式2　BC　[解析] 因为直线的倾斜角的取值范围为[0,π),所以当≤α<π时,直线l1的倾斜角为α-,当0≤α<时,直线l1的倾斜角为π-=+α.故选BC.
例3　解:(1)①直线AB的斜率kAB==,由kAB>0,结合倾斜角的取值范围知,其倾斜角为锐角.
②直线CD的斜率kCD==-1,由kCD<0,结合倾斜角的取值范围知,其倾斜角为钝角.
(2)①因为kAB==-1,kAC==-,
所以kAB≠kAC,所以A,B,C三点不在同一条直线上.
②因为kDE==-,kDF==-,
所以kDE=kDF.
又直线DE与直线DF有公共点D,所以D,E,F三点在同一条直线上.
变式　4　[解析] 依题意知直线AC的斜率存在,则m≠-1,由kAC=3kBC,得=3×,所以m=4.
拓展　　[解析] 因为A(1,0),B(2,a),C(a,1)可以构成三角形,所以A,B,C三点不共线.当A(1,0),B(2,a),C(a,1)三点共线时kAB=kAC,即=,解得a=,所以当a≠时,A,B,C三点可以构成三角形,所以实数a的取值集合为.第一章　直线与圆
§1　直线与直线的方程
1.1　一次函数的图象与直线的方程
1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系
第1课时　直线的倾斜角和斜率
1.D　[解析] ∵直线x=的斜率不存在,∴直线x=的倾斜角为90°.故选D.
2.A　[解析] 由题可得=2,∴a=0.故选A.
3.B　[解析] 由题可知,只有点Q(2,3)与点A(1,2)连线的斜率等于1.故选B.
4.C　[解析] 过O3作x轴的平行线O3E,则∠OO3E=α≈16°,由五角星的内角为36°,可知∠BAO3=18°,所以直线AB的倾斜角约为18°-16°=2°.故选C.
5.C　[解析] 由A(1,0),B(1,1)两点的横坐标相同,可知直线l的倾斜角为90°,又A,B,C三点共线,所以a=1.故选C.
6.D　[解析] 由已知得a=3,又A,B为不同的两点,所以b≠1.故选D.
7.AD　[解析] 根据题意,画出图形,如图所示.因为0°≤α<180°,所以当0°≤α<140°时(如图①),l1的倾斜角为α+40°;当140°≤α<180°时(如图②),l1的倾斜角为40°+α-180°=α-140°.故选AD.
8.CD　[解析] 设B(x,0)或B(0,y),易知x≠3,∴kAB=或kAB=,即=4或=4,解得x=2或y=-8,∴点B的坐标为(2,0)或(0,-8).故选CD.
9.(2,4)(答案不唯一)　[解析] 设直线l上异于点A的一点B(x,y),x≠1,由题意得=2,即y=2x,可取B(2,4).
10.1　[解析] 由题知=1,∴m=1.
11.12　[解析] 因为A,B,C三点在同一条直线上,所以kAB=kAC,即=,解得m=12.
12.120°或60°　[解析] 设α=30°,当l向上的部分在y轴左侧时,如图①所示,其倾斜角为90°+30°=120°;当l向上的部分在y轴右侧时,如图②所示,其倾斜角为90°-30°=60°.故直线l的倾斜角为120°或60°.
13.解:因为kAB==-1,kAC==-1,kAD==-,所以kAB=kAC≠kAD,因此A,B,C三点共线,A,B,D三点不共线.
14.解:要使A,B,C三点能构成三角形,需A,B,C三点不共线,从而kAB≠kAC,即≠,解得k≠1.
故实数k的取值范围为(-∞,1)∪(1,+∞).
15.B　[解析] 由题可知kl==1-m2≤1,则直线l的斜率的取值范围为(-∞,1].故选B.
16.解:由题可知,点A关于x轴对称的点A'在反射光线所在直线上.设点P的坐标为(x,0),易知点A'的坐标为(-2,-3),因为A', P,B三点在同一条直线上,所以kA'P=kA'B,即=,解得x=,所以点P的坐标为.第一章　直线与圆
§1　直线与直线的方程
1.1　一次函数的图象与直线的方程
1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系
第1课时　直线的倾斜角和斜率
【学习目标】
　　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.
　　2.经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
◆ 知识点一　一次函数的图象与直线的方程
一般地,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,它是以满足y=kx+b的每一对x,y的值为坐标的点构成的.同时函数解析式y=kx+b可以看作二元一次方程.
◆ 知识点二　直线的倾斜角
1.定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角,称为直线l的倾斜角.
2.通常倾斜角用α表示.当　　　　　　　　　时,规定它的倾斜角为0.
3.倾斜角α的取值范围:　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有直线都有倾斜角. (　 )
(2)平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180°. (　 )
(3)一个倾斜角α不能确定一条直线. (　 )
◆ 知识点三　直线的斜率
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是　　　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应. (　 )
(2)直线的倾斜角是锐角时,直线的斜率为正;直线的倾斜角是钝角时,直线的斜率为负. (　 )
(3)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线. (　 )
◆ 探究点一　一次函数的图象与直线的方程
例1 已知一次函数y=x+b的图象经过点A(2,0),则b的值为　　　　. 　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 (多选题)函数y=x-2的图象经过的象限有 (　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[素养小结]
一元一次方程与一次函数的关系
(1)对于一次函数y=kx+b(k≠0),由它的函数值y=0就得到关于x的一元一次方程kx+b=0,解这个方程可得x=-,于是一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为.
(2)若已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点坐标为,则一元一次方程kx+b=0的根为-.
◆ 探究点二　直线的倾斜角
例2 [2024·内蒙古呼伦贝尔高二期中] 下列图中α能表示直线l的倾斜角的是 (　 )
A B C D
变式1 若直线l过点A(1,1),且不过第四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　 )
A.[0,π) B.
C. D.
变式2 (多选题)若直线l与x轴交于点A,其倾斜角为α,直线l绕点A按顺时针方向旋转后得到直线l1,则直线l1的倾斜角可能为 (　 )
A.α+ B.α+
C.α- D.-α
[素养小结]
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.
(2)两点注意:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°.
②直线倾斜角的取值范围是[0°,180°).
◆ 探究点三　直线的斜率
例3 (1)已知直线上两点,求直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角:
①A(3,5),B(-1,-2);
②C(-3,5),D(3,-1).
(2)判断下列三点是否在同一条直线上:
①A(-3,1),B(2,-4),C(3,0);
②D(5,-1),E(-1,2),F(-5,4).
变式 设点A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),若直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍,则实数m的值为　　　　.
[素养小结]
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)斜率k与两点P1,P2在直线上的位置无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后顺序可以同时交换,但分子与分母不能交换;
(2)当x1=x2时,公式右边无意义,直线与x轴垂直,直线的倾斜角α=90°,斜率不存在;
(3)当y1=y2时,直线与x轴平行或重合, 直线的倾斜角α=0°,斜率k=0.
拓展 已知A(1,0),B(2,a),C(a,1)可以构成三角形,则实数a的取值集合为　　　　. 第一章　直线与圆
§1　直线与直线的方程
1.1　一次函数的图象与直线的方程
1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系
第1课时　直线的倾斜角和斜率
一、选择题
1.直线x=的倾斜角为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0° B.30°
C.60° D.90°
2.过点A(-1,a),B(a,2)的直线的斜率等于2,则a的值为 (　 )
A.0 B.1
C.3 D.4
3.已知直线过点A(1,2),且斜率为1,则下列各点中,在该直线上的是 (　 )
A.P(1,3) B.Q(2,3)
C.M(3,5) D.N(-1,-2)
4.2020年12月3日,嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定:大五角星有一个角尖正向上方,四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现,第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究,如图,以大星的中心点为原点,建立直角坐标系,OO1,OO2,OO3,OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连线,OO3与x轴的夹角α≈16°,则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为 (　 )
A.0° B.1°
C.2° D.3°
5.已知三点A(1,0),B(1,1),C(a,-5)都在直线l上,则a的值及直线l的倾斜角分别为 (　 )
A.1,45° B.-1,90°
C.1,90° D.-1,135°
6.已知不同的两点A(a,2),B(3,b+1),且直线AB的倾斜角为90°,则 (　 )
A.a=3,b=1
B.a=2,b=2
C.a=2,b=3
D.a=3,b∈R且b≠1
7.(多选题)设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转40°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角可能为 (　 )
A.α+40° B.α-40°
C.140°-α D.α-140°
8.(多选题)已知点A的坐标为(3,4),在坐标轴上有一点B,若kAB=4,则点B的坐标可以为(　 )
A.(0,2) B.(-8,0)
C.(2,0) D.(0,-8)
二、填空题
9.已知直线l的斜率为2,且过点A(1,2),写出直线l上不同于点A的一个点的坐标:　　　　.
10.已知过点P(-2,m)和Q(m,4)的直线的斜率是1,则m=　　　　.
11.已知A(2,-3),B(4,3),C三点在同一条直线上,则实数m的值为　　　　.
12.一条直线l与y轴相交,且与y轴的夹角为30°,则直线l的倾斜角为　　　　　　.
三、解答题
13.已知A(-2,-1),B(0,-3),C(1,-4),D(2,-6),则A,B,C三点共线吗 A,B,D三点呢
14.若三点A(3,1),B(-2,k),C(8,1)能构成三角形,求实数k的取值范围.
15.直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的斜率的取值范围为 (　 )
A.(0,1] B.(-∞,1]
C.(-2,1] D.[1,+∞)
16.一束光线从点A(-2,3)射出,经x轴上的点P反射后,通过点B(5,7),求点P的坐标.

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