资源简介

(共28张PPT)
1 直线与直线的方程
1.1 一次函数的图象与直线的方程
1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系
第2课时 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.理解直线的倾斜角与斜率的关系.
2.理解利用直线的方向向量来描述直线的倾斜程度.
知识点一 直线的斜率与倾斜角的关系
由正切函数的概念可知，倾斜角不是的直线，它的斜率和它的倾斜角 满足
__________（其中 ）.
斜率与倾斜角 有如下关系：
当时，斜率，且随倾斜角 的增大而______；
当时，斜率，且随倾斜角 的增大而______；
当时，直线与轴垂直，此时直线 的斜率________.
增大
增大
不存在
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）直线的倾斜角越大,它的斜率也越大;反过来,直线的斜率越大,它的倾斜角也
越大.( )
×
（2）所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率,倾斜角是 的直线
不存在斜率.( )
√
知识点二 直线的斜率与方向向量的关系
在直线上任取两个不同的点， ，由平面向量的知识可知，向
量是直线的方向向量，它的坐标是________________.直线的倾斜角 、斜
率、方向向量分别从不同的角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中
轴的倾斜程度，它们之间的关系是_________________（其中）.若 是直
线的斜率，则_________是它的一个方向向量；若直线 的一个方向向量的坐标
为，其中 ,则它的斜率______.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）一条直线的方向向量与 轴正方向所成的角和直线的倾斜角相等.( )
×
（2）已知直线上不同两点, ，可以确定直线的方向，求出直
线的一个方向向量，进而可以求出它的斜率.( )
×
（3）若直线的一个方向向量的坐标为，则的斜率为 .( )
×
探究点一 直线的斜率与倾斜角的关系
例1（1） 过点， 的直线的倾斜角为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 经过，两点的直线的斜率 ，
设该直线的倾斜角为 ，则，又 ，所以 .
故选D.
（2）[2024·江西九江高二期中]已知直线的斜率，则直线 的倾斜角
的取值范围为( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 因为直线的倾斜角为 ，所以.
由 可得，所以,, .故选B.
变式（1） 如图，已知直线，， 的斜率分别为
，， ，则( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 由题图知直线的倾斜角为钝角，
直线，的倾斜角为锐角，且 的倾斜角较大，
， .故选D.
（2）经过点作直线，若直线与连接， 两点的线段总有
公共点，则直线的倾斜角 的取值范围是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 如图所示，设直线的倾斜角为 ， ，
由题知，
直线 与连接， 两点的线段总有公共点，
，即，
, ,． 故选A.
［素养小结］
1.由倾斜角大小（或范围）求斜率大小（或范围）利用公式
求解.
2.由两点坐标求直线斜率运用斜率公式 求解.
3.涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解.
拓展 [2024·广东佛山高二期中] 直线 的倾斜角为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为直线 的斜率为 ，
且 ，
所以直线 的倾斜角为 .故选D.
探究点二 直线的斜率与方向向量的关系
例2（1） 已知直线经过两点,，则直线 的一个方向向量的坐标
是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为,，所以，
因为 ，所以向量与共线，
故直线的一个方向向量的坐标是 .故选C.
（2）（多选题）直线 的一个方向向量的坐标是( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 在直线上取点， ，
则直线的一个方向向量的坐标为 ，故D正确；
对于A，因为，所以向量与 不共线，A不正确；
对于B，因为，所以向量,与 共线，故B正确；
对于C，因为，所以向量与 不共线，
C不正确.
故选 .
变式（1） 过，两点的直线的一个方向向量为 ,则
( )
C
A. B. C. D.1
[解析] 方法一：由直线上的两点， ，
得，，
又直线的一个方向向量为 ，所以，解得 ，故选C.
方法二：由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为 ，
所以，解得 .故选C.
（2）直线过点,则直线 的一个方向向量的坐标为____________
_________.
（答案不唯一）
[解析] 直线过原点，且过点，则,
所以直线 的一个方向向量的坐标为（答案不唯一，与 共线的
非零向量的坐标均可）.
［素养小结］
一般地,如果已知是直线 的一个方向向量,那么:
（1）当时,显然直线的斜率不存在,倾斜角为 .
（2）当时,直线的斜率存在,且向量是直线 的一个方向向量.
（3）对于非零实数 ，向量都是的方向向量,而且直线 的任意两个方向向量
一定共线.
探究点三 直线的倾斜角与方向向量的关系
例3（1） 若直线的一个方向向量是，则直线 的倾斜角是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意得直线的斜率为，则直线的倾斜角是 ，故选C.
（2）若直线的倾斜角等于 ，则下列向量中不是直线 的方向向量的是 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为直线的倾斜角等于 ，所以其斜率 ，
因此直线的方向向量的坐标是 ，故选A.
变式 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角 ____.
[解析] 直线的一个方向向量为,，
斜率， 直线的倾斜角 .
［素养小结］
在运用直线的倾斜角与方向向量的关系时，常常由倾斜角求出斜率，再利用斜
率与方向向量的关系来求解.
1.直线倾斜角与斜率的关系
（1）直线都存在唯一的倾斜角,但并不是每条直线都存在斜率,倾斜角为 的
直线没有斜率.
（2）直线的倾斜角是一个角（图形）,而斜率是一个实数值（数）,斜率的绝对
值越大,直线的倾斜角越接近 .
（3）不同的倾斜角对应不同的斜率,因此,要确定一条不垂直于 轴的直线的位置,
只要知道直线上一个定点和它的斜率即可.
2.直线方向向量与斜率的关系
（1）当直线的斜率存在时，直线的方向向量与向量 共线.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方向向量与向量 共线.
3.直线的倾斜角与方向向量的关系
直线的倾斜角与方向向量的关系可以通过直线斜率来确定.
例1 已知直线的倾斜角为 ， 且 ，则直线 的斜率的
取值范围是___________________.
[解析] 设直线的斜率为，当 时， ，
当 时，，
故直线的斜率 的取值范围是 .
例2 已知直线过点，，求直线的一个方向向量，并确定直线 的
斜率与倾斜角.
解：是直线 的一个方向向量，
因此直线的斜率，直线的倾斜角 满足，从而可知 .
例3 若直线的倾斜角为 ，则它的一个方向向量的坐标为________.
[解析] 由于,则它的一个方向向量的坐标为 .第2课时　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
【课前预习】
知识点一
k=tan α　增大　增大　不存在
诊断分析 (1)×　(2)√
知识点二
(x2-x1,y2-y1)　k==tan α　v=(1,k)　k=
诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×
【课中探究】
例1　(1)D　(2)B　[解析] (1)经过A(2,0),B(-1,)两点的直线的斜率kAB==-,设该直线的倾斜角为α,则tan α=-,又0°≤α<180°,所以α=150°.故选D.
(2)因为直线l的倾斜角为α,所以α∈[0,π).由-1≤k≤可得-1≤tan α≤,所以α∈∪.故选B.
变式　(1)D　(2)A　[解析] (1)由题图知直线l1的倾斜角为钝角,∴k1<0.∵直线l2,l3的倾斜角为锐角,且l2的倾斜角较大,∴0(2)如图所示,设直线l的倾斜角为α,α∈[0,π),由题知kPA==-1,kPB==1.∵直线l与连接A(1,-2),B(2,1)两点的线段总有公共点,∴kPA≤tan α≤kPB,即-1≤tan α≤1,∴α∈∪.故选A.
拓展　D　[解析] 因为直线y=2-xtan 36°的斜率为-tan 36°,且-tan 36°=tan(180°-36°)=tan 144°,所以直线y=2-xtan 36°的倾斜角为144°.故选D.
例2　(1)C　(2)BD　[解析] (1)因为A(-1,2),B(3,4),所以=(4,2),因为(-4,-2)=-,所以向量(-4,-2)与共线,故直线l的一个方向向量的坐标是(-4,-2).故选C.
(2)在直线y=-x-上取点P1(1,-1),P2(-2,1),则直线的一个方向向量的坐标为(-2-1,1-(-1))=(-3,2),故D正确;对于A,因为2×2-3×(-3)≠0,所以向量(2,3)与(-3,2)不共线,A不正确;对于B,因为-3×-2×1=0,所以向量与(-3,2)共线,故B正确;对于C,因为-3×2-(-2)×(-3)≠0,所以向量(-3,-2)与(-3,2)不共线,C不正确.故选BD.
变式　(1)C　(2)(2,2)(答案不唯一)　[解析] (1)方法一:由直线上的两点A(4,y),B(2,-3),得=(-2,-3-y)=2,又直线AB的一个方向向量为n=(-1,-1),所以=-1,解得y=-1,故选C.
方法二:由直线的一个方向向量为n=(-1,-1),得直线的斜率为=1,所以=1,解得y=-1.故选C.
(2)直线l:y=kx过原点O,且过点A(2,2),则=(2,2),所以直线l的一个方向向量的坐标为(2,2)(答案不唯一,与=(2,2)共线的非零向量的坐标均可).
例3　(1)C　(2)A　[解析] (1)由题意得直线l的斜率为-,则直线l的倾斜角是,故选C.
(2)因为直线l的倾斜角等于135°,所以其斜率k=tan 135°=-1,因此直线l的方向向量的坐标是(m,-m)(m∈R,m≠0),故选A.
变式　　[解析] ∵直线l的一个方向向量为a=,∴斜率k====tan,∴直线l的倾斜角θ=.第2课时　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
1.C　[解析] ∵直线的倾斜角是,∴直线的斜率为tan=tan=-tan=-.故选C.
2.D　[解析] 由于直线l的一个方向向量的坐标是(-,6),则直线l的斜率为=-2.故选D.
3.B　[解析] 当直线的倾斜角为45°时,斜率为1;当直线的倾斜角为135°时,斜率为-1.由y=
tan α的单调性可知,当45°<α<90°时,k=tan α>1;当90°<α<135°时,k=tan α<-1.综上可知,k的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).故选B.
4.C　[解析] 由题可知,直线的斜率k=tan 135°==-1,∴a=2.故选C.
5.C　[解析] 由题图可知,直线l3,l4的倾斜角为钝角,斜率为负值,直线l1,l2的倾斜角为锐角,斜率为正值,且直线l4的倾斜角大于直线l3的倾斜角,直线l2的倾斜角大于直线l1的倾斜角,所以0>k4>k3,k2>k1>0,所以k36.A　[解析] 设直线l的倾斜角为α,依题意得0≤α<π,α≠,tan α∈.当-1≤tan α<0时,可得≤α<π,当0≤tan α≤时,可得0≤α≤,所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.故选A.
7.ACD　[解析] 因为直线l过点A(0,2),B(,-1),所以直线l的斜率k==-,故B不正确;直线l的倾斜角为,故A正确;易知直线l的一个方向向量为u=(1,-),故C正确;因为u∥v,所以直线l的一个方向向量为v=(-,3),故D正确.故选ACD.
8.BCD　[解析] 对于A,直线AB的斜率kAB==,故A错误;对于B,直线BC的斜率kBC==-<0,所以直线BC的倾斜角为钝角,故B正确;对于C,直线CA的斜率kCA==1,所以直线CA的一个方向向量为(1,kCA),即(1,1),故C正确;对于D,设AB边的中点为D(x0,y0),则x0==-,y0==,即点D,则kCD==-5,故D正确.故选BCD.
9.(-3,)(答案不唯一)　[解析] 因为直线l的倾斜角为150°,所以直线l的斜率k=tan 150°=-,所以直线l的方向向量与v=共线,可取直线l的一个方向向量为(-3,).
10.　[解析] 直线l的斜率的取值范围为,即≤tan α≤1,又0≤α<π,所以≤α≤,所以α的取值范围为.
11.(3,0)或(0,3)　[解析] 由题意可得kPA=-1.若点P在x轴上,则设P(m,0),由=-1,解得m=3;若点P在y轴上,则设P(0,n),由=-1,解得n=3.故点P的坐标为(3,0)或(0,3).
12.,-3　[解析] 设正方形一边所在直线的倾斜角为α,其斜率k=tan α<2,则其中一条对角线所在直线的倾斜角为α+,其斜率为tan.根据题意,令tan=2,即==2,解得tan α=,即正方形其中一边所在直线的斜率为.又易知与该边相邻的边所在直线的倾斜角为α+,所以与该边相邻的边所在直线的斜率为tan===-=-3.故该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为,-3.
13.解:(1)斜率k与倾斜角θ之间的关系为k=tan θ,利用正切函数的单调性可知,正切函数y=
tan θ在上单调递增,又tan=1,tan=,所以当θ∈时,斜率k∈[1,],即斜率k的取值范围是[1,].
(2)由正切函数的性质可知,当θ∈时,y=tan θ单调递增,且θ从右侧趋近时,tan θ趋近-∞,易知tan=-,所以当θ∈时,斜率k∈(-∞,-),即斜率k的取值范围是(-∞,-).
14.解:因为直线AB的倾斜角α不是锐角,所以α=0°或α=90°或α是钝角.当α=0°时,1+t=2t,得t=1;当α=90°时,1-t=3,得t=-2;当α是钝角时,直线AB的斜率小于0,即<0,得<0,所以或解得-215.D　[解析] 因为直线l的一个方向向量的坐标是(1,sin θ),所以直线l的斜率k=sin θ,所以-1≤k≤1,则-1≤tan α≤1,易得0≤α≤或≤α<π.故选D.
16.ABD　[解析] 正切函数y=tan x在上单调递增,在上也单调递增.分以下四种情况讨论:当0【学习目标】
　　1.理解直线的倾斜角与斜率的关系.
　　2.理解利用直线的方向向量来描述直线的倾斜程度.
◆ 知识点一　直线的斜率与倾斜角的关系
由正切函数的概念可知,倾斜角不是的直线,它的斜率k和它的倾斜角α满足　　　 .
斜率k与倾斜角α有如下关系:
当α∈时,斜率k≥0,且k随倾斜角α的增大而　　　　;
当α∈时,斜率k<0,且k随倾斜角α的增大而　　　　　;
当α=时,直线l与x轴垂直,此时直线l的斜率　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线的倾斜角越大,它的斜率也越大;反过来,直线的斜率越大,它的倾斜角也越大. (　 )
(2)所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率,倾斜角是90°的直线不存在斜率. (　 )
◆ 知识点二　直线的斜率与方向向量的关系
在直线l上任取两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2),由平面向量的知识可知,向量是直线l的方向向量,它的坐标是　　　　　　.直线的倾斜角α、斜率k、方向向量分别从不同的角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度,它们之间的关系是　　　　　　　　(其中x1≠x2).若k是直线l的斜率,则　　　　是它的一个方向向量;若直线l的一个方向向量的坐标为(x,y),其中x≠0,则它的斜率　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)一条直线的方向向量与x轴正方向所成的角和直线的倾斜角相等. (　 )
(2)已知直线上不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可以确定直线的方向,求出直线的一个方向向量,进而可以求出它的斜率. (　 )
(3)若直线l的一个方向向量的坐标为(x0,y0),则l的斜率为. (　 )
◆ 探究点一　直线的斜率与倾斜角的关系
例1 (1)过点A(2,0),B(-1,)的直线的倾斜角为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.30° B.60°
C.120° D.150°
(2)[2024·江西九江高二期中] 已知直线l的斜率k∈[-1,],则直线l的倾斜角α的取值范围为 (　 )
A. B.∪
C. D.∪
变式 (1)如图,已知直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 (　 )
A.k1B.k3C.k3D.k1(2)经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)两点的线段总有公共点,则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　 )
A.∪
B.
C.∪
D.∪
[素养小结]
1.由倾斜角大小(或范围)求斜率大小(或范围)利用公式k=tan α(α≠90°)求解.
2.由两点坐标求直线斜率运用斜率公式k=(x1≠x2)求解.
3.涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解.
拓展 [2024·广东佛山高二期中] 直线y=2-xtan 36°的倾斜角为 (　 )
A.36° B.72°
C.108° D.144°
◆ 探究点二　直线的斜率与方向向量的关系
例2 (1) 已知直线l经过两点A(-1,2),B(3,4),则直线l的一个方向向量的坐标是 (　 )
A.(2,-4) B.(1,2)
C.(-4,-2) D.(4,-2)
(2)(多选题)直线y=-x-的一个方向向量的坐标是 (　 )
A.(2,3) B.
C.(-3,-2) D.(-3,2)
变式 (1)过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的一个方向向量为n=(-1,-1),则y= (　 )
A.- B.
C.-1 D.1
(2)直线l:y=kx过点A(2,2),则直线l的一个方向向量的坐标为　　　　　　.
[素养小结]
一般地,如果已知a=(u,v)是直线l的一个方向向量,那么:
(1)当u=0时,显然直线l的斜率不存在,倾斜角为90°.
(2)当u≠0时,直线l的斜率k存在,且向量(1,k)是直线l的一个方向向量.
(3)对于非零实数λ,向量λa都是l的方向向量,而且直线l的任意两个方向向量一定共线.
◆ 探究点三　直线的倾斜角与方向向量的关系
例3 (1)若直线l的一个方向向量是e=(-1,),则直线l的倾斜角是 (　 )
A. B. C. D.
(2)若直线l的倾斜角等于135°,则下列向量中不是直线l的方向向量的是 (　 )
A.(2,2) B.(-3,3)
C.(,-) D.
变式 若直线l的一个方向向量为a=,则直线l的倾斜角θ=　　　　.
[素养小结]
在运用直线的倾斜角与方向向量的关系时,常常由倾斜角求出斜率,再利用斜率与方向向量的关系来求解.第2课时　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
一、选择题
1.已知直线的倾斜角是,则直线的斜率是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B.
C.- D.
2.若直线l的一个方向向量的坐标是(-,6),则其斜率为 (　 )
A. B.-
C.2 D.-2
3.已知直线l的倾斜角为α,若45°<α<135°且α≠90°,则直线l的斜率k的取值范围为 (　 )
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.[-1,1]
D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
4.倾斜角为135°的直线经过点(a+1,5)和(2a-2,3a),则a= (　 )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
5.如图,若直线l1,l2,l3,l4的斜率分别为k1,k2,k3,k4,则 (　 )
A.k4B.k1C.k3D.k26.若直线l的斜率k∈,则直线l的倾斜角的取值范围是 (　 )
A.∪
B.
C.∪
D.
7.(多选题)已知直线l过点A(0,2),B(,-1),则 (　 )
A.直线l的倾斜角为
B.直线l的斜率为
C.直线l的一个方向向量为u=(1,-)
D.直线l的一个方向向量为v=(-,3)
8.(多选题)已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),则下列说法正确的是 (　 )
A.直线AB的斜率为7
B.直线BC的倾斜角为钝角
C.若a=(1,1),则a是直线CA的一个方向向量
D.△ABC中,边AB上中线所在直线的斜率为-5
二、填空题
9.[2024·四川成都高二期末] 若直线l的倾斜角为150°,则它的一个方向向量为　　　　.
10.已知直线l的倾斜角为α,直线l的斜率的取值范围为,则α的取值范围为　　　　.
11.已知点A(1,2),若在坐标轴上有一点P,使直线PA的倾斜角为135°,则点P的坐标为　　　　　.
12.若正方形的一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为　　　　.
三、解答题
13.根据下列给出的直线l的倾斜角θ的取值范围,计算直线的斜率k的取值范围.
(1)θ∈;
(2)θ∈.
14.若经过点A(1-t,1+t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角α不是锐角,求实数t的取值范围.
15.若直线l的一个方向向量的坐标是(1,sin θ),θ∈R,则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　 )
A.[0,π) B.
C. D.∪
16.(多选题)[2024·河南南阳高二期中] 已知三条直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α,β,γ,且k1A.α<β<γ B.β<γ<α
C.α<γ<β D.γ<α<β

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