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第2课时　直线方程的两点式
【课前预习】
知识点一
=
诊断分析 (1)×　(2)√
知识点二
+=1
诊断分析 (1)×　(2)√
【课中探究】
例1　解:(1)BC边所在直线过两点B(5,-4),C(0,-2),由直线方程的两点式,得其方程为=,即y=-x-2,故BC边所在直线的方程为y=-x-2.
(2)设BC边的中点为M(a,b),则a==,b==-3,所以M.又BC边上的中线所在直线过点A(-3,2),所以由两点式得其方程为=,即y=-x-,所以BC边上的中线所在直线的方程为y=-x-.
变式　C　[解析] 因为直线l经过(-2,-2),(2,4)两点,所以直线l的方程为=,即=.因为点(1348,m)在直线l上,所以=,解得m=2023,故选C.
例2　解:①当直线经过原点时,斜率k==,所以直线方程为y=x,即4x-3y=0.
②当直线不经过原点且在两坐标轴上的截距相等时,设直线方程为+=1,将(3,4)代入方程,得+=1,解得a=7,所以直线方程为+=1,即x+y-7=0.
③当直线不经过原点且在两坐标轴上的截距互为相反数时,设直线方程为+=1,将(3,4)代入方程,得+=1,解得b=-1,所以直线方程为+=1,即x-y+1=0.综上所述,直线方程为4x-3y=0或x+y-7=0或x-y+1=0.
变式　(1)y=x或+=1　(2)BD　[解析] (1)若过点P(3,1)的直线l在坐标轴上的截距均为0,显然满足题意,则直线l的方程为y=x.若直线l在坐标轴上的截距均不为0,则设满足题意的直线l的方程为+=1,将P(3,1)的坐标代入,得a=2,即l的方程为+=1.故直线l的方程为y=x或+=1.
(2)依题意,a≠0,则直线方程ax+y+3-a=0中,令y=0,得x=,令x=0,得y=a-3,所以直线在x轴和y轴上的截距分别为和a-3,因此=a-3,解得a=1或a=3.故选BD.
例3　(1)C　[解析] 由题图知点A(60,6),B(80,10),所以由直线方程的两点式,得直线AB的方程是=,即y=x-6.依题意,令y=0,得x=30,即旅客最多可免费携带行李的重量为30 kg.故选C.
(2)解:设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),
由题意可得解得
所以直线l的方程为+2y=1,即x+4y-2=0.
变式　y=-2x+5　[解析] 利用反射定理可得入射光线所在直线经过点P(2,1),Q'(4,-3),所以所求直线的方程为=,即y=-2x+5.第2课时　直线方程的两点式
1.B　[解析] 由截距式可得,所求直线方程为+=1.故选B.
2.A　[解析] 易知m≠0,直线方程-=1可化为+=1,依题意有12+=10,∴m=2.故选A.
3.A　[解析] 由直线l经过点A(-6,4),斜率为,可得直线l的方程为y-4=(x+6),即4x-3y+36=0,令y=0,可得x=-9,即直线l在x轴上的截距为-9.故选A.
4.A　[解析] 因为直线经过点A(-3,2),B(4,4),所以由直线方程的两点式可得直线方程为=.故选A.
5.B　[解析] 设直线l:+=1(a>0,b>0),因为直线l过点A(2,3),所以+=1,即2b+3a=ab,所以2b+3a=ab≥2,得ab≥24,当且仅当2b=3a,即a=4,b=6时等号成立,则直线l与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积S=ab≥12.故选B.
6.D　[解析] m(x+1)+n(y+2)=0可化为mx+ny+m+2n=0①,要使l与两坐标轴能围成三角形,则mn≠0且m+2n≠0.在方程①中,令x=0,得y=-;令y=0,得x=-.依题意得×=×=×=×=6,所以++4=12或++4=-12,所以+=8或+=-16.设t=(t≠0且t≠-2),则t+=8或t+=-16,即t2-8t+4=0或t2+16t+4=0,解得t=或t=,即t=4±2或t=-8±2,即=4±2或=-8±2,所以这样的直线有4条.故选D.
7.ABC　[解析] 对于A,B,如果直线垂直于x轴,那么直线的斜率不存在,直线的方程不可以写成点斜式和斜截式,故A,B正确;对于C,由x1≠x2且y1≠y2可知,两点式可表示不垂直于x轴和y轴的任何直线,故C正确;对于D,当直线与坐标轴平行时直线的方程也不能写成截距式,故D错误.故选ABC.
8.ACD　[解析] 若直线l过原点,则l在两坐标轴上的截距均为0,满足题意,此时直线l的斜率k=-,直线方程为y=-x,即3x+4y=0;若直线l不过原点,则当l在两坐标轴上的截距相等时,设直线方程为+=1,则+=1,解得a=1,此时直线方程为x+y-1=0;当l在两坐标轴上的截距互为相反数时,设直线方程为-=1,则+=1,解得b=7,此时直线方程为x-y-7=0.综上,直线l的方程为3x+4y=0或x+y-1=0或x-y-7=0.故选ACD.
9.-　[解析] 由直线方程的两点式,得直线方程为=,化成截距式为+=1,所以直线在x轴上的截距为-.
10.-　[解析] 易得直线=过点(-5,0),(3,-3),故直线l的斜率为=-.
11.x-6y+6=0或x-6y-6=0　[解析] 根据题意,设直线l的方程为+=1,则|ab|=3,且-=,解得或∴直线l的方程为+=1或+=1,即x-6y+6=0或x-6y-6=0.
12.y=-x+2　[解析] 如图,由题可得B(3,1)关于x轴的对称点为B'(3,-1),易知A,P,B'三点共线,连接PB',则直线AB'即为入射光线所在直线,直线AB'的方程为 =,即y=-x+2.
13.解:(1)因为BC边所在直线经过B(2,1)和C(-2,3)两点,
所以由直线方程的两点式得BC边所在直线的方程为=,即x+2y-4=0.
(2)设D(x,y),则x==0,y==2,即D(0,2).
又BC边上的中线AD所在直线过A(-3,0),D(0,2)两点,
所以由直线方程的截距式得中线AD所在直线的方程为+=1,即2x-3y+6=0.
14.解:(1)设直线在x轴上的截距为a,则直线在y轴上的截距为a+,由题意可知a≠0且a≠-,所以该直线的方程为+=1.又该直线过点(1,-1),所以+=1,解得a=-1或a=,故所求的直线方程为+=1或+=1,即x+2y+1=0或2x+y-1=0.
(2)①当直线在x轴、y轴上的截距都是0时,设所求直线方程为y=kx,将(-5,2)代入y=kx,得k=-,
此时直线方程为y=-x,即2x+5y=0.
②当直线在x轴、y轴上的截距都不是0时,设所求直线方程为+=1(a≠0),将(-5,2)代入+=1,得a=-,此时直线方程为x+2y+1=0.
综上所述,所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.
15.B　[解析] ∵l过点(a,0)和(0,b),且a,b∈N*,∴可设l:+=1,又l过点(1,3),∴+=1,整理可得=.当a=1,b∈N*时,等式显然不成立;当a≥2且a∈N*时,b===3+,∵b∈N*,∴a-1=1或a-1=3,解得a=2或a=4,∴满足题意的直线l的方程为+=1或+=1,∴满足题意的直线l有2条.故选B.
16.x+2y-6=0　[解析] 设直线l的方程为+=1(a>0,b>0).由P点在直线l上,得+=1,∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=6,b=3时取等号,∴当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为+=1,即x+2y-6=0.第2课时　直线方程的两点式
一、选择题
1.在x轴、y轴上的截距分别是3,-4的直线方程是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.+=1
B.+=1
C.-=1
D.+=1
2.已知直线-=1在两个坐标轴上的截距之和等于10,则实数m的值为 (　 )
A.2 B.3
C.4 D.5
3.已知直线l经过点A(-6,4),斜率为,则直线l在x轴上的截距为 (　 )
A.-9 B.9
C.-12 D.12
4.经过点A(-3,2),B(4,4)的直线的方程的两点式为 (　 )
A.=
B.=
C.=
D.=
5.[2024·四川成都高二期中] 直线l过点A(2,3),则直线l与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积的最小值为 (　 )
A.9 B.12
C.18 D.24
6.[2024·广东佛山高二期中] 过点P(-1,-2)的直线l可表示为m(x+1)+n(y+2)=0,若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6,则这样的直线有 (　 )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
7.(多选题)下列说法正确的是 (　 )
A.点斜式y-y1=k(x-x1)可表示不垂直于x轴的任何直线
B.斜截式y=kx+b可表示不垂直于x轴的任何直线
C.两点式=可表示不垂直于x轴和y轴的任何直线
D.截距式+=1可表示不过原点的任何直线
8.(多选题)[2024·新疆伊犁高二期中] 直线l经过点(4,-3),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等,则直线l的方程可能是 (　 )
A.3x+4y=0
B.4x+3y=0
C.x-y-7=0
D.x+y-1=0
二、填空题
9.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为　　　　.
10.已知直线l的方程的两点式为=,则l的斜率为　　　　.
11.已知直线l的斜率为,且和两坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线l的方程为　　　　　　　　　　　.
12.一束光线从点A(-1,3)发出,经过x轴上一点P反射后通过点B(3,1),则入射光线所在的直线方程为　　　　.
三、解答题
13.已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),BC边的中点为D.求:
(1)BC边所在直线的方程;
(2)BC边上的中线AD所在直线的方程.
14.(1)已知过点(1,-1)的直线在y轴上的截距比在x轴上的截距大,求此直线的方程;
(2)求过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线的方程.
15.过点(1,3)作直线l,若l经过点(a,0)和(0,b),且a,b∈N*,则可作出这样的直线l的条数为 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.多于3
16.过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A,B两点,O为坐标原点.当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为　　　　　. (共24张PPT)
1 直线与直线的方程
1.3 直线的方程
第2课时 直线方程的两点式
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的两点式.
2.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的截距式.
知识点一 直线方程的两点式
已知直线上的两点，（其中，），点 为
直线上其他的任意一点.对于倾斜角不为 的直线，由直线上任意两点算出的斜
率是一个恒定的常数，因此 ，即_____________，这个方程称为直
线方程的两点式.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知直线过两点， ，则直线方程的两点式一定存在. ( )
×
（2）能用两点式表示的直线也可用点斜式表示.( )
√
知识点二 直线方程的截距式
若直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中， ，则
由两点式可得直线的方程为 ，整理得__________.通常，称方程
（其中）为直线方程的截距式.其中，为直线与 轴交点的横坐
标（即直线在轴上的截距），为直线与轴交点的纵坐标（即直线在 轴上的
截距）.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）不经过原点的直线都可以用方程 表示.( )
×
（2）能用截距式表示的直线都能用两点式表示.( )
√
探究点一 直线方程的两点式
例1 已知的三个顶点分别为，， .
（1）求 边所在直线的方程；
解：边所在直线过两点， ，
由直线方程的两点式，得其方程为，即，
故边所在直线的方程为 .
（2）求 边上的中线所在直线的方程.
解：设边的中点为，则， ，
所以.
又边上的中线所在直线过点 ，
所以由两点式得其方程为，即，
所以 边上的中线所在直线的方程为 .
变式 已知直线经过，两点，点在直线上，则 的值
为( )
C
A.2021 B.2022 C.2023 D.2024
[解析] 因为直线经过，两点，所以直线的方程为 ，
即.
因为点在直线上，所以，解得 ，故选C.
［素养小结］
1.由两点式求直线方程的步骤
（1）设出直线所经过点的坐标.
（2）根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标.
（3）由直线方程的两点式写出直线方程.
2.当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式的
适用条件：两点的连线不平行于坐标轴.若满足，则考虑用两点式求方程.
探究点二 直线方程的截距式
例2 求经过点 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程.
解：①当直线经过原点时，斜率，所以直线方程为 ，
即 .
②当直线不经过原点且在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为 ，
将代入方程，得，解得，所以直线方程为 ，
即 .
③当直线不经过原点且在两坐标轴上的截距互为相反数时，
设直线方程为，将代入方程，得，解得 ，
所以直线方程为，即.
综上所述，直线方程为 或或 .
变式（1） 已知过点的直线在轴上的截距是其在 轴上截距的3倍，
则满足条件的直线 的方程为__________________.
或
[解析] 若过点的直线在坐标轴上的截距均为0，显然满足题意，
则直线 的方程为.
若直线在坐标轴上的截距均不为0，则设满足题意的直线 的方程为，
将的坐标代入，得，即的方程为.
故直线 的方程为或 .
（2）（多选题）若直线在轴和轴上的截距相等，则实数
的值可以为( )
BD
A. B.1 C. D.3
[解析] 依题意，，则直线方程中，令，得 ，
令，得，所以直线在轴和轴上的截距分别为和 ，
因此，解得或.故选 .
［素养小结］
用直线方程的截距式解决问题的优点及注意事项
（1）优点：①由截距式可直接确定直线与轴和 轴的交点的坐标，因此根据截
距式画直线比较方便.
②在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，使用
截距式更简便.
（2）注意事项：当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点
时，两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题时要注意分
类讨论.
探究点三 两点式、截距式的应用
例3（1） 某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一
定重量的行李，若超过规定，则需要购买行李票，行
李票费用（元）与行李重量 的关系如图所示，
则旅客最多可免费携带行李的重量为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题图知点，，所以由直线方程的两点式，
得直线 的方程是，即.
依题意，令，得 ，即旅客最多可免费携带行李的重量为 .
故选C.
（2）已知直线过点，直线分别与轴的正半轴、 轴的正半轴交于点
，，为原点.若的面积为，求直线 的方程.
解：设直线的方程为 ，
由题意可得解得
所以直线的方程为，即 .
变式 入射光线从点出发，经轴反射后，通过点 ，则入射光线所
在直线的方程为_____________.
[解析] 利用反射定理可得入射光线所在直线经过点， ，
所以所求直线的方程为，即 .
［素养小结］
（1）若已知两点坐标，则一般选用直线方程的两点式，若已知两点是直线与坐
标轴的交点，则用直线方程的截距式.（2）不论选用哪种形式的直线方程，都
要注意所选形式的方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决.
1.直线方程的两点式剖析
（1）当直线的斜率不存在（即）或斜率为0（即 ）时，不能用两
点式表示直线方程.若，，则直线方程为；若 ，
，则直线方程为 .
（2）对于直线方程的两点式中的两点坐标，只要是直线上的不同的两点坐标即
可，两点式与这两个点坐标的顺序无关.
（3）要注意与 是不同的，
前者表示的直线缺少与轴和与 轴垂直的直线，后者是过平面内任意已知两点
， 的直线的方程，但不能称为直线方程的两点式.
2.直线方程的截距式剖析
（1）直线方程的截距式应用的前提是直线在轴上的截距且直线在 轴上
的截距 ，即直线过原点或与坐标轴平行时不能用截距式表示直线.
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，则斜率为 或直线过原点，故常设此
直线的方程为或 .
（3）截距并非距离，即， ，截距相等包括截距为零的情况.
例1 直线过，两点，且点在上，则 的值为( )
D
A.2020 B.2021 C.2022 D.2023
[解析] 直线的方程为，整理得，
令 ，则 .故选D.
例2 直线在轴、 轴上的截距分别为( )
B
A.2，3 B.，3 C.， D.2，
[解析] 在方程中，令，得，令，得 ，
所以直线在轴、轴上的截距分别为 ，3，故选B.
例3 [2024·江西上饶高二期末]已知三角形的三个顶点， ，
，则 边的中线所在直线方程是( )
C
A. B. C. D.
[解析] ，，的中点的坐标为，即，
则 边的中线过，两点，
由两点式得 边的中线所在直线方程为，整理得 .
故选C.第2课时　直线方程的两点式
【学习目标】
　　1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的两点式.
　　2.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的截距式.
◆ 知识点一　直线方程的两点式
已知直线l上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2),点Q(x,y)为直线l上其他的任意一点.对于倾斜角不为的直线,由直线上任意两点算出的斜率是一个恒定的常数,因此=,即　　　　　　　　,这个方程称为直线方程的两点式.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知直线过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则直线方程的两点式一定存在. (　 )
(2)能用两点式表示的直线也可用点斜式表示. (　 )
◆ 知识点二　直线方程的截距式
若直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,则由两点式可得直线l的方程为=,整理得　　　　.通常,称方程+=1(其中ab≠0)为直线方程的截距式.其中,a为直线与x轴交点的横坐标(即直线在x轴上的截距),b为直线与y轴交点的纵坐标(即直线在y轴上的截距).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不经过原点的直线都可以用方程+=1表示. (　 )
(2)能用截距式表示的直线都能用两点式表示. (　 )
◆ 探究点一　直线方程的两点式
例1 已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2).
(1)求BC边所在直线的方程;
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 已知直线l经过(-2,-2),(2,4)两点,点(1348,m)在直线l上,则m的值为 (　 )
A.2021 B.2022
C.2023 D.2024
[素养小结]
1.由两点式求直线方程的步骤
(1)设出直线所经过点的坐标.
(2)根据题中的条件,找到有关方程,解出点的坐标.
(3)由直线方程的两点式写出直线方程.
2.当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式的适用条件:两点的连线不平行于坐标轴.若满足,则考虑用两点式求方程.
◆ 探究点二　直线方程的截距式
例2 求经过点A(3,4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程.
变式 (1)已知过点P(3,1)的直线l在x轴上的截距是其在y轴上截距的3倍,则满足条件的直线l的方程为　　　　　　　　.
(2)(多选题)若直线ax+y+3-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值可以为 (　 )
A.-1 B.1
C.-3 D.3
[素养小结]
用直线方程的截距式解决问题的优点及注意事项
(1)优点:①由截距式可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标,因此根据截距式画直线比较方便.
②在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时,使用截距式更简便.
(2)注意事项:当直线与坐标轴平行时,有一个截距不存在;当直线通过原点时,两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式,故解决问题时要注意分类讨论.
◆ 探究点三　两点式、截距式的应用
例3 (1)某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李,若超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系如图所示,则旅客最多可免费携带行李的重量为 (　 )
A.20 kg B.25 kg
C.30 kg D.80 kg
(2)已知直线l过点P(-2,1),直线l分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于点A,B,O为原点.若△AOB的面积为,求直线l的方程.
变式 入射光线从点P(2,1)出发,经x轴反射后,通过点Q(4,3),则入射光线所在直线的方程为　　　　.
[素养小结]
(1)若已知两点坐标,则一般选用直线方程的两点式,若已知两点是直线与坐标轴的交点,则用直线方程的截距式.(2)不论选用哪种形式的直线方程,都要注意所选形式的方程的限制条件,对特殊情况下的直线要单独讨论解决.

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