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第3课时　直线方程的一般式
【学习目标】
　　1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的一般式.
　　2.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
◆ 知识点一　直线方程的一般式
关于x,y的二元一次方程　　　　　　　(其中A,B不全为0)表示的是一条直线,称它为直线方程的　　　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线方程的一般式都可以化为截距式. (　 )
(2)直线方程的一般式都可以化为斜截式. (　 )
(3)平面直角坐标系中的任何一条直线都可以用直线方程的一般式表示. (　 )
◆ 知识点二　直线方程的点法式
若直线l过点P0(x0,y0),且它的一个法向量为n=(A,B),则直线l的方程为　　　　　　　,称这个方程为直线方程的点法式.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何直线的方程都可以化为点法式. (　 )
(2)直线Ax+By+C=0的一个法向量的坐标为(B,-A). (　 )
(3)直线Ax+By+C=0的一个方向向量的坐标为(B,-A). (　 )
◆ 探究点一　直线方程的一般式
例1 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式.
(1)斜率是,且经过点A(5,3);
(2)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;
(3)在x轴、y轴上的截距分别为-3,-1;
(4)经过点B(4,2),且平行于x轴.
变式1 若方程(m2-4)x+(m2-2m)y+1=0表示一条直线,则实数m满足 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.m≠0
B.m≠2
C.m≠±2
D.m≠±2且m≠0
变式2 求直线x-2y+2=0绕点(-2,0)按逆时针方向旋转后所得到的直线的方程.
[素养小结]
1.求直线方程的一般式的方法
2.由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时,一定要注意转化的前提条件.
◆ 探究点二　直线方程一般式的应用
例2 设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.
(1)若直线l在x轴上的截距为-3,求m的值;
(2)若直线l的斜率为1,求m的值.
变式 (1)[2024·北京101中学高二月考] 由曲线2|x|+|y|=2围成的图形的面积为 (　 )
A.2 B.4
C.5 D.8
(2)在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax-y+b=0,l2:bx+y-a=0(ab≠0)的位置可能是 (　 )
A B C D
[素养小结]
(1)若方程Ax+By+C=0表示直线,则需满足A,B不同时为0.
(2)在直线方程Ax+By+C=0中,令x=0可得直线在y轴上的截距,令y=0可得直线在x轴上的截距.若确定直线斜率存在,则可将一般式化为斜截式.
(3)解分式方程注意验根.
拓展 已知直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0.
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
◆ 探究点三　直线方程的点法式
例3 (1)直线l过点A(3,-1),且l的一个法向量为n=(3,2),则直线l的方程的点法式为　　　　　　　　.
(2)在△ABC中,A(3,2),B(1,1),C(2,3),则AB边上的高所在直线的方程是 (　 )
A.2x+y-7=0 B.2x-y-1=0
C.x+2y-8=0 D.x-2y+4=0
变式 过点P(-1,2),且与直线=垂直的直线的方程的点法式为　　　　　　.
[素养小结]
在求直线方程的点法式时,一定要区别直线的法向量与方向向量, 结合向量的知识准确找出直线的一个法向量,再由点法式,写出直线的方程.
◆ 探究点四　直线过定点问题
例4 (1)无论k为何值,直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点,则该定点的坐标为 (　 )
A.(1,3) B.(-1,3) C.(3,1) D.(3,-1)
(2)已知实数a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0过定点 (　 )
A. B.
C. D.
变式 已知A(-2,4),B(4,2),直线l:ax-y-2=0与线段AB恒相交,求实数a的取值范围.
[素养小结]
(1)题目给出已知直线方程含参,则直线一般过定点;
(2)直线过定点,当斜率存在时,将直线方程化为点斜式,可得直线过定点P,当斜率不存在时,根据直线方程也可得直线过定点P,从而可得答案.第3课时　直线方程的一般式
一、选择题
1.直线x+3y+4=0的倾斜角为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
2.如果AB<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过 (　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.[2024·辽宁大连高二期中] 已知直线l经过点A(3,2),且n=(3,-4)是直线l的一个法向量,则直线l的方程为 (　 )
A.4x-3y-6=0
B.4x+3y-18=0
C.3x+4y-17=0
D.3x-4y-1=0
4.若直线l过点A(1,0),B(2,3),则它的方程的点法式为 (　 )
A.(x-1)+3y=0
B.3(x-1)+y=0
C.-3(x-1)+y=0
D.(x-1)-3y=0
5.关于x,y的方程a2x-ay-1=0(a≠0)表示的直线(图中实线)可能是 (　 )
A B C D
6.已知直线l的方程为xsin α+y-1=0,α∈R,则直线l的倾斜角的取值范围是 (　 )
A.∪
B.∪
C.
D.
7.(多选题)已知直线l:mx+y+1=0,A(1,2),B(3,3),则下列结论正确的是 (　 )
A.直线l恒过定点(0,-1)
B.当m=0时,直线l的斜率为0
C.当m=1时,直线l的倾斜角为45°
D.当m=2时,直线l与直线AB的斜率相同
8.(多选题)已知直线l:ax+y-2+a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值可能是 (　 )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
二、填空题
9.若直线l的方程为x-y+3=0,则直线l的一个法向量的坐标是　　　　.
10.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m的取值范围是　　　　　　　.
11.直线l经过点P(2,3),且与向量n=(-8,4)垂直,则直线l的方程为　　　　　　.
12.[2024·黑龙江哈尔滨高二期末] 不论k为何值,直线l:(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒过定点A,若直线mx+ny=2过点A,且m,n是正实数,则+的最小值是　　　　.
三、解答题
13.根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式.
(1)斜率为,且经过点A(5,3);
(2)过点B(-3,0),且垂直于x轴;
(3)斜率为4,且在y轴上的截距为-2;
(4)在y轴上的截距为3,且平行于x轴;
(5)经过点(1,2),且与直线x+2y=0垂直.
14.已知直线l:kx-y+2+k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,O为坐标原点,△AOB的面积为S,求S的最小值并求此时直线l的方程.
15.[2024·福建漳州高二期中] 已知点A(2,-3),B(-3,-2).若直线l:mx+y-m-1=0与线段AB相交,则实数m的取值范围是 (　 )
A.∪[4,+∞)
B.
C.
D.
16.在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列说法中正确的是
　　　　(写出所有正确说法的序号).
①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;
②若k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点;
③若直线l经过两个不同的整点,则直线l必经过无穷多个整点;
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充要条件是k与b都是有理数;
⑤存在恰经过一个整点的直线.(共34张PPT)
1 直线与直线的方程
1.3 直线的方程
第3课时 直线方程的一般式
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式.
2.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
知识点一 直线方程的一般式
关于，的二元一次方程________________（其中， 不全为0）表示的是一
条直线，称它为直线方程的________.
一般式
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）直线方程的一般式都可以化为截距式.( )
×
（2）直线方程的一般式都可以化为斜截式.( )
×
（3）平面直角坐标系中的任何一条直线都可以用直线方程的一般式表示.( )
√
知识点二 直线方程的点法式
若直线过点，且它的一个法向量为，则直线 的方程为
_________________________，称这个方程为直线方程的点法式.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）任何直线的方程都可以化为点法式.( )
√
（2）直线的一个法向量的坐标为 .( )
×
（3）直线的一个方向向量的坐标为 .( )
√
探究点一 直线方程的一般式
例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式.
（1）斜率是，且经过点 ；
解：由点斜式，得直线方程为 ，
即 .
（2）经过， 两点；
解：由两点式，得直线方程为 ，
即 .
（3）在轴、轴上的截距分别为， ；
解：由截距式，得直线方程为，即 .
（4）经过点，且平行于 轴.
解：直线方程为，即 .
变式1 若方程表示一条直线，则实数 满足
( )
B
A. B.
C. D.且
[解析] 当时，或；
当时，或 .
要使方程表示一条直线，
则， 不能同时为0，所以 ，故选B.
变式2 求直线绕点按逆时针方向旋转 后所得到的直线
的方程.
解：设直线的倾斜角为 ，旋转后直线的倾斜角为 ，
则，.
易知旋转后的直线过点 ，
所以旋转后所得到的直线的方程为，即 .
［素养小结］
1.求直线方程的一般式的方法
2.由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时，一定要注意转化的前提条件.
探究点二 直线方程一般式的应用
例2 设直线的方程为 .
（1）若直线在轴上的截距为，求 的值；
解：由题意知，即且 ，
令，得，，解得 .
（2）若直线的斜率为1，求 的值.
解：由题意知，，即且.
将直线 的方程化为斜截式，得，
，得 .
变式（1） [2024·北京101中学高二月考]由曲线 围成的图形的面
积为( )
B
A.2 B.4 C.5 D.8
[解析] 当,时，曲线方程为 ；
当,时，曲线方程为；
当, 时，曲线方程为；
当, 时，曲线方程为.
作出曲线 ，如图所示，
由图可知，围成的图形是一个菱形，
其面积为 .故选B.
（2）在同一平面直角坐标系中，直线 ，
的位置可能是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 直线的方程是，可化为，
的方程是，可化为.
在A中，假设直线的位置正确，则 ,，所以,的倾斜角为钝角，
故A错误；
在B中,假设直线 的位置正确,则,,所以, 的倾斜角为锐角,
故B错误；
在C中，假设直线的位置正确，则,，所以，
的倾斜角为钝角，且 在轴上的截距为正数，故C错误；
在D中，假设直线的位置正确，则 ,，所以,的倾斜角为钝角，
且在 轴上的截距为负数，故D正确.
故选D.
［素养小结］
（1）若方程表示直线，则需满足， 不同时为0.
（2）在直线方程中，令可得直线在 轴上的截距，令
可得直线在 轴上的截距.若确定直线斜率存在，则可将一般式化为斜截式.
（3）解分式方程注意验根.
拓展 已知直线的方程为 .
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求 的值；
解：易知，在方程中，
令，则 ，令，则.
在两坐标轴上的截距相等，，解得 或 .
（2）若不经过第二象限，求实数 的取值范围.
解：将直线的方程化为斜截式得 ，
直线不经过第二象限，解得 ，
实数的取值范围为 .
探究点三 直线方程的点法式
例3（1） 直线过点，且的一个法向量为，则直线 的方程
的点法式为______________________.
[解析] 直线的方程的点法式为 .
（2）在中，，，，则 边上的高所在直线的方程是
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 在中，，，，
边上的高所在直线的一个法向量为，且过点，
故 边上的高所在直线的方程是，即 .故选A.
变式 过点，且与直线 垂直的直线的方程的点法式为
__________________.
[解析] 与直线垂直的直线的一个法向量的坐标为 ，
则所求直线方程的点法式为 .
［素养小结］
在求直线方程的点法式时，一定要区别直线的法向量与方向向量，结合向量的
知识准确找出直线的一个法向量，再由点法式，写出直线的方程.
探究点四 直线过定点问题
例4（1） 无论为何值,直线 都过一个定点,则
该定点的坐标为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由，得 .
当时，直线方程为 ，
由点斜式可知，直线过定点；
当时，直线方程为，过点 .
因此所求定点坐标为 .故选D.
（2）已知实数，满足，则直线 过定点( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由，得，
则直线方程 即为，
整理得 ，
由直线方程的点斜式可知，直线过定点, .故选D.
变式 已知，，直线与线段 恒相交，求实
数 的取值范围.
解：由，得 ，由点斜式可知，
直线过定点.
如图所示，设线段与轴交于点 ，
易知直线不过点，由图知，
当直线与线段 的交点在线段（不含端点）上时，
大于或等于直线 的斜率，即；
当直线与线段的交点在线段 （不含端点）上时，
小于或等于直线的斜率，即.
综上，实数 的取值范围为 .
［素养小结］
（1）题目给出已知直线方程含参，则直线一般过定点；
（2）直线过定点，当斜率存在时，将直线方程化为点斜式，可得直线过定点 ，
当斜率不存在时，根据直线方程也可得直线过定点 ，从而可得答案.
1.解读直线方程的一般式：
①方程是关于， 的二元一次方程.
②方程中等号的左侧自左向右一般按， ，常数的先后顺序排列.
的系数一般不为分数和负数.
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的
方程.
2.直线方程的一般式转化为直线方程的斜截式、截距式
形式 方程 转化条件
一般式
斜截式
截距式
3.直线方程的一般式 表示特殊的直线时，系数
，， 满足的条件
特殊直线 系数满足的条件
过原点
4.两个重要结论
结论1：平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于， 的二元一次方程
，不同时为零 来表示.
结论2：任何关于，的二元一次方程，不同时为零 都可
以表示平面直角坐标系中的一条直线.
例1 分别根据下列条件写出直线方程，并且化成一般式.
（1）斜率是，经过点 ；
解：由直线方程的点斜式得直线方程为 ，
即 .
（2）在轴和轴上的截距分别是， ；
解：由直线方程的截距式得直线方程为，即 .
（3）经过两点， .
解：由直线方程的两点式得直线方程为，即 .
例2 直线不过第二象限，则 的取值范围为( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 若，则直线的方程为 ，该直线不过第二象限，合乎题意；
若，可得直线的方程的斜截式为，
因为直线 不过第二象限，所以解得.
综上所述， .故选A.
例3 经过点且与直线 垂直的直线的方程的点法式为
_______________________.
[解析] 由于直线的一个法向量的坐标为 ，
故它的一个方向向量的坐标为，
则与直线 垂直的直线的一个法向量的坐标为，
又直线过点 ，
所以所求直线方程的点法式为，
即 .
例4 [2023·哈尔滨期中] 已知直线 ，直线
，其中，若直线， 与两坐标轴围成一个凸四边形，
则此四边形面积的取值范围是_______.
[解析] 易知直线过定点，
与 轴、轴的交点分别为， ，
直线过定点，
与轴、 轴的交点分别为，.
记坐标原点为，连接 ，因为，所以在的右侧，在的上方，
则直线， 与两坐标轴围成的四边形是四边形，如图所示.
因为 ，
，
所以四边形 的面积，
因为 ，所以，则 .第3课时　直线方程的一般式
【课前预习】
知识点一
Ax+By+C=0　一般式
诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√
知识点二
A(x-x0)+B(y-y0)=0
诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√
【课中探究】
例1　解:(1)由点斜式,得直线方程为y-3=(x-5),
即x-y-5+3=0.
(2)由两点式,得直线方程为=,
即2x+y-3=0.
(3)由截距式,得直线方程为+=1,即x+3y+3=0.
(4)直线方程为y=2,即y-2=0.
变式1　B　[解析] 当m2-4=0时,m=2或m=-2;当m2-2m=0时,m=0或m=2.要使方程(m2-4)x+(m2-2m)y+1=0表示一条直线,则m2-4,m2-2m不能同时为0,所以m≠2,故选B.
变式2　解:设直线x-2y+2=0的倾斜角为α,旋转后直线的倾斜角为β,则tan α=,tan β=tan==3.易知旋转后的直线过点(-2,0),所以旋转后所得到的直线的方程为y=3(x+2),即3x-y+6=0.
例2　解:(1)由题意知m2-2m-3≠0,即m≠3且m≠-1,
令y=0,得x=,∴=-3,解得m=-.
(2)由题意知,2m2+m-1≠0,即m≠且m≠-1.将直线l的方程化为斜截式,得y=x+,∴=1,得m=-2.
变式　(1)B　(2)D　[解析] (1)当x≥0,y≥0时,曲线方程为2x+y=2;当x≥0,y<0时,曲线方程为2x-y=2;当x<0,y≥0时,曲线方程为-2x+y=2;当x<0,y<0时,曲线方程为-2x-y=2.作出曲线2|x|+|y|=2,如图所示,由图可知,围成的图形是一个菱形,其面积为×2×4=4.故选B.
(2)直线l1的方程是ax-y+b=0,可化为y=ax+b,l2的方程是bx+y-a=0,可化为y=-bx+a.在A中,假设直线l1的位置正确,则a>0,b>0,所以-b<0,l2的倾斜角为钝角,故A错误;在B中,假设直线l1的位置正确,则a>0,b<0,所以-b>0,l2的倾斜角为锐角,故B错误;在C中,假设直线l1的位置正确,则a>0,b>0,所以-b<0,l2的倾斜角为钝角,且l2在y轴上的截距为正数,故C错误;在D中,假设直线l1的位置正确,则a<0,b>0,所以-b<0,l2的倾斜角为钝角,且l2在y轴上的截距为负数,故D正确.故选D.
拓展　解:(1)易知a≠-1,在方程(a+1)x+y+2-a=0中,令x=0,则y=a-2,令y=0,则x=.∵l在两坐标轴上的截距相等,∴a-2=,解得a=2或a=0.
(2)将直线l的方程化为斜截式得y=-(a+1)x+a-2,
∵直线l不经过第二象限,∴解得a≤-1,
∴实数a的取值范围为(-∞,-1].
例3　(1)3(x-3)+2(y+1)=0　(2)A　[解析] (1)直线l的方程的点法式为3(x-3)+2(y+1)=0.
(2)∵在△ABC中,A(3,2),B(1,1),C(2,3),∴AB边上的高所在直线的一个法向量为=(2,1),且过点C(2,3),故AB边上的高所在直线的方程是2(x-2)+(y-3)=0,即 2x+y-7=0.故选A.
变式　7(x+1)+5(y-2)=0　[解析] 与直线=垂直的直线的一个法向量的坐标为(7,5),则所求直线方程的点法式为7(x+1)+5(y-2)=0.
例4　(1)D　(2)D　[解析] (1)由(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0,得(k-1)(y+1)=(k+2)(x-3).当k≠1时,直线方程为y+1=(x-3),由点斜式可知,直线过定点(3,-1);当k=1时,直线方程为x=3,过点(3,-1).因此所求定点坐标为(3,-1).故选D.
(2)由a+2b=1,得a=1-2b,则直线方程ax+3y+b=0即为(1-2b)x+3y+b=0,整理得y+=,由直线方程的点斜式可知,直线过定点.故选D.
变式　解:由ax-y-2=0,得y+2=ax,由点斜式可知,直线l过定点D(0,-2).如图所示,设线段AB与y轴交于点C,易知直线l不过点C,由图知,当直线l:ax-y-2=0与线段AB的交点在线段CB(不含端点C)上时,a大于或等于直线DB的斜率,即a≥=1;当直线l:ax-y-2=0与线段AB的交点在线段AC(不含端点C)上时,a小于或等于直线DA的斜率,即a≤=-3.综上,实数a的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞).第3课时　直线方程的一般式
1.A　[解析] 由x+3y+4=0得y=-x-,故直线的斜率为-,又倾斜角的取值范围为[0,π),所以倾斜角为.故选A.
2.D　[解析] 由题易知B≠0,由Ax+By+C=0可得y=-x-,因为AB<0,BC<0,所以->0,->0,故直线不经过第四象限.故选D.
3.D　[解析] 设P(x,y)为直线l上异于点A的任意一点,因为n=(3,-4)是直线l的一个法向量,所以·n=0,又因为=(x-3,y-2),所以3×(x-3)+(-4)×(y-2)=0,整理可得3x-4y-1=0,又点A坐标满足上式,所以直线l的方程为3x-4y-1=0.故选D.
4.C　[解析] 因为直线l过点A(1,0),B(2,3),且=(1,3),所以直线l的一个法向量为n=(-3,1),所以该直线方程的点法式为-3(x-1)+y=0.
5.D　[解析] 关于x,y的方程a2x-ay-1=0(a≠0)表示的是直线,且直线的斜率为a,在y轴上的截距为-,直线的斜率和它在y轴上的截距的乘积为-1.对于A,直线的斜率和它在y轴上的截距都是正数,不满足题意,所以排除A;对于B,直线的斜率小于1,它在y轴上的截距大于-1且小于0,不满足题意,所以排除B;对于C,直线的斜率和它在y轴上的截距都是负数,不满足题意,所以排除C;对于D,直线的斜率小于-1,它在y轴上的截距大于0且小于1,能满足题意.故选D.
6.B　[解析] 由xsin α+y-1=0,α∈R,得直线l的斜率k=-sin α∈,设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π),则k=tan θ∈.当k∈时,直线l的倾斜角θ∈;当k∈时,直线l的倾斜角θ∈.综上所述,直线l的倾斜角的取值范围为∪.故选B.
7.AB　[解析] 直线l:mx+y+1=0的方程可化为y=-mx-1,当x=0时,y=-1,故直线l恒过定点(0,-1),选项A正确;当m=0时,直线l:y+1=0的斜率为0,选项B正确;当m=1时,直线l:x+y+1=0的斜率为-1,故倾斜角为135°,选项C错误;当m=2时,直线l:2x+y+1=0的斜率为-2,又kAB==,所以直线l与直线AB的斜率不相同,选项D错误.故选AB.
8.AC　[解析] 若直线过原点,则-2+a=0,解得a=2;若直线不过原点,则a≠0且a≠2,直线在x轴上的截距为,在y轴上的截距为2-a,由=2-a,可得a=1.综上,a的值是1或2.故选AC.
9.(1,-1)(答案不唯一)　[解析] 因为直线l的方程为x-y+3=0,所以n=(1,-1)是直线l的一个法向量.
10.(-∞,1)∪(1,+∞)　[解析] 若所给方程表示一条直线,则2m2+m-3与m2-m不同时为0,由
得m=1,故实数m的取值范围是(-∞,1)∪(1,+∞).
11.2x-y-1=0　[解析] ∵直线l与向量n=(-8,4)垂直,∴直线l的一个法向量为n=(-8,4),又直线l过点P(2,3),∴直线l的方程的点法式为-8(x-2)+4(y-3)=0,化为一般式得2x-y-1=0.
12.　[解析] 当k≠-3时,直线l:(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0的方程可整理得y-3=(x-2),所以直线过定点(2,3);当k=-3时,直线方程为x=2,此时直线也过点(2,3).综上,直线l恒过定点A(2,3).因为直线mx+ny=2过点A,且m,n是正实数,所以2m+3n=2,则+=(2m+3n)=≥=,当且仅当=,即m=3n=时取等号,所以+的最小值是.
13.解:(1)由直线方程的点斜式得y-3=(x-5),整理得x-y+3-5=0.
(2)因为直线过点B(-3,0),且垂直于x轴,
所以其方程为x=-3,即x+3=0.
(3)因为直线的斜率为4,且在y轴上的截距为-2,
所以直线的方程为y=4x-2,即4x-y-2=0.
(4)因为直线在y轴上的截距为3,且平行于x轴,所以直线方程为y=3,即y-3=0.
(5)由x+2y=0得y=-x,即直线x+2y=0的斜率k=-,所以a=为所求直线的一个法向量,又所求直线过点(1,2),所以所求直线的方程为1×(x-1)-(y-2)=0,即2x-y=0.
14.解:(1)证明:直线l:kx-y+2+k=0的方程可化为y-2=k(x+1),由直线方程的点斜式可得直线l:kx-y+2+k=0过定点(-1,2).
(2)直线l:kx-y+2+k=0,即y=kx+2+k,
因为直线l不经过第四象限,所以解得k≥0,
故k的取值范围是[0,+∞).
(3)因为直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,所以k>0.对于直线l的方程kx-y+2+k=0,令y=0,解得x=-,令x=0,解得y=2+k,所以△AOB的面积S=×|OA|×|OB|=××(2+k)= =++2≥2+2=4,当且仅当=,即k=2时等号成立.所以S的最小值为4,此时直线l的方程为2x-y+4=0.
15.A　[解析] 直线l:mx+y-m-1=0的方程可化为y-1=-m(x-1),∴直线l必过定点P(1,1).由A(2,-3),B(-3,-2),可得kPA==-4,kPB==.∵直线l:mx+y-m-1=0与线段AB相交,∴由图可知,-m≥kPB或-m≤kPA,解得m≤-或m≥4,则实数m的取值范围是∪[4,+∞).故选A.
16.①③⑤　[解析] 对于①,令y=x+,则该直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点,故①正确.对于②,取k=,b=-,则直线y=x-经过整点(1,0),故②错误.对于③,设直线经过整点(x1,y1),(x2,y2),x1,y1,x2,y2∈Z,当x1=x2时,直线方程为x=x2,此时直线经过无穷多个整点;当x1≠x2时,直线的斜率k=∈Q,不妨设为k=(p,q∈Z,q≠0),则直线l:y-y1=(x-x1),它经过点(x1+qn,y1+pqn-1)(n∈N*),这些点是无数个整点,故③正确.对于④,当k,b都为有理数时,可取k=,b=,此时直线y=x+不经过整点,故④错误.对于⑤,直线y=x只经过一个整点(0,0),故⑤正确.故填①③⑤.

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