资源简介

1.4　两条直线的平行与垂直
第1课时　两条直线平行
【课前预习】
知识点
k1≠k2　k1=k2且b1≠b2　k1=k2且b1=b2
诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
【课中探究】
例1　解:(1)由直线l1,l2的方程可知两直线的斜率都为2,
且直线l1,l2在y轴上的截距分别为1和-1,
所以l1与l2不重合,所以l1∥l2.
(2)由直线l3,l4的方程可知两直线的斜率分别为k3=2,k4=-,显然k3≠k4,所以l3与l4不平行.
例2　解:(1)由题意知,直线l1的斜率k1==-,直线l2的斜率k2==-,所以直线l1与直线l2平行或重合,又kBC==-≠-,所以l1∥l2.
(2)由题意知,直线l1的斜率k1==1,直线l2的斜率k2==1,所以直线l1与直线l2平行或重合,
又kFG==1,所以直线l1与直线l2重合.
(3)由题意知,直线l1的斜率k1=tan 60°=,直线l2的斜率k2==,则k1=k2,所以直线l1与直线l2平行或重合.
(4)由题意知l1的斜率不存在,且不与y轴重合,l2的斜率也不存在,且与y轴重合,所以l1∥l2.
变式　解:由题可知,四边形ABCD的任意三个顶点不共线,kAB==-1,kCD==-1,kAD==,kBC==,
由kAB=kCD,kAD=kBC,可得四边形ABCD为平行四边形.
拓展　　[解析] 方法一(利用斜率):点Q(2,3)关于x轴的对称点为Q'(2,-3),连接AQ',设A(x0,0).∵P,A,Q'三点共线,∴-=,∴x0=,即A.
方法二(利用方向向量):点Q(2,3)关于x轴的对称点为Q'(2,-3),连接PQ',设A(x0,0).依题意得=(x0,-1),=(2,-4),由两向量共线得-4x0+2=0,解得x0=,即A.
例3　2x-y-3=0　[解析] 方法一:因为直线l经过点M(2,1),且与直线m:2x-y=0平行,所以可设直线l的方程为2x-y+λ=0(λ≠0),从而有2×2-1+λ=0,解得λ=-3,即直线l的方程为2x-y-3=0.
方法二:由直线l与直线m:2x-y=0平行,得l的一个法向量的坐标为(2,-1),又直线l过点(2,1),所以l的方程为2(x-2)-(y-1)=0,即2x-y-3=0.
变式　C　[解析] 分以下两种情况讨论:①若l∥AB,则直线l的斜率k=kAB==-4,此时直线l的方程为y-2=-4(x-1),即4x+y-6=0;②若直线l过线段AB的中点M(3,-1),则直线l的斜率k==-,此时,直线l的方程为y-2=-(x-1),即3x+2y-7=0.综上所述,直线l的方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.故选C.
例4　(1)-8　(2)　[解析] (1)当m+6=0,即m=-6时,l1:-3x+5y=23,l2:2x=8,显然不满足题意;当m+6≠0,即m≠-6时,由题意得=≠,可得m=-8.
(2)∵直线l经过点A(m,2),B(-1,m),且与直线y=x+1平行,∴=1,解得m=,当m=时,直线l的方程为y=x+,满足题意.
变式　C　[解析] ∵直线ax+(1-b)y+5=0和直线(1+a)x-y-b=0同时平行于直线x-2y+3=0,∴=≠,且=≠,解得a=-,b=0,故选C.
拓展　解:当sin α=0时,直线l1的斜率不存在,l2的斜率为0,显然l1不平行于l2.当sin α≠0时,直线l1的方程可化为y=-x+,直线l2的方程可化为y=-2xsin α-1,若l1∥l2,则-=-2sin α,且≠-1,得sin α=±,所以α=kπ±,k∈Z.1.4　两条直线的平行与垂直
第1课时　两条直线平行
1.C　[解析] 直线l1的斜率k1==,由题意可知=-1,∴x=6.故选C.
2.A　[解析] 设与直线x-2y+3=0平行的直线的方程是x-2y+c=0(c≠3),将(-1,3)代入上式得-1-6+c=0,得c=7,所以直线方程是x-2y+7=0.故选A.
3.C　[解析] 当a=0时,这两条直线的方程分别为x+6=0,x=0,此时两条直线无公共点.当a≠0时,需满足=≠,解得a=-1.综上,a=0或a=-1.故选C.
4.B　[解析] 因为直线ax-2y-1=0和直线2y-3x+b=0平行,所以a=3,b≠1,故直线y=ax+b即直线y=3x+b,与直线y=3x+1平行,故选B.
5.A　[解析] 因为A∩B= ,所以直线x+ay-a=0与直线ax+(2a+3)y-1=0没有交点,所以直线x+ay-a=0与直线ax+(2a+3)y-1=0平行,所以1×(2a+3)-a×a=0,解得a=-1或a=3.当a=-1时,两直线的方程分别为x-y+1=0,-x+y-1=0,此时两直线重合,不满足题意;当a=3时,两直线的方程分别为x+3y-3=0,3x+9y-1=0,此时两直线平行,满足题意.所以a的值为3,故选A.
6.A　[解析] 由直线l1:(m-2)x-y-1=0与直线l2:3x-my=0平行,得解得m=3或m=-1,故“m=3”是“直线l1:(m-2)x-y-1=0与直线l2:3x-my=0平行”的充分不必要条件.故选A.
7.ABC　[解析] 两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,其平行的充要条件为A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1或C1B2≠C2B1.对于A项,易知2×(-a)=-1×2a且-3×2a≠2×6,即A符合题意;对于B项,y=2x,即2x-y=0,有2×(-1)=-1×2且0×2≠-3×2,即B符合题意;对于C项,易知2×(-1)=-1×2且5×2≠-3×2,即C符合题意;对于D项,易知2×1≠-1×2,即D不符合题意.故选ABC.
8.ACD　[解析] 因为A(2,4),B(3,3),所以AB的中点坐标为,且kAB==-1.点A(2,4)与B(3,3)到直线l的距离相等,则直线l过AB的中点或直线l与AB平行.显然直线x+y-6=0,x-y+1=0过点,故C,D符合题意;直线x+y=0的斜率为-1,且直线x+y=0不过点A,所以直线x+y=0与AB平行,故A符合题意;直线x-y=0的斜率为1,所以直线x-y=0与AB不平行,且不过点,故B不符合题意.故选ACD.
9.3x-y=0(答案不唯一)　[解析] 由题意可知,直线l1的斜率为3,所求直线与直线l1平行,所以所求直线方程为3x-y+C=0(C≠-6),取C=0,可得3x-y=0.
10.-4　[解析] 因为直线x+my=2与直线mx+16y=8平行,所以1×16=m2且1×8≠2×m,解得m=-4.
11.-1或1　[解析] 由题可知三条直线中至少有两条直线平行,所以m≠0,=或=或=,解得m=1或m=-1.
12.-2　[解析] 依题意,二元一次方程组
有无穷多组解,所以两个方程表示的直线重合,所以m≠0且==,解得m=-2.当m=-2时,二元一次方程组为即符合题意.故m的值为-2.
13.解:方法一:设D(m,n),由题意得AB∥DC,AD∥BC,且相邻边所在直线的斜率均存在,则kAB=kDC,kAD=kBC,所以解得所以点D的坐标为(3,4).
方法二:设D(m,n),由四边形ABCD为平行四边形,得=,所以(1,-1)=(4-m,3-n),解得m=3,n=4,所以点D的坐标为(3,4).
14.解:由直线方程的斜截式知,直线l1的斜率k1=-2,l2在y轴上的截距为-2.因为l∥l1,所以kl=-2,
又因为直线l与l2在y轴上的截距相同,所以直线l在y轴上的截距为-2.
由直线方程的斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.
15.-2或4　[解析] 集合A表示直线y-3=2(x-1),即y=2x+1上的点(不包含点(1,3)),集合B表示直线4x+ay-16=0上的点,当A∩B= 时,直线y=2x+1与直线4x+ay-16=0平行或直线4x+ay-16=0过点(1,3),所以-=2或4+3a-16=0,解得a=-2或a=4.
16.(7,5)或(-1,9)或(3,-3)　[解析] 因为A(1,3),B(5,1),C(3,7),所以kAC==2,kAB==-,kBC==-3.设点D的坐标为(x,y),分以下三种情况:①当BC为对角线时,有kCD=kAB,kBD=kAC,且x≠5,x≠3,所以kBD==2,kCD==-,解得即D(7,5);②当AC为对角线时,有kCD=kAB,kAD=kBC,且x≠1,x≠3,所以kAD==-3,kCD==-,解得即D(-1,9);③当AB为对角线时,有kBD=kAC,kAD=kBC,且x≠5,x≠1,所以kBD==2,kAD==-3,解得即D(3,-3).所以点D的坐标为(7,5)或(-1,9)或(3,-3).1.4　两条直线的平行与垂直
第1课时　两条直线平行
一、选择题
1.经过两点A(2,3),B(-1,x)的直线l1与斜率为-1的直线l2平行,则实数x的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0 B.-6
C.6 D.3
2.过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为 (　 )
A.x-2y+7=0
B.2x+y-1=0
C.x-2y-5=0
D.2x+y-5=0
3.直线 x+a2y+6=0与(a-2)x+3ay+2a=0无公共点,则a的值为 (　 )
A.-1或2 B.0或3
C.-1或0 D.-1或3
4.已知直线ax-2y-1=0和直线2y-3x+b=0平行,则直线y=ax+b和直线y=3x+1的位置关系是 (　 )
A.重合
B.平行
C.平行或重合
D.相交
5.已知集合A={(x,y)|x+ay-a=0},B={(x,y)|ax+(2a+3)y-1=0}.若A∩B= ,则实数a= (　 )
A.3 B.-1
C.3或-1 D.-3或1
6.“m=3”是“直线l1:(m-2)x-y-1=0与直线l2:3x-my=0平行”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.(多选题)下列各直线中,与直线2x-y-3=0平行的是 (　 )
A.2ax-ay+6=0(a≠0,a≠-2)
B.y=2x
C.2x-y+5=0
D.2x+y-3=0
8.(多选题)已知A(2,4)与B(3,3)到直线l的距离相等,则直线l的方程可以为 (　 )
A.x+y=0 B.x-y=0
C.x+y-6=0 D.x-y+1=0
二、填空题
9.若直线l1的方程为3x-y-6=0,则与直线l1平行的一条直线的方程为　　　　.
10.已知直线x+my=2与直线mx+16y=8平行,则实数m的值为　　　　.
11.若不过同一点的三条直线3x+2y-6=0,3x+2my+18=0,3mx+2y+12=0不能围成一个三角形,则实数m的值是　　　　.
12.若关于x,y的二元一次方程组有无穷多组解,则m=　　　　.
三、解答题
13.已知 ABCD的三个顶点分别是A(0,1),B(1,0),C(4,3),求顶点D的坐标.
14.已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.
15.设集合A=,B={(x,y)|4x+ay-16=0,x,y∈R},若A∩B= ,则实数a=　　　　.
16.已知A(1,3),B(5,1),C(3,7),A,B,C,D四点构成的四边形是平行四边形,则点D的坐标为　　　　　　　　. (共24张PPT)
1 直线与直线的方程
1.4 两条直线的平行与垂直
第1课时 两条直线平行
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.理解两条直线平行的条件.
2.能根据斜率与法向量判定两条直线平行.
3.能应用两条直线平行解决相关问题.
知识点 两条直线相交、平行、重合
已知直线， ，则
与相交 ________；
与平行 _________________；
与重合 _________________.
且
且
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等.( )
×
（2）如果两条直线平行，那么这两条直线的法向量一定相等.( )
×
（3）如果两条直线平行,那么这两条直线的倾斜角一定相等.( )
√
（4）如果两条直线平行,那么这两条直线的方向向量一定相同.( )
×
（5）若两条直线的斜率都不存在，且两条直线不重合，则这两条直线平行.( )
√
探究点一 两条直线平行的判定
例1 判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
（1）， ；
解：由直线， 的方程可知两直线的斜率都为2，
且直线，在轴上的截距分别为1和 ，
所以与不重合，所以 .
（2）， .
解：由直线，的方程可知两直线的斜率分别为， ，
显然，所以与 不平行.
例2 根据下列给定的条件，判断直线与直线 是否平行.
（1）经过点,，经过点, ；
解：由题意知，直线的斜率，直线的斜率 ，
所以直线与直线平行或重合，又，所以 .
（2）经过点,，经过点, ；
解：由题意知，直线的斜率,直线的斜率 ，
所以直线与直线 平行或重合，
又，所以直线与直线 重合.
（3）的倾斜角为 ，经过点, ；
解：由题意知，直线的斜率,
直线 的斜率，则，所以直线与直线 平行或重合.
（4）平行于轴，经过点, .
解：由题意知的斜率不存在，且不与轴重合，
的斜率也不存在，且与 轴重合，所以 .
变式 已知四边形的四个顶点分别为,,， ,
判断该四边形的形状.
解：由题可知，四边形的任意三个顶点不共线， ，
，， ，
由，，可得四边形 为平行四边形.
［素养小结］
判断两条不重合的直线是否平行有两种方法:一是判断两直线的法向量或方向向量
是否共线；二是利用斜率判定.利用斜率判定两条不重合的直线平行的方法如下:
拓展 若一束光线从点出发，射到轴上的 点后被反射，反射光线过点
，则点 的坐标为______.
[解析] 方法一（利用斜率）：点关于轴的对称点为，连接 ，
设,,三点共线，,,即 .
方法二（利用方向向量）：点关于轴的对称点为，连接 ，
设.依题意得， ，
由两向量共线得，解得,即 .
探究点二 已知平行求直线方程
例3 已知直线经过点，且与直线平行，则 的方程为
______________.
[解析] 方法一：因为直线经过点，且与直线 平行，
所以可设直线的方程为，从而有 ，
解得，即直线的方程为 .
方法二：由直线与直线平行，得的一个法向量的坐标为 ，
又直线过点，所以的方程为，即 .
变式 过点作直线，若点，到它的距离相等，则直线 的
方程为( )
C
A.或 B.
C.或 D.或
[解析] 分以下两种情况讨论：①若，则直线的斜率 ，
此时直线的方程为，即；
②若直线过线段 的中点，则直线的斜率，
此时，直线 的方程为，即.
综上所述，直线 的方程为或 .故选C.
［素养小结］
求与已知直线平行的直线的方程时，常常有两种方法：①由两平行直线
（倾斜角不为 ）的斜率相等，求出所求直线的斜率，再结合条件求解；②由
两直线的法向量或方向向量共线来求解.
探究点三 已知两直线平行求参数
例4（1） 已知直线， ，若
，则 的值是____.
[解析] 当，即时，， ，
显然不满足题意；
当，即时，由题意得 ，可得 .
（2）直线经过点，，若直线与直线平行，则
__.
[解析] 直线经过点，，且与直线 平行，
，解得，当时，直线的方程为 ，满足题意.
变式 若直线和直线 同时平行于直
线 ，则( )
C
A.， B.， C.， D.，
[解析] 直线和直线 同时平行于直
线，
，且，解得， ，故选C.
［素养小结］
（1）当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考
虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意, 的系数不能同时为零这一隐含条件.
（2）在判断两直线平行时，可直接利用向量共线或直线方程的系数间的关系得
出结论.
拓展 已知直线和直线 ，若
，求 的值.
解：当时，直线的斜率不存在，的斜率为0，显然不平行于 .
当时，直线的方程可化为，
直线 的方程可化为，
若，则 ，且 ，
得，所以， .
1.两直线平行条件剖析
（1）成立的条件是：①两直线的斜率,都存在；与
不重合.
（2）或与 重合（斜率存在）.
（3） 或两直线的斜率都不存在.
（4）与 的法向量共线.
2.已知直线，直线 ，则
且（或 ）.
例1 已知直线的倾斜角为 ，直线经过点， ，则
直线， 的位置关系是( )
A
A.平行或重合 B.平行 C.相交 D.以上都不对
[解析] 直线经过点，，
直线 的斜率，
直线的倾斜角为 ， 直线 的斜率，
故直线与直线 平行或重合.故选A.
例2 （多选题）[2024·江苏南通高二期末] 下列各组直线平行的有( )
BD
A.与 B.与
C.与 D.与
[解析] 分别求出各组直线的斜率，
可得A，C中两直线的斜率不相等，不符合题意；
B，D中两直线的斜率相等，且两直线不重合，符合题意.
故选 .
例3 若直线与直线平行，则实数
( )
B
A.1 B. C.0 D.
[解析] 由两直线平行得，且，解得 .
当时，直线与直线 平行，符合题意.
故选B.1.4　两条直线的平行与垂直
第1课时　两条直线平行
【学习目标】
　　1.理解两条直线平行的条件.
　　2.能根据斜率与法向量判定两条直线平行.
　　3.能应用两条直线平行解决相关问题.
◆ 知识点　两条直线相交、平行、重合
已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则
l1与l2相交 　　　　;
l1与l2平行 　　　　　　　　;
l1与l2重合 　　　　　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两条直线平行,那么这两条直线的斜率一定相等. (　 )
(2)如果两条直线平行,那么这两条直线的法向量一定相等. (　 )
(3)如果两条直线平行,那么这两条直线的倾斜角一定相等. (　 )
(4)如果两条直线平行,那么这两条直线的方向向量一定相同. (　 )
(5)若两条直线的斜率都不存在,且两条直线不重合,则这两条直线平行. (　 )
◆ 探究点一　两条直线平行的判定
例1 判断下列各组直线是否平行,并说明理由:
(1)l1:y=2x+1,l2:y=2x-1;
(2)l3:2x-y-7=0,l4:x+2y-1=0.
例2 根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行.
(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7);
(2)l1经过点E(0,1),F(-2,-1),l2经过点G(3,4),H(2,3);
(3)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,),N(-2,-2);
(4)l1平行于y轴,l2经过点P(0,-2),Q(0,5).
变式 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(3,7),B(4,6),C(1,-2),D(0,-1),判断该四边形的形状.
[素养小结]
判断两条不重合的直线是否平行有两种方法:一是判断两直线的法向量或方向向量是否共线;二是利用斜率判定.利用斜率判定两条不重合的直线平行的方法如下:
拓展 若一束光线从点P(0,1)出发,射到x轴上的A点后被反射,反射光线过点Q(2,3),则点A的坐标为　　　　.
◆ 探究点二　已知平行求直线方程
例3 已知直线l经过点M(2,1),且与直线m:2x-y=0平行,则l的方程为　　　　　.
变式 过点P(1,2)作直线l,若点A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,则直线l的方程为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.4x+y-6=0或x=1
B.3x+2y-7=0
C.4x+y-6=0或3x+2y-7=0
D.3x+2y-7=0或x=1
[素养小结]
求与已知直线平行的直线的方程时,常常有两种方法:①由两平行直线(倾斜角不为90°)的斜率相等,求出所求直线的斜率,再结合条件求解;②由两直线的法向量或方向向量共线来求解.
◆ 探究点三　已知两直线平行求参数
例4 (1)已知直线l1:(m+3)x+5y=5-3m,l2:2x+(m+6)y=8,若l1∥l2,则m的值是　　　　.
(2)直线l经过点A(m,2),B(-1,m),若直线l与直线y=x+1平行,则m=　　　　.
变式 若直线ax+(1-b)y+5=0和直线(1+a)x-y-b=0同时平行于直线x-2y+3=0,则 (　 )
A.a=,b=0 B.a=2,b=0
C.a=-,b=0 D.a=-,b=2
[素养小结]
(1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线平行时,可直接利用向量共线或直线方程的系数间的关系得出结论.
拓展 已知直线l1:x+ysin α-1=0和直线l2:2x·sin α+y+1=0,若l1∥l2,求α的值.

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