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第2课时　点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式
【课前预习】
知识点一
1.　2.
诊断分析 (1)　(2)|y0-a|
知识点二
1.公垂线段　3.
诊断分析 (1)√　(2)×
【课中探究】
例1　(1)B　(2)1　[解析] (1)y=x-3可化为x-y-3=0,则点P(0,-1)到直线x-y-3=0的距离为=.故选B.
(2)因为直线y=3平行于x轴,所以所求距离d=|3-2|=1.
变式　(1)AB　(2)3x-y+9=0或3x-y-3=0
[解析] (1)依题意有=1,即|m-1|=,得m=1±.故选AB.
(2)设与直线x+3y-5=0垂直的直线方程为3x-y+m=0,则由点到直线的距离公式知,==,可得|m-3|=6,即m-3=±6,解得m=9或m=-3,故所求直线l的方程为3x-y+9=0或3x-y-3=0.
例2　D　[解析] 方法一:在直线l1:3x-4y+10=0上取点A,则点A到直线l2:6x-8y-5=0的距离d==,则平行直线l1:3x-4y+10=0与l2:6x-8y-5=0之间的距离为.故选D.
方法二:将6x-8y-5=0化为3x-4y-=0,则两平行直线间的距离d===. 故选D.
变式　(1)2x-y+1=0　(2)x+2y-3=0　(3)A
[解析] (1)设直线l的方程为2x-y+C=0,由题意得=,解得C=1,所以直线l的方程为2x-y+1=0.
(2)当直线l1,l2的斜率不存在时,两直线间的距离为1,不满足题意,故直线l1,l2的斜率存在,设为k,则直线l1,l2的方程分别是y-1=k(x-1),y+1=kx,因此两平行直线间的距离d==,依题意得=,解得k=-,所以直线l1的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.
(3)在平面直角坐标系中作出直线l1,l2,如图所示,在直线l1上取点A,过点A作AB⊥l2,垂足为B.因为直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-2=0平行,所以l1,l2之间的距离为=2,即|AB|=2.
设直线l过点A且与直线l2交于点C,则|AC|=2.因为AB⊥BC,且|AB|=2,|AC|=2,所以∠ACB=45°,即直线l与直线l2的夹角为45°.因为直线l2的斜率为-,所以l2的倾斜角为120°.当直线l在l'的位置时,直线l的倾斜角为120°+45°=165°;当直线l在l″的位置时,直线l的倾斜角为120°-45°=75°.所以直线l的倾斜角为165°或75°.故选A.
例3　(1)A　(2)9　[解析] (1)=,它表示点A(0,1)与直线3x-4y-6=0上的动点P(x,y)之间的距离,其最小值为点A到直线3x-4y-6=0的距离,为=2,故选A.
(2)易知x2+y2表示点(x,y)到点(0,0)的距离的平方.因为点(x,y)在直线xsin α+ycos α-3=0上,所以点(x,y)到点(0,0)的距离的最小值为=3,所以x2+y2的最小值为9.
变式　(1)B　(2)B　[解析] (1)∵点(3,4)在直线ax+by-10=0上,∴3a+4b-10=0,则点(a,b)在直线3x+4y-10=0上,可知点(a,b)到原点的距离的最小值等于原点到直线3x+4y-10=0的距离,为=2.故选B.
(2)因为直线l1:5x-12y-6=0与直线l2:5x-12y+20=0平行,所以两条直线之间的距离为=2.当点P(a,b)在两条直线之间时,点P(a,b)到直线l1和直线l2的距离之差的绝对值在[0,2)内;当点P(a,b)在其中一条直线上或者在两条直线之外时,点P(a,b)到直线l1和直线l2的距离之差的绝对值等于2.综上可得,点P(a,b)到直线l1和直线l2距离之差的绝对值的取值范围是[0,2],故选B.
例4　解:(1)设P(x,y)是待求直线上任意一点,Q(x0,y0)为P点关于点M(2,3)的对称点,则Q点在直线y=-4x+1上,即y0=-4x0+1.由题意得得把代入y0=-4x0+1,得4x+y-21=0,
故所求的直线方程为4x+y-21=0.
(2)设A'(x0,y0),由题意,得解得所以点A关于直线3x-y-1=0对称的点A'的坐标为(4,1).
(3)取所求直线上任意一点M(x,y),设M关于直线l2:x-y-4=0的对称点为N(x1,y1),则
解得易知点N(x1,y1)在直线l1:3x-2y-6=0上,即3x1-2y1-6=0,所以3(y+4)-2(x-4)-6=0,化简得2x-3y-14=0,即所求直线方程为2x-3y-14=0.
变式　(1)A　(2)D　[解析] (1)因为A(1,0)不在直线l:y=2x-4上,所以可设直线l:y=2x-4关于点A(1,0)对称的直线方程为y=2x+b,则=,解得b=0或b=-4(舍去),故所求直线方程为y=2x.故选A.
(2)由解得即直线l1与直线l的交点为(-1,1).易知点A(0,3)在直线l1上,设A关于直线l的对称点为A1(a,b),则解得即A1(1,2),所以直线l2的斜率k==,从而直线l2的方程为y-2=(x-1),即x-2y+3=0.故选D.
拓展　(-2,3)　[解析] 设点A(2,0)关于直线x-2y+8=0对称的点为A'(a,b),则解得即A'(-2,8).易知|PA|=|PA'|,所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,当A',P,B三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值,此时点P的横坐标为-2,则P(-2,3).第2课时　点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式
1.B　[解析] 因为直线l1和直线l2平行,所以=≠,解得a=-2,所以直线l1:x-y-1=0,直线l2:x-y-2=0,则直线l1与l2之间的距离d==.故选B.
2.D　[解析] 因为点A(1,2)关于直线l对称的点为B(3,1),所以直线l为线段AB的中垂线,易知线段AB的中点为,且kAB==-,所以直线l的斜率k=2,所以直线l的方程为y-=2(x-2),即4x-2y-5=0.故选D.
3.D　[解析] 由题意,得=1,即|a|=,所以a=±.
4.B　[解析] 由解得即A(1,3),所以A到l3的距离d==3.故选B.
5.B　[解析] 设点(2,1)关于直线x-y+1=0对称的点的坐标为(a,b),则解得故点(2,1)关于直线x-y+1=0对称的点的坐标为(0,3).故选B.
6.C　[解析] 由kx+y+k=0,得(x+1)k+y=0,所以该直线恒过定点(-1,0),则点(0,1)到直线kx+y+k=0的最大距离即为点(0,1)到定点(-1,0)的距离,为=.故选C.
7.A　[解析] ①当a=1时,可得l1:x+2=0,l2:x+2y+1=0,则两直线不平行,不符合题意.②当a≠1时,可得直线l1的斜率k1=,直线l2的斜率k2=-.由=-,整理可得a2-a-2=0,解得a=2或-1.当a=2时,可得l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+1=0,整理l2的方程可得x+y+=0,则两平行直线之间的距离为=≠,不符合题意;当a=-1时,可得l1:x-2y+2=0,l2:-x+2y+1=0,整理l2的方程可得x-2y-1=0,则两平行直线之间的距离为=,符合题意.综上可得a=-1.故选A.
8.ABC　[解析] 对于选项A,由2x+4y+1=0,得x+2y+=0,所以两直线间的距离为=,故A正确.对于选项B,点(1,2)到直线x+y-1=0的距离为=,故B正确.对于选项C,由直线ax+2y-1=0与直线(a+1)x-2ay+a=0垂直,得a(a+1)-4a=0,解得a=0或a=3,所以“直线ax+2y-1=0与直线(a+1)x-2ay+a=0垂直”是“a=3”的必要不充分条件,故C正确.对于选项D,设直线l的方程为3x-2y+c=0,由平行线间的距离公式可得2|c+1|=|c+13|,所以c=11或c=-5,所以直线l的方程为3x-2y+11=0或3x-2y-5=0,故D错误.故选ABC.
9.3x-4y-11=0或3x-4y+9=0　[解析] 设所求直线方程为3x-4y+b=0(b≠-1),根据两平行直线间的距离公式得=2,解得b=9或b=-11,∴所求直线方程为3x-4y-11=0或3x-4y+9=0.
10.2x+3y+1=0　[解析] 因为直线x+y=0与直线l:3x+2y-1=0不平行,所以l1经过直线x+y=0与直线l:3x+2y-1=0的交点.由解得
即点(1,-1)在直线l1上.取l:3x+2y-1=0上另一点(3,-4),设点(3,-4)关于直线x+y=0的对称点的坐标为(m,n),则解得所以l1过点(1,-1)和(4,-3),故l1的方程为=,即2x+3y+1=0.
11.9　[解析] 如图,易知l1∥l3,l2∥l4,设l1和l2的交点为A,l1和l4的交点为B.由解得则A(3,2);由解得则B(-1,1).∴|AB|=.l1:x-4y+5=0与l3:x-4y+14=0间的距离d==,∴平行四边形ABCD的面积为|AB|·d=9.
12.5x-3y-10=0　[解析] 设点P关于直线y=x-1的对称点为P1(a,b),则=-1,=-1,解得a=5,b=5,所以P1(5,5),所以反射光线所在直线的方程为=,整理得5x-3y-10=0.
13.解:(1)由点到直线的距离公式可得,点A(-2,3)到直线l:3x+4y+3=0的距离d1==.
(2)由平行直线间的距离公式可得,直线3x-2y-1=0与3x-2y+1=0间的距离d2===.
14.解:(1)m2+n2-2m+2n=(m-1)2+(n+1)2-2,其几何意义是点(1,-1)与直线x-2y+4=0上的点的距离的平方减2,易知点(1,-1)与该直线上的点的距离的最小值为=,所以原式的最小值为-2=.
(2)设点A(0,4)关于直线l:x-2y+4=0对称的点为A'(a,b),则-2×+4=0,且×=-1,解得a=,b=,即A'.则||PB|-|PA||=||PB|-|PA'||≤|A'B|,即||PB|-|PA||的最大值为=6. 此时,直线A'B的方程为y+4=(x+2),整理得y=x-,由得故P(4,4),
所以所求最大值为6,此时P(4,4).
15.C　[解析] 原点到直线x+ysin θ-3=0的距离d1==,不是定值,故A不满足题意;原点到直线xcos θ+y+3sin θ=0的距离d2=,不是定值,故B不满足题意;原点到直线xcos θ+ysin θ-3=0的距离d3==3,为定值,故C满足题意;原点到直线xcos θ+y-3=0的距离d4=,不是定值,故D不满足题意.故选C.
16.BCD　[解析] 对于A,设P(a,-a-2),则=(-1-a,a+3),=(2-a,a+3),假设存在点P,使得PM⊥PN,则方程·=(-1-a)(2-a)+(a+3)2=0存在实数解,整理方程得2a2+5a+7=0,由Δ=-31<0,可知该方程无解,故假设不成立,则不存在点P,使得PM⊥PN,A错误.对于B,若等腰三角形MNP的顶点为P,则P在线段MN的垂直平分线上,易知点P的横坐标为,此时P;当M为等腰三角形MNP的顶点时,因为点M到直线l:x+y+2=0的距离d1==<|MN|=3,所以直线l上必存在两点满足|PM|=|MN|=3,设这两点为P1,P2,因为l上纵坐标为1的点为(-3,1),该点与M的距离为2,所以P1,P2都不在直线MN上,符合题意;由点N到直线l:x+y+2=0的距离d2==>|MN|=3,可知以点N为顶点的等腰三角形MNP不存在.综上可知,若△MNP为等腰三角形,则点P的个数是3,B正确.对于C,设点M(-1,1)关于直线l的对称点为M'(m,n),连接M'N,则解得即M'(-3,-1),故|PM|+|PN|=|PM'|+|PN|≥|M'N|==,当且仅当M',P,N三点共线时取得等号,即|PM|+|PN|的最小值为,C正确.对于D,易知||PM|-|PN||≤|MN|=3,当且仅当P为NM的延长线与l的交点时等号成立,即||PM|-|PN||的最大值为3,D正确.故选BCD.第2课时　点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式
一、选择题
1.若直线l1:2x+ay-2=0与直线l2:x-y+a=0平行,则直线l1与l2之间的距离为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
2.[2024·四川内江高二期中] 已知点A(1,2)关于直线l对称的点为B(3,1),则直线l的方程为 (　 )
A.4x+2y-5=0
B.x-2y-5=0
C.x+2y-5=0
D.4x-2y-5=0
3.已知点(a,1)到直线x-y+1=0的距离为1,则a的值为 (　 )
A.1 B.-1
C. D.±
4.已知直线l1:3x-y=0,l2:4x+y-7=0,l3:3x-4y-6=0,则l1,l2的交点A到l3的距离为 (　 )
A. B.3
C.2 D.4
5.[2024·广东佛山高二期中] 点(2,1)关于直线x-y+1=0对称的点的坐标为 (　 )
A.(-2,5) B.(0,3)
C.(0,-1) D.(-1,2)
6.[2024·江西抚州高二期末] 点(0,1)到直线kx+y+k=0的最大距离为 (　 )
A.2 B.
C. D.1
7.若平面内两条平行线l1:x+(a-1)y+2=0与l2:ax+2y+1=0间的距离为,则实数a= (　 )
A.-1 B.2
C.-1或2 D.-2或1
8.(多选题)[2024·浙江宁波高二期中] 下列说法中正确的为 (　 )
A.直线x+2y-2=0与直线2x+4y+1=0的距离为
B.点(1,2)到直线x+y-1=0的距离为
C.已知a∈R,则“直线ax+2y-1=0与直线(a+1)x-2ay+a=0垂直”是“a=3”的必要不充分条件
D.已知直线l1:3x-2y-1=0和直线l2:3x-2y-13=0,直线l与l1,l2的距离分别为d1,d2,若d1∶d2=1∶2,则直线l的方程为3x-2y-5=0
二、填空题
9.与直线l:3x-4y-1=0平行且到直线l的距离为2的直线的方程为　　　　　　　　　　　.
10.[2024·四川宜宾高二期中] 已知直线l:3x+2y-1=0与直线l1关于直线x+y=0对称,则l1的方程为　　　　　　　　　.
11.平行四边形ABCD的四条边所在直线的方程分别为l1:x-4y+5=0,l2:2x+y-8=0,l3:x-4y+14=0,l4:2x+y+1=0,则此平行四边形的面积是　　　　.
12.一条光线从点P(6,4)射出,经直线y=x-1反射,反射光线经过点Q(2,0),则反射光线所在直线方程为　　　　　　.
三、解答题
13.(1)求点A(-2,3)到直线l:3x+4y+3=0的距离;
(2)求平行直线3x-2y-1=0与3x-2y+1=0间的距离.
14.已知直线l:x-2y+4=0,点A(0,4),点B(-2,-4),点P(m,n)在直线l上移动.
(1)求m2+n2-2m+2n的最小值;
(2)求||PB|-|PA||的最大值,以及取得最大值时点P的坐标.
15.从空中某个角度俯视某体育场顶棚所得的局部示意图如图,在平面直角坐标系中,下列直线系方程(其中θ为参数,θ∈R)
能形成这种效果的是 (　 )
A.x+ysin θ-3=0
B.xcos θ+y+3sin θ=0
C.xcos θ+ysin θ-3=0
D.xcos θ+y-3=0
16.(多选题)[2024·福建泉州高二期中] 已知点M(-1,1),N(2,1),且点P在直线l:x+y+2=0上,则下列说法中正确的是 (　 )
A.存在点P,使得PM⊥PN
B.若△MNP为等腰三角形,则点P的个数是3
C.|PM|+|PN|的最小值为
D.||PM|-|PN||的最大值为3(共36张PPT)
1 直线与直线的方程
1.6 平面直角坐标系中的距离公式
第2课时 点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式.
2.会求两条平行直线间的距离.
知识点一 点到直线的距离公式
已知点,直线,不全为0,则点到直线的距离
___________.
证明点到直线距离的方法如下:
1.定义法
根据定义,点到直线的距离就是点到直线 的垂线段的长.
如图,过点作直线 的垂
线,垂足为,由可知的斜率为___, 的方程为
可以验证，当 时，上述公式仍然成立.
,与的方程联立,得交点 ,
.
2.向量法
如图,设直线的一个法向量为 ,
为直线上任意一点, ，则
.从而点到直线的距离
_________ .
点在直线上,,从而 .
【诊断分析】（1） 点到直线 的距离为_ ___.
（2）点到直线 的距离为________.
知识点二 两条平行直线间的距离
1.定义:夹在两条平行直线间的__________的长,称为两条平行直线间的距离.
公垂线段
2.求法:转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
3.公式:两条平行直线与（其中， 不
全为0，且）之间的距离 _______.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知直线,,则直线,间的距离为 .( )
√
（2）已知两条平行直线,,则直线 ,
间的距离为 .( )
×
探究点一 点到直线的距离公式
例1（1） 在平面直角坐标系中，点到直线 的距离为( )
B
A.1 B. C. D.
[解析] 可化为，
则点到直线 的距离为 ．故选B.
（2）点到直线 的距离是___.
1
[解析] 因为直线平行于轴,所以所求距离 .
变式（1） （多选题）已知点到直线的距离等于1，则 的
值可以是( )
AB
A. B. C. D.3
[解析] 依题意有，即，得.故选 .
（2）垂直于直线且与点的距离是的直线 的方程是
_____________________________.
或
[解析] 设与直线垂直的直线方程为 ，
则由点到直线的距离公式知，，
可得 ，即，解得或，
故所求直线的方程为 或 .
［素养小结］
求点到直线的距离的方法
（1）求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式,直接应用点到直线的距
离公式求解即可.
（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线或,求点 到它们的
距离时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接写成 或
（3）已知点到直线的距离求参数时,只需根据点到直线的距离公式列方程求解
参数即可.
探究点二 两条平行直线间的距离公式
例2 平行直线与 之间的距离为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 方法一：在直线上取点,，
则点, 到直线的距离，
则平行直线 与之间的距离为 .故选D.
方法二：将化为 ,
则两平行直线间的距离 .故选D.
变式（1） 已知直线与两平行直线和 之
间的距离相等,则 的方程为______________.
[解析] 设直线的方程为,
由题意得 ,解得,
所以直线的方程为 .
（2）已知直线,是分别经过,的两条平行直线,当, 间的距
离为时,直线 的方程是______________.
[解析] 当直线,的斜率不存在时,两直线间的距离为1,不满足题意，
故直线 , 的斜率存在,设为,
则直线,的方程分别是, ,
因此两平行直线间的距离,
依题意得,解得 ,
所以直线的方程为,即 .
（3）[2024·甘肃白银高二期末]若直线被两平行直线 与
所截的线段的长为，则直线 的倾斜角为( )
A
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
[解析] 在平面直角坐标系中作出直线， ，如图所示，
在直线上取点A，过点A作 ，垂足为B.
因为直线与直线 平行，
所以,之间的距离为，即 .
设直线过点A且与直线交于点C，则.
因为，且 ，，所以 ，
即直线与直线的夹角为 .
因为直线 的斜率为，所以的倾斜角为 .
当直线在的位置时，直线 的倾斜角为 ；
当直线在的位置时，直线的倾斜角为. ,
所以直线的倾斜角为 或 .故选A.
［素养小结］
求两平行直线间的距离一般有两种方法:
（1）转化法:将两平行直线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条
直线的距离.由于结果与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与
坐标轴的交点等,以便于运算.
（2）公式法:直接用公式,但要注意两直线方程中, 的系数对应相等.
探究点三 最值问题
例3（1） 已知实数，满足，则 的最小值
为( )
A
A.2 B. C. D.
[解析] ，
它表示点 与直线上的动点 之间的距离，
其最小值为点A到直线的距离，为 ，故选A.
（2）已知实数,满足，则 的最小值为___.
9
[解析] 易知表示点到点的距离的平方.
因为点 在直线上，
所以点到点 的距离的最小值为，
所以 的最小值为9.
变式（1） 已知点在直线上，则点 到原
点的距离的最小值为( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 点在直线上，，
则点 在直线上，
可知点 到原点的距离的最小值等于原点到直线的距离，
为 ．
故选B.
（2）点到直线和直线 的距离
之差的绝对值的取值范围是( )
B
A. B. C. D.与, 有关
[解析] 因为直线与直线 平行，
所以两条直线之间的距离为．
当点在两条直线之间时，
点 到直线和直线的距离之差的绝对值在内；
当点 在其中一条直线上或者在两条直线之外时，
点到直线和直线 的距离之差的绝对值等于2.
综上可得，点到直线和直线距离之差的绝对值的取值范围是 ,
故选B.
［素养小结］
解决与直线有关的最值问题，常转化为求解点到直线的距离或两平行线间的距
离的相关问题.
探究点四 对称问题
例4（1） 求直线关于点 对称的直线方程.
解：设是待求直线上任意一点，为点关于点 的对称点，
则点在直线上，即.
由题意得 得把代入，
得 ，故所求的直线方程为 .
（2）求点关于直线对称的点 的坐标.
解： 设，由题意，得解得
所以点 关于直线对称的点的坐标为 .
（3）已知直线，直线，求关于 对称的直
线方程.
解： 取所求直线上任意一点，
设关于直线 的对称点为，
则 解得
易知点在直线 上，即，
所以，化简得 ，
即所求直线方程为 .
变式（1） 直线关于点 对称的直线方程为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为不在直线上，
所以可设直线 关于点对称的直线方程为，
则，解得 或（舍去），
故所求直线方程为 .
故选A.
（2）[2024·湖南常德高二期中]若直线 关于直线
对称的直线为，则 的方程为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由解得即直线与直线的交点为 .
易知点在直线上，设A关于直线的对称点为，
则 解得即，
所以直线的斜率，
从而直线 的方程为，即 .故选D.
［素养小结］
与直线有关的对称问题的求解规律：
（1）点关于点对称，利用中点坐标得到两对称点的坐标和 的
关系式
（2）直线关于点对称，两直线平行，斜率相等，再在已知直线上取点 ，求点
关于已知点的对称点 ，进而可得直线方程.
（3）点关于直线对称，依据两对称点的连线与对称轴垂直，且两对称点的对称
中心在对称轴上，列式求解.
（4）直线关于直线对称，若两直线相交，则三条直线交于一点，再转化为求点
关于直线的对称点；若两直线平行，则三条直线都平行，由平行直线系和两条
平行线间的距离公式即可求解.
拓展 已知直线和点，，若点在直线 上，
则当取得最小值时，点 的坐标是________.
[解析] 设点关于直线对称的点为 ，
则解得即.
易知 ，所以，
当，，三点共线时， 取得最小值，此时点的横坐标为，
则 .
1.点到直线的距离公式的理解
（1）点到直线的距离公式的特点:①分母是直线方程的一般式中, 的系数平方
和的算术平方根,即 ;②分子是直线方程的一般式中等号
左边代入点的坐标后的绝对值,即 .
（2）特别地,当在直线上时,点到该直线的距离为0;当点为原点时,点 到
直线的距离 .
（3）若直线方程为,则当或 时点到直线的距离公式
也成立,但由于此时的直线是特殊直线（与坐标轴垂直）,故也可以数形结合求解.
2.两条平行直线间的距离公式的理解
（1）两条平行直线间的距离的求法有两种:一是转化为点到直线的距离;二是直
接使用公式 .
（2）在应用两条平行直线间的距离公式时,除了要把直线方程化为一般式之外,
还要使, 的系数分别相等.
（3）如果两条平行直线,的方程的斜截式分别为, ,那
么这两条平行直线间的距离 .
例1 已知点,到直线的距离相等，则实数 的
值为( )
C
A. B. C.或 D.或
[解析] 由点到直线的距离公式可得 ，
化简得，解得或 .故选C.
例2 已知直线与直线 平行，则它们之间的距离
为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为两条直线平行，所以，解得，所以直线 ，
即直线与直线之间的距离 .
故选A.
例3 若，分别为直线与直线 上任意一点，
则 的最小值为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以两条直线平行，
将 化为.
由题意可知 的最小值为这两条平行直线间的距离，即 .
故选D.
例4 直线关于直线 对称的直线的方程为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设所求直线的方程为，
由 ，解得或（舍去），
所以所求直线的方程为 .故选B.第2课时　点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式
【学习目标】
　　1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式.
　　2.会求两条平行直线间的距离.
◆ 知识点一　点到直线的距离公式
已知点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0),则点P到直线l的距离d=　　　　　　.
证明点到直线距离的方法如下:
1.定义法
根据定义,点P到直线l的距离就是点P到直线l的垂线段的长.如图,过点P(x0,y0)作直线l:Ax+By+C=0(A≠0)的垂线l',垂足为Q,由l'⊥l可知l'的斜率为　　　,∴l'的方程为y-y0=(x-x0),与l的方程联立,得交点Q,∴|PQ|=.
可以验证,当A=0时,上述公式仍然成立.
2.向量法
如图,设直线l:Ax+By+C=0的一个法向量为n=(A,B),M(x1,y1)为直线l上任意一点,P(x0,y0),则=(x1-x0,y1-y0).从而点P到直线l的距离d=　　　　==
.
∵点M在直线l上,∴Ax1+By1+C=0,从而d==.
【诊断分析】 (1)点P(-1,0)到直线l:x+y-4=0的距离为　　　　.
(2)点P(x0,y0)到直线y=a的距离为　　　　.
◆ 知识点二　两条平行直线间的距离
1.定义:夹在两条平行直线间的　　　　　　的长,称为两条平行直线间的距离.
2.求法:转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
3.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(其中A,B不全为0,且C1≠C2)之间的距离d=　　　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知直线l1:x=x1,l2:x=x2,则直线l1,l2间的距离为|x2-x1|. (　 )
(2)已知两条平行直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则直线l1,l2间的距离为. (　 )
◆ 探究点一　点到直线的距离公式
例1 (1)在平面直角坐标系中,点P(0,-1)到直线y=x-3的距离为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1 B.
C.2 D.
(2)点P0(0,2)到直线y=3的距离是　　　　.
变式 (1)(多选题)已知点(1,m)到直线x+y-2=0的距离等于1,则m的值可以是 (　 )
A.1- B.1+
C.-1 D.3
(2)垂直于直线x+3y-5=0且与点P(-1,0)的距离是的直线l的方程是　　　　　　　　　　　.
[素养小结]
求点到直线的距离的方法
(1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式,直接应用点到直线的距离公式求解即可.
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点P(x0,y0)到它们的距离时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接写成d=|x0-a|或d=|y0-b|.
(3)已知点到直线的距离求参数时,只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.
◆ 探究点二　两条平行直线间的距离公式
例2 平行直线l1:3x-4y+10=0与l2:6x-8y-5=0之间的距离为 (　 )
A. B.
C. D.
变式 (1)已知直线l与两平行直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0之间的距离相等,则l的方程为　　　　　　.
(2)已知直线l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)的两条平行直线,当l1,l2间的距离为时,直线l1的方程是　　　　　　.
(3)[2024·甘肃白银高二期末] 若直线l被两平行直线l1:x+y+2=0与l2:x+y-2=0所截的线段的长为2,则直线l的倾斜角为 (　 )
A.165°或75° B.85°或45°
C.150°或30° D.75°或85°
[素养小结]
求两平行直线间的距离一般有两种方法:
(1)转化法:将两平行直线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于结果与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.
(2)公式法:直接用公式d=,但要注意两直线方程中x,y的系数对应相等.
◆ 探究点三　最值问题
例3 (1)已知实数x,y满足3x-4y-6=0,则的最小值为 (　 )
A.2 B.
C. D.
(2)已知实数x,y满足xsin α+ycos α=3,则x2+y2的最小值为　　　　.
变式 (1)已知点(3,4)在直线ax+by-10=0(a,b∈R)上,则点(a,b)到原点的距离的最小值为 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)点P(a,b)到直线l1:5x-12y-6=0和直线l2:5x-12y+20=0的距离之差的绝对值的取值范围是 (　 )
A.[0,2) B.[0,2]
C.(2,+∞) D.与a,b有关
[素养小结]
解决与直线有关的最值问题,常转化为求解点到直线的距离或两平行线间的距离的相关问题.
◆ 探究点四　对称问题
例4 (1)求直线y=-4x+1关于点M(2,3)对称的直线方程.
(2)求点A(-2,3)关于直线3x-y-1=0对称的点A'的坐标.
(3)已知直线l1:3x-2y-6=0,直线l2:x-y-4=0,求l1关于l2对称的直线方程.
变式 (1)直线l:y=2x-4关于点A(1,0)对称的直线方程为 (　 )
A.y=2x B.y=-2x
C.y=2x-8 D.y=2x+4
(2)[2024·湖南常德高二期中] 若直线l1:2x-y+3=0关于直线l:x-y+2=0对称的直线为l2,则l2的方程为 (　 )
A.2x+y+1=0 B.x+2y-1=0
C.x+y=0 D.x-2y+3=0
[素养小结]
与直线有关的对称问题的求解规律:
(1)点关于点对称,利用中点坐标(a,b)得到两对称点的坐标(x,y)和(x1,y1)的关系式
(2)直线关于点对称,两直线平行,斜率相等,再在已知直线上取点A,求点A关于已知点的对称点A',进而可得直线方程.
(3)点关于直线对称,依据两对称点的连线与对称轴垂直,且两对称点的对称中心在对称轴上,列式求解.
(4)直线关于直线对称,若两直线相交,则三条直线交于一点,再转化为求点关于直线的对称点;若两直线平行,则三条直线都平行,由平行直线系和两条平行线间的距离公式即可求解.
拓展 已知直线l:x-2y+8=0和点A(2,0),B(-2,-4),若点P在直线l上,则当|PA|+|PB|取得最小值时,点P的坐标是　　　　.

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