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2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质
一、选择题
1.双曲线-=1的一个焦点坐标为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(0,5) B.(-5,0)
C.(,0) D.(0,-)
2.已知双曲线的一个焦点为(5,0),一个顶点为(3,0),则双曲线的标准方程为 (　 )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
3.已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,虚轴的上、下端点分别为B1,B2,则四边形B1F1B2F2的面积为 (　 )
A.24 B.12
C.8 D.4
4.[2024·浙江嘉兴高二期中] 已知椭圆+=1和双曲线-=1的共同焦点为F1,F2,P是两曲线的一个交点,则△PF1F2的面积为 (　 )
A.3 B.6
C.9 D.8
5.如图是一个落地青花瓷,其中底座和瓶口的直径相等,其外形被称为单叶双曲面,可以看成是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶最小横截面的直径为40 cm,最大横截面的直径为60 cm,双曲线的离心率为,则该花瓶的高为 (　 )
A.90 cm B.100 cm
C.110 cm D.120 cm
6.[2024·湖北武汉高二期中] 已知双曲线 -=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,右焦点为F2(2,0),O为坐标原点,点P为双曲线右支上一点,且|F1F2|=2|PF2|,△PF1F2的周长为10,M为线段PF2的中点,则|OM|= (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
7.(多选题)已知双曲线+=1的实轴长是虚轴长的3倍,则m的值可能是 (　 )
A.-1 B.2
C. D.12
8.(多选题)[2024·河北邢台高二期中] 已知F(0,3)是双曲线C:-=1(a>0)的上焦点,点P在C上,则 (　 )
A.a=1
B.a=
C.|PF|的最小值为2
D.|PF|的最小值为4
二、填空题
9.双曲线9x2-16y2=1的实轴长为　　　　.
10.已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点(4,),则双曲线C的标准方程为　　　　.
11.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l交双曲线C的左支于A,B两点,且|AB|=6,若△ABF2的周长为24,则双曲线C的实轴长是　　　　.
12.已知双曲线-y2=1,A(3,0),O为坐标原点,M为双曲线上任意一点,则·的取值范围是　　　　.
三、解答题
13.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)实轴在y轴上,一个焦点为直线3x-4y+24=0与坐标轴的交点的等轴双曲线;
(2)实轴长为4,经过点A(2,-5),焦点在y轴上.
14.[2024·河北保定高二期中] 已知双曲线C的实轴长为4,且与双曲线-=1有公共的焦点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知M(0,3),P是C上的任意一点,求|PM|的最小值.
15.已知等轴双曲线的焦距为8,左、右焦点分别为F1,F2,中心在坐标原点,点A的坐标为(5,),P为双曲线右支上一动点,则|PF1|-|PA|的最大值为　　　　.
16.已知双曲线-=1(02 双曲线
2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.了解双曲线的简单几何性质.
2.了解双曲线标准方程中,, 的几何意义.
知识点一 双曲线的几何性质
标准方程
图象 _______________________________________________________ _______________________________________________________
标准方程
性质 焦点 ________________ ________________
焦距 ____ ____
范围 ________________________ ________________________
对称性 关于________________对称 顶点 _________________ _________________
_____________ 实轴 虚轴 ,
,
或，且
或，且
轴、轴和原点
,
,
续表
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）双曲线的焦点在 轴上.( )
×
（2）双曲线与双曲线 的形状
相同.( )
√
（3）双曲线有四个顶点，分别是双曲线与实轴及虚轴的交点.( )
×
知识点二 共焦点的双曲线系问题
1.与双曲线共焦点的双曲线系方程
（1）与双曲线 有公共焦点的双曲线系方程为
；
（2）与双曲线 有公共焦点的双曲线系方程为
.
2.与椭圆共焦点的双曲线系方程
（1）与椭圆 共焦点的双曲线系方程为
；
（2）与椭圆 共焦点的双曲线系方程为
.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）双曲线与双曲线 有相同的焦点.( )
×
（2）双曲线与椭圆 有相同的焦点.( )
×
（3）双曲线与双曲线 有公共渐近线.( )
√
（4）已知双曲线与双曲线 ，则两双曲线的
焦距相等.( )
√
探究点一 双曲线的简单几何性质
例1（1） 求双曲线 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长.
解：双曲线的标准方程是，， ，
，，.
又双曲线的焦点在轴上，
其顶点坐标为 ,焦点坐标为, ,实轴长为6,虚轴长为4.
（2）求适合下列条件的双曲线的标准方程.
①双曲线焦距为8，顶点坐标为， ；
解： 因为双曲线的顶点坐标为,,所以 ,且双曲线的焦点在轴上.
因为双曲线的焦距为8，所以，则.
可得 ，所以双曲线的标准方程为 .
②双曲线顶点坐标为, ,虚轴长为2；
解： 因为双曲线的顶点坐标为,,所以 ,且双曲线的焦点在轴上，
因为双曲线的虚轴长为2，所以，则 .
所以双曲线的标准方程为 .
③双曲线实轴长和虚轴长相等，且经过点 .
解： 因为双曲线的实轴长和虚轴长相等，
所以可设双曲线的方程为.
因为双曲线经过点，所以，即 ，
所以双曲线的方程为，标准方程为 .
变式 已知双曲线 ，求该双曲线的实半轴长、
虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标.
解：双曲线 的标准方程为，
由此可知，其焦点在轴上，实半轴长为 ，虚半轴长为，，
焦点坐标为， ，顶点坐标为， .
［素养小结］
由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤：
（1）把双曲线方程化为标准形式，这是解题的关键；
（2）由标准方程确定焦点的位置，确定， 的值；
（3）由求出 的值，从而写出双曲线的几何性质.
提醒：在求双曲线的几何性质时一定要注意焦点的位置.
探究点二 双曲线的简单几何性质的应用
例2（1） 已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数 的
值为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，解得 ．故选A.
（2）在平面直角坐标系中，已知双曲线两顶点间的距离是6，其焦点在坐标
轴上，两焦点的连线被两顶点和坐标原点四等分，则它的标准方程是
_______________________.
或
[解析] 由双曲线两顶点间的距离是6得，即 .
由两焦点的连线被两顶点和坐标原点四等分可得，即 ，
所以 .
因为该双曲线的焦点所在的坐标轴不确定，
所以所求双曲线的标准方程为或 .
变式（1） 已知,是双曲线 的两个焦点，若双曲线的左、
右顶点和坐标原点把线段 四等分，则该双曲线的焦距为( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为,是双曲线 的两个焦点，
且双曲线的左、右顶点和坐标原点把线段四等分，
所以，即，即 ，
又因为，所以所以，
所以该双曲线的焦距为 .故选D.
（2）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分
与较大部分的比值，其比值为，把 称为黄金分割数.已知双曲线
的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则 的值为
( )
A
A. B. C.2 D.
[解析] 由题意得，， ，
双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数，，
，则 ，解得 .故选A.
［素养小结］
运用双曲线的某些几何性质求参数的值，关键是设出双曲线方程的标准形式,再
根据已知条件,列出关于参数,,的方程并求出,, 的值.
拓展 如图，从某个角度观察篮球，可以得到一个对称的平面图形，将篮球的
外轮廓记为圆 ，将篮球表面的黏合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线
与圆的交点将圆的周长八等分， ，则该双曲线的焦
距为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 如图，以为原点，
所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
设双曲线的方程为 ，
则该双曲线过点，且，所以，
解得 ，所以，得 ，
所以该双曲线的焦距为 ，故选C.
探究点三 双曲线和椭圆的关系问题
例3 与椭圆 有相同焦点的曲线的方程可以是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 易知椭圆的焦点为.对于A，椭圆的焦点坐标为 ，
A不符合题意；
对于B，椭圆的焦点坐标为 ，B不符合题意；
对于C，双曲线的焦点坐标为 ，C不符合题意；
对于D，双曲线方程可化为，则其焦点坐标为 ，D符合题意.
故选D.
变式（1） 双曲线与椭圆的焦点相同，则 等于( )
A
A.1 B. C.1或 D.2
[解析] 依题意，双曲线的焦点在轴上，，即 ，
又 双曲线与椭圆的焦点相同， ，
且， .故选A.
（2）若曲线的焦距为4，则实数 的值是________.
5或
[解析] 由题意得.当曲线为椭圆时，因为，所以，则 ，
所以，则；
当曲线为双曲线时，，则 .
综上实数的值为5或 .
［素养小结］
在求双曲线与椭圆的关系问题时，常常有两种思路：
1.由双曲线的几何性质来进行判断求解；
2.由双曲线系方程来判断求解.
拓展 （多选题）已知椭圆 与双曲线
，则下列关于两曲线的说法错误的是( )
AB
A.的长轴长与的实轴长相等 B.的短轴长与 的虚轴长相等
C.两曲线的焦距相等 D.两曲线的焦点坐标一样
[解析] 由题意可知，椭圆的长轴长为8，短轴长为6，焦距为 .
当时，，，则双曲线的焦点在 轴上，
其实轴长为，虚轴长为，焦距为，
故 的长轴长与的实轴长不相等，的短轴长与的虚轴长不相等，
与 的焦距相等，焦点坐标一样.故A，B中说法错误；C，D中说法正确.
故选 .
1.双曲线既是中心对称图形,又是轴对称图形,原点 为对称中心,坐标轴为对称轴.
2.双曲线与椭圆的几点不同
双曲线 椭圆
曲线 两支曲线 封闭的曲线
顶点 两个顶点 四个顶点
轴 实轴、虚轴 长轴、短轴
例1 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数 的值是( )
C
A.16 B. C. D.
[解析] 因为方程表示双曲线，所以，且 ，
所以双曲线的焦点在轴上，且,，所以, ，
又虚轴长是实轴长的2倍，所以，解得 .故选C.
例2 已知椭圆的长轴的端点和焦点分别是双曲线 的焦点和顶点，
则双曲线 的方程为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为 ，
由椭圆可得，，所以 ，
可得，所以椭圆的长轴的端点为，焦点为 ，
所以双曲线的焦点为，顶点为，
设双曲线的方程为，可得， ，
所以，所以双曲线C的方程为 ，故选C.
例3 已知双曲线的两个焦点为，，点在双曲线 上，满
足，，则双曲线 的标准方程为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意可设双曲线C的标准方程为 ，
则得所以双曲线C的标准方程为 ，故选B.2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质
【课前预习】
知识点一
F1(-c,0),F2(c,0)　F1(0,-c),F2(0,c)　2c　2c　x≤-a或x≥a,且y∈R　y≤-a或y≥a,且x∈R　x轴、y轴和原点　A1(-a,0),A2(a,0)　A1(0,-a),A2(0,a)　c2=a2+b2
诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×
知识点二
诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)√
【课中探究】
例1　解:(1)双曲线9y2-4x2=-36的标准方程是-=1,∴a2=9,b2=4,∴a=3,b=2,c=.又双曲线的焦点在x轴上,∴其顶点坐标为(-3,0),(3,0),焦点坐标为(-,0),(,0),实轴长为6,虚轴长为4.
(2)①因为双曲线的顶点坐标为(3,0),(-3,0),所以a=3,且双曲线的焦点在x轴上.因为双曲线的焦距为8,所以2c=8,则c=4.可得b2=c2-a2=7,所以双曲线的标准方程为-=1.
②因为双曲线的顶点坐标为(0,4),(0,-4),所以a=4,且双曲线的焦点在y轴上,因为双曲线的虚轴长为2,所以2b=2,则b=1.所以双曲线的标准方程为-x2=1.
③因为双曲线的实轴长和虚轴长相等,所以可设双曲线的方程为x2-y2=t(t≠0).因为双曲线经过点(2,1),所以22-12=t,即t=3,所以双曲线的方程为x2-y2=3,标准方程为-=1.
变式　解:双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的标准方程为-=1(m>0,n>0),由此可知,其焦点在x轴上,实半轴长为,虚半轴长为,c=,焦点坐标为(,0),(-,0),顶点坐标为(-,0),(,0).
例2　(1)A　(2)-=1或-=1　[解析] (1)由题意得2=3×2,解得a=.故选A.
(2)由双曲线两顶点间的距离是6得2a=6,即a=3.由两焦点的连线被两顶点和坐标原点四等分可得2c=4a=12,即c=6,所以b2=c2-a2=62-32=27.因为该双曲线的焦点所在的坐标轴不确定,所以所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.
变式　(1)D　(2)A　[解析] (1)因为F1,F2是双曲线-=1(a>0)的两个焦点,且双曲线的左、右顶点和坐标原点把线段|F1F2|四等分,所以2c=4a,即c=2a,即c2=4a2,又因为c2=a2+3,所以所以c=2,所以该双曲线的焦距为2×2=4.故选D.
(2)由题意得,a2=(-1)2,b2=m,∴c2=a2+b2=(-1)2+m.∵双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数,∴==,∴=,则=,解得m=2-2.故选A.
拓展　C　[解析] 如图,以O为原点,AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则该双曲线过点(,),且a=1,所以-=1,解得b2=2,所以c2=a2+b2=3,得c=,所以该双曲线的焦距为2,故选C.
例3　D　[解析] 易知椭圆+=1的焦点为(±2,0).对于A,椭圆的焦点坐标为(0,±2),A不符合题意;对于B,椭圆的焦点坐标为(±,0),B不符合题意;对于C,双曲线的焦点坐标为(±2,0),C不符合题意;对于D,双曲线方程可化为-y2=1,则其焦点坐标为(±2,0),D符合题意.故选D.
变式　(1)A　(2)5或-3　[解析] (1)依题意,双曲线-y2=1的焦点在x轴上,∴a+1>0,即a>-1,又∵双曲线-y2=1与椭圆+=1的焦点相同,∴(a+1)+1=4-a2,且0(2)由题意得c=2.当曲线为椭圆时,因为c2=4,所以a2>4,则a2=m,所以m-1=4,则m=5;当曲线为双曲线时,1+(-m)=4,则m=-3.综上实数m的值为5或-3.
拓展　AB　[解析] 由题意可知,椭圆C1的长轴长为8,短轴长为6,焦距为2=2.当90,9-k<0,则双曲线C2的焦点在x轴上,其实轴长为2,虚轴长为2,焦距为2=2,故C1的长轴长与C2的实轴长不相等,C1的短轴长与C2的虚轴长不相等,C1与C2的焦距相等,焦点坐标一样.故A,B中说法错误;C,D中说法正确.故选AB.2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质
1.D　[解析] 因为双曲线的方程为-=1,所以双曲线的焦点在y轴上,且c2=a2+b2=4+3=7,所以双曲线的焦点坐标为(0,)和(0,-).故选D.
2.D　[解析] 由题可知,双曲线的焦点在x轴上,所以可设其标准方程为-=1(a>0,b>0),则c=5,a=3,所以b2=c2-a2=16,所以双曲线的标准方程为-=1,故选D.
3.B　[解析] 由题可知a=,b=2,则c=3,易知四边形B1F1B2F2为菱形,其面积为=12.故选B.
4.A　[解析] 椭圆+=1的长半轴长为5,短半轴长为3,半焦距为4,则|F1F2|=8,设点P(m,n),则可得|n|=,所以△PF1F2的面积为×8×=3.故选A.
5.B　[解析] 由该花瓶最小横截面的直径为40 cm,得a=20,又由双曲线的离心率为,得c=20,则b=20,可得双曲线的方程为-=1,当x=30时,可得y=±50,故该花瓶的高为100 cm.故选B.
6.B　[解析] 因为右焦点为F2(2,0),所以|F1F2|=4,又因为 |F1F2|=2|PF2|,所以|PF2|=2,因为 |F1F2|+|PF1|+|PF2|=10,所以 |PF1|=4,又O为坐标原点,且M为线段PF2的中点,所以|OM|=|PF1|=2,故选B.
7.BD　[解析] 当双曲线的焦点在x轴上时,11-m>0,m-3<0,所以m<3,则a=,b=,则2=3×2,解得m=2;当双曲线的焦点在y轴上时,11-m<0,m-3>0,所以m>11,则a=,b=,则2=3×2,解得m=12.故选BD.
8.AC　[解析] 由F(0,3)可得c=3,所以a2+8=9,得a=1,故A正确,B错误;当P为双曲线的上顶点时,|PF|取得最小值,最小值为c-a=3-1=2,C正确,D错误.故选AC.
9.　[解析] 双曲线的标准方程为-=1,则a=,因此,该双曲线的实轴长为2a=.
10.-=1　[解析] 设双曲线C的方程为x2-y2=t(t≠0),则由题意得42-()2=t,即t=3,所以双曲线的方程为x2-y2=3,标准方程为-=1.
11.6　[解析] 由双曲线的定义可得|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|=2a,则|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a,因为|AB|=|AF1|+|BF1|=6,所以|AF2|+|BF2|=4a+6.因为△ABF2的周长为24,所以|AB|+|AF2|+|BF2|=24,所以|AF2|+|BF2|=18,则4a+6=18,解得a=3,故双曲线C的实轴长是6.
12.[-2,+∞)　[解析] 设点M(x,y),x≤-2或x≥2,则=(x-3,y),=(x,y),由-y2=1,可得y2=-1,所以·=x(x-3)+y2=x2-3x+-1=-3x-1,令f(x)=-3x-1,易知二次函数f(x)的图象开口向上,图象的对称轴为直线x=,当x≤-2时,函数f(x)单调递减,此时f(x)≥f(-2)=10;当x≥2时,函数f(x)单调递增,此时f(x)≥f(2)=-2.综上所述,函数f(x)在(-∞,-2]∪[2,+∞)上的取值范围为[-2,+∞).
13.解:(1)由题意设双曲线的标准方程为-=1(a>0),
由已知得,焦点为直线3x-4y+24=0与y轴的交点(0,6),则a2+a2=62,即a2=18,
所以双曲线的标准方程为-=1.
(2)由题意知,a=2,因为双曲线的焦点在y轴上,所以设双曲线的标准方程为-=1(b>0),因为双曲线经过点A(2,-5),所以-=1,解得b2=16,所以双曲线的标准方程为-=1.
14.解:(1)双曲线-=1的焦点为(0,±),所以设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),由题可知,a=2,a2+b2=5,可得b=1,所以双曲线C的方程为-x2=1.
(2)由-x2=1可得,y≤-2或y≥2,设P(x0,y0),y0≤-2或y0≥2,则-=1,所以|PM|===,所以当y0=时,|PM|取得最小值=.
15.4+2　[解析] 由题意设双曲线的方程为x2-y2=a2(a>0),因为双曲线的焦距为8,所以c=4,因为2a2=c2,所以a2=8,故双曲线的标准方程为-=1.由双曲线的定义可知,|PF1|-|PA|=|PF2|-|PA|+2a≤|AF2|+2a,当且仅当P,A,F2三点共线且点P位于第一象限时取等号.由题意可知,F2(4,0),A(5,),a=2,所以|AF2|=2,故|PF1|-|PA|的最大值为|AF2|+2a=2+4.
16.2　[解析] 双曲线-=1(0第1课时　双曲线的简单几何性质
【学习目标】
　　1.了解双曲线的简单几何性质.
　　2.了解双曲线标准方程中a,b,c的几何意义.
◆ 知识点一　双曲线的几何性质
标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
图象
(续表)
标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
性 质 焦点 　　　　　 　　　　　
焦距 　　　 　　　
范围 　　　　　 　　　　　
对称性 关于　　　　　　　　对称
顶点 　　　 　　　
a,b,c的关系 　　　　　　　
实轴 两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长度等于2a,其中a叫作双曲线的实半轴长
虚轴 线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长度等于2b,其中b叫作双曲线的虚半轴长
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)双曲线-=1的焦点在y轴上. (　 )
(2)双曲线-=1(a>0,b>0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的形状相同. (　 )
(3)双曲线有四个顶点,分别是双曲线与实轴及虚轴的交点. (　 )
◆ 知识点二　共焦点的双曲线系问题
1.与双曲线共焦点的双曲线系方程
(1)与双曲线-=1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线系方程为-=1(-a2<λ(2)与双曲线-=1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线系方程为-=1(-a2<λ2.与椭圆共焦点的双曲线系方程
(1)与椭圆+=1(a>b>0)共焦点的双曲线系方程为-=1(a>b>0,b2<λ(2)与椭圆+=1(a>b>0)共焦点的双曲线系方程为-=1(a>b>0,b2<λ【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)双曲线-=1与双曲线-=1有相同的焦点. (　 )
(2)双曲线-=1与椭圆+=1有相同的焦点. (　 )
(3)双曲线-=1与双曲线-=1有公共渐近线. (　 )
(4)已知双曲线-=1与双曲线-=1(0◆ 探究点一　双曲线的简单几何性质
例1 (1)求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长.
(2)求适合下列条件的双曲线的标准方程.
①双曲线焦距为8,顶点坐标为(3,0),(-3,0);
②双曲线顶点坐标为(0,4),(0,-4),虚轴长为2;
③双曲线实轴长和虚轴长相等,且经过点(2,1).
变式 已知双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0),求该双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标.
[素养小结]
由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤:
(1)把双曲线方程化为标准形式,这是解题的关键;
(2)由标准方程确定焦点的位置,确定a,b的值;
(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
提醒:在求双曲线的几何性质时一定要注意焦点的位置.
◆ 探究点二　双曲线的简单几何性质的应用
例2 (1)已知双曲线-=1(a>0)的虚轴长是实轴长的3倍,则实数a的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
(2)在平面直角坐标系中,已知双曲线两顶点间的距离是6,其焦点在坐标轴上,两焦点的连线被两顶点和坐标原点四等分,则它的标准方程是 　　　　　　　　　.
变式 (1)已知F1,F2是双曲线-=1(a>0)的两个焦点,若双曲线的左、右顶点和坐标原点把线段|F1F2|四等分,则该双曲线的焦距为 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值为,把称为黄金分割数.已知双曲线-=1(m>0)的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数,则m的值为 (　 )
A.2-2
B.+1
C.2
D.2
[素养小结]
运用双曲线的某些几何性质求参数的值,关键是设出双曲线方程的标准形式,再根据已知条件,列出关于参数a,b,c的方程并求出a,b,c的值.
拓展 如图,从某个角度观察篮球,可以得到一个对称的平面图形,将篮球的外轮廓记为圆O,将篮球表面的黏合线视为坐标轴和双曲线,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分,|AB|=|BC|=|CD|=1,则该双曲线的焦距为 (　 )
A. B.
C.2 D.
◆ 探究点三　双曲线和椭圆的关系问题
例3 与椭圆+=1有相同焦点的曲线的方程可以是 (　 )
A.+=1
B.+=1
C.-=1
D.x2-3y2=3
变式 (1)双曲线-y2=1与椭圆+=1的焦点相同,则a等于 (　 )
A.1 B.-2
C.1或-2 D.2
(2)若曲线x2+=1的焦距为4,则实数m的值是　　　　.
[素养小结]
在求双曲线与椭圆的关系问题时,常常有两种思路:
1.由双曲线的几何性质来进行判断求解;
2.由双曲线系方程来判断求解.
拓展 (多选题)已知椭圆C1:+=1与双曲线C2:+=1(9A.C1的长轴长与C2的实轴长相等
B.C1的短轴长与C2的虚轴长相等
C.两曲线的焦距相等
D.两曲线的焦点坐标一样

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