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第2课时　空间向量的数量积
一、选择题
1.已知a,b,c为空间向量,则下列关于它们的说法正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.若a·b=b·c,且b≠0,则a=c
B.若c=2a+3b,则a,b,c共面
C.(a·b)·c=a·(b·c)
D.向量a在向量b方向上的投影数量一定是正的
2.若|a|=4,a和b的夹角为60°,则a在b方向上的投影数量为 (　 )
A.2 B.
C.2 D.4
3.已知单位向量a,b满足|a|=|a+b|,则·b= (　 )
A. B.1
C. D.0
4.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=AA'=2,∠BAD=,∠BAA'=∠DAA'=,则AC'= (　 )
A.2 B.2
C.4 D.2
5.[2024·河北保定高二开学考] 如图,A1B1,AB分别是圆台上、下底面的直径,且AB=2A1B1,AB∥A1B1,C1是弧A1B1上靠近点B1的三等分点,则在方向上的投影向量是 (　 )
A. B.
C. D.
6.我国古代数学名著《九章算术》中记载了一种几何体,名为“堑堵”,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.在堑堵ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,AC⊥AB,P为B1C1的中点,则·= (　 )
A.6 B.-6
C.2 D.-2
7.(多选题)设a,b为空间中的任意两个非零向量,则下列各式中正确的是 (　 )
A.a2=|a|2
B.=
C.(a·b)2=a2·b2
D.(a-b)2=a2-2a·b+b2
8.(多选题)已知空间四边形ABCD的四条边和对角线的长度都为a,且E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列四个式子中结果为-a2的有 (　 )
A.2· B.2·
C.2· D.2·
二、填空题
9.若向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则向量a+2b与向量a的夹角为　　　　.
10.[2024·江西十一校高二期中] 在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,AA'=3,则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为　　　　.
11.已知空间向量a,b的夹角为120°,且a·b=-2,则|2a-b|的最小值为　　　　.
12.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC=1,PA=2,∠PAB=∠PAC=∠CAB=,点D在线段BC上,且BD=BC,则直线AD与直线PC夹角的余弦值为　　　　.
三、解答题
13.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为B1C1的中点.
(1)求<,>,<,>的大小;
(2)求向量在向量方向上的投影数量.
14.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=3,∠BAD=∠BAA1=
∠A1AD=,=2,N为CD的中点.
(1)求线段AM的长;
(2)求∠MAN的余弦值.
15.在平面直角坐标系中,已知A(-1,4),B(3,-6),现沿x轴将坐标平面折成120°的二面角,则折叠后A,B两点间的距离为 (　 )
A.2 B.2
C.8 D.3
16.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为棱B1C1上的动点,则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为　　　　. (共35张PPT)
2 空间向量与向量运算
2.1 从平面向量到空间向量
2.2 空间向量的运算
第2课时 空间向量的数量积
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.了解空间向量夹角的相关概念及表示方法.
2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.
3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
4.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题.
知识点一 两个向量的夹角
1.概念:如图,已知两个非零向量,,在空间中任取一点,作, ,则
叫作向量与 的______,记作______.
夹角
2.夹角的取值范围:与的夹角的取值范围是______,其中当时,与 方
向______;当 时,与方向______;当时,称与 __________，
记作.反之,若,则或 ;若,则 .
相同
相反
互相垂直
3.（1） ;
（2）规定：零向量与任意向量垂直.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）向量与的夹角等于向量与 的夹角.( )
×
（2）若向量与的夹角为 ,则直线与的夹角也为 .( )
×
知识点二 两个向量的数量积
1.概念:已知两个空间向量,,把______________叫作与的数量积,记作 ,
即 ______________.
2.空间向量数量积的性质
（1） .
（2） _______.
（3） ___.
0
3.空间向量数量积的运算律
（1） _____（交换律）.
（2） ___________（分配律）.
（3）________, .
注:不满足结合律 .
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对于向量,,若,则一定有或 .( )
×
（2）对于非零向量,由,可得 .( )
×
（3）若,则 是钝角.( )
×
（4）对于向量,,,有 .( )
×
知识点三 投影向量与投影数量
1.投影向量的概念
如图，已知两个非零向量,，在空间任取一点，作,,过点 作
直线的垂线，垂足为点,称向量为向量在向量 方向上的__________，
其长度等于_____________.
投影向量
当为锐角时， _____（如图（1））；
当为钝角时， _____（如图（2））；
当时， _____（如图（3））.
2.投影数量的概念
若用表示与向量同方向的单位向量，则向量在向量 方向上的投影
向量为 .
因此，称为投影向量的______，也称为向量在向量 方向上的
__________.
数量
投影数量
3.向量在向量方向上的投影数量为 ___________.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
已知,是夹角为 的两个单位向量,则向量在向量 方向上的投影向量为
.( )
×
探究点一 空间向量的数量积运算
例1（1） （多选题）设正方体的棱长为 ,则有( )
AC
A. B.
C. D.
[解析] ,故A正确;
,故B错误;
,故C正确;
,故D错误.故选 .
（2）如图，已知四棱柱的底面是矩形， ，
， ，为棱的中点，则 ____.
14
[解析] 由题易得 ，
则 .
变式 如图，在各棱长都为2的四面体 中，
，，则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由题得,的夹角，,的夹角，,的夹角均为.
, ，,，
，
.
故选A.
［素养小结］
（1）空间向量数量积运算的两种方法:
①利用 并结合运算律进行计算.
②先将各向量移到同一起点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.
（2）在几何体中求空间向量数量积的步骤:
①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.
③代入 求解.
探究点二 空间向量数量积的应用
例2（1） 如图所示，在四棱锥中，底面
为正方形，且各棱长均相等，是 的中点，则异面直线
与 夹角的余弦值为( )
D
A.1 B. C. D.
[解析] 设四棱锥的各条棱的长均为2，则，
由是 的中点，得,显然,,不共面，, ，
因为 , ，
所以
，
则,，
所以异面直线与 夹角的余弦值为 .故选D.
（2）如图，平行六面体 中，
， ，
，点满足，求 的长度.
解：因为 ，
，, ，
所以 ，
故 .
变式（1） 已知四边形为矩形， 平面 ，连接
，，，， ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
A
A.与 B.与 C.与 D.与
[解析] 因为 平面， 平面，所以， ，
排除D.
因为，，，所以 平面，
又 平面，所以，所以，同理 ，
排除B，C.
故选A.
（2）平行六面体中，,, ,
，则该平行六面体的体对角线 的长为 ( )
A
A. B.5 C. D.
[解析] 平行六面体如图所示，连接 ，
由图知， ，
，
，
,,, ，
，故 . 故选A.
（3）如图所示,在直三棱柱中, ,
,,则 _ ____.
[解析] ， ， ，
,
, ,
,, ,
又,, .
［素养小结］
（1）求两个向量的夹角：利用公式求出,进而确定 .
（2）求线段长度（两点间的距离） 取此线段（以此两点为端点的线段）对
应的向量；②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用 ,计算出
,即得所求线段长度（两点间的距离）.
探究点三 投影向量与投影数量
例3（1） 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量 在
向量 方向上的投影数量为( )
B
A.2 B. C. D.
[解析] 空间向量在向量方向上的投影数量为 .
故选B.
（2）如图所示，在正六棱柱中， .
①指出向量分别在， 方向上的投影向量；
解:连接，根据正六棱柱的性质，知， 平面 ,
又 平面，所以，
所以向量在 方向上的投影向量为,向量在方向上的投影向量为 .
②求向量在 方向上的投影数量.
解：向量在方向上的投影数量为 .
变式 在四棱锥中， 底面，底面是矩形，则 在
向量上的投影向量为____.（从“”“”“”“”“”“ ”中选填）
[解析] 如图所示，在四棱锥中，底面 是矩形，
则，,，即.
由 平面， 平面，得 ，
又，, 平面，所以 平面 ，
又 平面，所以，故向量在向量上的投影向量为 ，
所以向量在向量上的投影向量为 .
［素养小结］
（1）求投影向量的方法
①依据投影向量的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量.
②首先根据题意确定向量的模、与同向的单位向量及两向量与的夹角 ,
然后依据公式得到在 方向上的投影向量.
（2）在方向上的投影数量为 .
1.对于空间向量的数量积，我们可以从以下几个方面理解.
（1）向量，的数量积记为，而不能表示为或 .
（2）向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角 的余弦值的符
号决定.当 为锐角时，，但当时， 不一定是锐角，也可能为
0；当 为钝角时，，但当时， 不一定是钝角，也可能为 .
2.向量夹角的取值范围为 .当夹角为锐角时其余弦值为正数,当夹角为钝角时
其余弦值为负数.
3.通过学习,我们可以利用向量的数量积解决立体几何中的以下问题:求两直线夹
角的余弦值,求两点之间的距离或线段的长度,证明线面垂直等.
例1 三棱锥的三条侧棱两两垂直，且 ，若
，则 ____.
[解析] 由题知,,，
又， 为边长为的等边三角形.
由，，得 ，
.
例2 在三棱锥中,,, ,
,若为的中点,为的中点,则 ___.
2
[解析] 连接,则 ,
所以
.
又,,, ,
所以,所以,即 .
例3 如图，在正方体中，， 分别
是， 的中点，正方体的棱长为1.
（1）求与 夹角的余弦值；
解: ，
.
因为，， ，
所以 .
又 ，
所以 .
（2）求证： .
证明：因为 ，
，
所以 ，
所以 .第2课时　空间向量的数量积
【课前预习】
知识点一
1.夹角　　2.[0,π]　相同　相反　互相垂直
诊断分析 (1)×　(2)×
知识点二
1.|a||b|cos　|a||b|cos　2.(2)　(3)0
3.(1)b·a　(2)a·b+a·c　(3)λ(a·b)
诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　(4)×
知识点三
1.投影向量　||b|cos|　>0　<0　=0
2.数量　投影数量　3.=a0·b
诊断分析 ×
【课中探究】
例1　(1)AC　(2)14　[解析] (1)·=·(++)=·=-a2,故A正确;·=·=·(+)=·=a2,故B错误;·=·(+)=·=a2,故C正确;·=·=·(+)=-·=-a2,故D错误.故选AC.
(2)由题易得=++,则·=·+·+=4×3×cos 60°+0+×42=14.
变式　A　[解析] 由题得,的夹角,,的夹角,,的夹角均为.∵=,=2,∴=(+),=,∴=-=+-=+-=+(-)-=-+,∴·=(+)·=·--·+·+=×2×2×-×22-×2×2×+×2×2×+×22=-.故选A.
例2　(1)D　[解析] 设四棱锥P-ABCD的各条棱的长均为2,则BD=2,由E是PB的中点,得AE=,显然,,不共面,=-,=(+),因为∠BAD=90°,∠PAD=∠PAB=60°,所以·=(-)·(+)=(·+·--·)=(2×2×cos 60°-22-2×2×cos 60°)=-2,则cos<,>===-,所以异面直线AE与BD夹角的余弦值为.故选D.
(2)解:因为=-+=-+,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=,AB=AD=1,AA1=3,
所以=+++2·-2·-2·=1+1+9+3-3-1=10,故BD1=||=.
变式　(1)A　(2)A　(3)　[解析] (1)因为PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以PA⊥CD,·=0,排除D.因为AD⊥AB,AD⊥PA,AB∩PA=A,所以AD⊥平面APB,又PB 平面APB,所以AD⊥PB,所以·=0,同理·=0,排除B,C.故选A.
(2)平行六面体ABCD-A1B1C1D1如图所示,连接AC,由图知=+,=+,∴=++,则=(++)2=+++2·+2·+2·,∵AB=2,AD=2,AA1=3,∠DAB=∠BAA1=∠DAA1=60°,∴=4+4+9+4+6+6=33,故AC1=||=.故选A.
(3)∵CA=CB,∠BCA=90°,
∴∠ABC=45°,·=(+)·(+)=·+·+·+·,∵·=||||·cos(180°-∠ABC)=×1×cos 135°=-1,·=0,·=0,·=4,∴·=-1+0+0+4=3,又||·||=×=,∴cos<,>==.
例3　(1)B　[解析] 空间向量a在向量e方向上的投影数量为|a|cos=4×=-2.故选B.
(2)解:①连接A1E1,根据正六棱柱的性质,知DD1⊥AD,D1E1⊥平面A1E1EA,又AE1 平面A1E1EA,所以D1E1⊥AE1,所以向量在方向上的投影向量为,向量在方向上的投影向量为.
②向量在方向上的投影数量为||·cos∠E1AE=||=2.
变式　　[解析] 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,则BC⊥CD,BC∥AD,BC=AD,即=.由PD⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,得PD⊥BC,又PD∩CD=D,PD,CD 平面PCD,所以BC⊥平面PCD,又PC 平面PCD,所以BC⊥PC,故向量在向量上的投影向量为,所以向量在向量上的投影向量为.第2课时　空间向量的数量积
1.B　[解析] 对于A,a·b=b·c |a||b|cos=|b||c|cos,若b≠0,则|a|cos=|c|cos,得不出a=c,故错误.对于B,根据平面向量基本定理可知正确.对于C,(a·b)·c=λc,a·(b·c)=μa,故错误.对于D,向量a在向量b方向上的投影数量为|a|cos,可以为正数,可以为0,也可以为负数,故错误.故选B.
2.C　[解析] a在b方向上的投影数量为|a|cos 60°=4×=2,故选C.
3.D　[解析] ∵a,b是单位向量,∴a2=b2=1.∵|a|=|a+b|,∴a2+2a·b+b2=1,故a·b=-,∴·b=a·b+b2=-+=0.故选D.
4.D　[解析] 　·=||·||cos=0,·=||||cos=2×2×=2,·=||||cos=2×2×=2.由题意得=++=++,所以AC'=||==
=
=2.故选D.
5.C　[解析] 如图,取C1在下底面上的投影C,作CD⊥AB,垂足为D,连接CA,CO,则∠COD=,易知在方向上的投影向量是.设上底面的半径为r,可得OD=r,AD=r=AB,故在方向上的投影向量是.故选C.
6.A　[解析] 如图,根据堑堵的几何性质知AA1⊥AB,AA1⊥AC.因为=+,=+=+(-),所以·=(+)·=·+-·++·-·=2+4=6.故选A.
7.AD　[解析] 由数量积的性质和运算律可知A,D正确;是实数,无法运算,B不正确;设a与b的夹角为θ,则(a·b)2=(|a|·|b|cos θ)2=|a|2·|b|2cos2θ,故当cos2θ≠1时,(a·b)2≠|a|2·|b|2=a2·b2,C不正确.故选AD.
8.AC　[解析] 如图所示,2·=2||||cos 120°=2a·acos 120°=-a2;2·=2||||cos 60°=2a·acos 60°=a2;2·=2||||cos 180°=2··
acos 180°=-a2;2·=2||||cos 120°=2··acos 120°=-.故结果为-a2的有A,C,故选AC.
9.　[解析] 设向量a+2b与向量a的夹角为θ,∵向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,∴a·b=2×1×cos=1,则|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=12,∴|a+2b|=2,又∵(a+2b)·a=a2+2a·b=6,∴cos θ===,∵0≤θ≤π,∴θ=.
10.-1　[解析] 如图,易知向量在方向上的投影数量为||cos∠BAC=||=2,向量在方向上的投影数量为||cos (π-∠A'AC')=-||=-3,所以向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为2-3=-1.
11.2　[解析] 因为a·b=|a|·|b|·cos 120°=-|a|·|b|=-2,所以|a|·|b|=4,|2a-b|2=(2a)2-4a·b+b2=|2a|2+|b|2+8≥4|a|·|b|+8=24,当且仅当|2a|=|b|,即|a|=,|b|=2时等号成立,所以|2a-b|≥2,即|2a-b|的最小值为2.
12.　[解析] 　·=||||cos=1×1×=,·=||||cos=1×2×=1,·=||||cos=1×2×=1,∵=+=+=+(-)=+,=-,∴·=·(-)=·+-·-·=×+--=-,==++2××·=++=,||2=(-)2=+-2·=1+4-2=3,∴||=,||=.∴cos<,>===-,∴直线AD与直线PC夹角的余弦值为.
13.解:(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为DD1⊥BC,所以<,>=90°,因为=,所以<,>=<,>=135°.
(2)如图,连接EC,因为DC⊥平面BCC1B1,CE 平面BCC1B1,所以DC⊥CE,又因为AD⊥DC,所以在向量方向上的投影向量为.因为DC=1,所以向量在向量方向上的投影数量为1.
14.解:(1)连接AC,=+=++,∴=+++2·+·+·=16+4+4+8+8+4=44,∴AM=2.
(2)=+,则||==2,·=·=·++·++·+·=4+4+2+8+2+2=22,∴cos∠MAN==.
15.B　[解析] 作AC⊥x轴,垂足为C,作BD⊥x轴,垂足为D,则折叠前与折叠后的图形如图所示,在折叠后的图形中,连接AB,则=++,所以||==
=
=2.故选B.
16.　[解析] 由已知E为棱B1C1上的动点,设=λ(0≤λ≤1),因为=+=+λ=++λ,所以·=(++λ)·=·+·+λ·=1××cos 45°+λ×1××cos 45°=1+λ,所以向量在向量方向上的投影数量为=.又0≤λ≤1,所以1≤1+λ≤2,所以≤≤,所以向量在向量方向上的投影数量的取值范围为.第2课时　空间向量的数量积
【学习目标】
　　1.了解空间向量夹角的相关概念及表示方法.
　　2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.
　　3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
　　4.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题.
◆ 知识点一　两个向量的夹角
1.概念:如图,已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫作向量a与b的　　　　,记作　　　　.
2.夹角的取值范围:a与b的夹角的取值范围是　　　　,其中当=0时,a与b方向　　　　;当=π时,a与b方向　　　;当=时,称a与b　　　　　　,记作a⊥b.反之,若a∥b,则=0或π;若a⊥b,则=.
3.(1)=;
(2)规定:零向量与任意向量垂直.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与的夹角等于向量与的夹角. (　 )
(2)若向量与的夹角为α,则直线AB与CD的夹角也为α. (　 )
◆ 知识点二　两个向量的数量积
1.概念:已知两个空间向量a,b,把　　　　　叫作a与b的数量积,记作a·b,即a·b=　　　　　　　.
2.空间向量数量积的性质
(1)cos=(a≠0,b≠0).
(2)|a|=　　　　　.
(3)a⊥b a·b=　　　　.
3.空间向量数量积的运算律
(1)a·b=　　　　(交换律).
(2)a·(b+c)=　　　　　　(分配律).
(3)(λa)·b=　　　　,λ∈R.
注:不满足结合律(a·b)·c=a·(b·c).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于向量a,b,若a·b=0,则一定有a=0或b=0. (　 )
(2)对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c. (　 )
(3)若a·b<0,则是钝角. (　 )
(4)对于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c). (　 )
◆ 知识点三　投影向量与投影数量
1.投影向量的概念
如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,过点B作直线OA的垂线,垂足为点B1,称向量为向量b在向量a方向上的　　　　,其长度等于　　　　　　.
当为锐角时,|b|cos 　　　　(如图(1));
当为钝角时,|b|cos　　　　(如图(2));
当=时,|b|cos　　　　(如图(3)).
2.投影数量的概念
若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量,则向量b在向量a方向上的投影向量为=|b|cosa0.
因此,称|b|cos为投影向量的　　　,也称为向量b在向量a方向上的　　　　.
3.向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos=　　　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则向量e1在向量e2方向上的投影向量为e1. (　 )
◆ 探究点一　空间向量的数量积运算
例1 (1)(多选题)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则有 (　 )
A.·=-a2
B.·=a2
C.·=a2
D.·=a2
(2)如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,
∠BAA1=60°,E为棱C1D1的中点,则·=　　　　.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 如图,在各棱长都为2的四面体ABCD中, =,=2,则·= (　 )
A.- 　　　　B.
C.- 　　　　D.
[素养小结]
(1)空间向量数量积运算的两种方法:
①利用a·b=|a||b|cos并结合运算律进行计算.
②先将各向量移到同一起点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.
(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤:
①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.
③代入a·b=|a||b|cos求解.
◆ 探究点二　空间向量数量积的应用
例2 (1)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,且各棱长均相等,E是PB的中点,则异面直线AE与BD夹角的余弦值为 (　 )
A.1 B. C. D.
(2)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,∠A1AD=∠A1AB=
∠BAD=,AB=AD=1,A1A=3,点M满足3=,求BD1的长度.
变式 (1)已知四边形ABCD为矩形(AB≠BC),PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不为零的是 (　 )
A.与 B.与
C.与 D.与
(2)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=2,AA1=3,∠DAB=∠BAA1=∠DAA1=60°,则该平行六面体的体对角线AC1的长为(　 )
A. B.5
C.2 D.
(3)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,则cos<,>=　　　　.
[素养小结]
(1)求两个向量的夹角:利用公式cos=求出cos,进而确定.
(2)求线段长度(两点间的距离):①取此线段(以此两点为端点的线段)对应的向量;②用其他已知夹角和模的向量表示该向量;③利用|a|=,计算出|a|,即得所求线段长度(两点间的距离).
◆ 探究点三　投影向量与投影数量
例3 (1) 已知|a|=4,空间向量e为单位向量,=,则空间向量a在向量e方向上的投影数量为 (　 )
A.2 B.-2 C. - D.
(2)如图所示,在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,AB=2.
①指出向量分别在,方向上的投影向量;
②求向量在方向上的投影数量.
变式 在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,则在向量上的投影向量为　　　　.(从“”“”“”“”“”“”中选填)
[素养小结]
(1)求投影向量的方法
①依据投影向量的定义和平面几何知识作出恰当的垂线,直接得到投影向量.
②首先根据题意确定向量a的模、与b同向的单位向量e及两向量a与b的夹角θ,然后依据公式|a|cos θ·e得到a在b方向上的投影向量.
(2)a在b方向上的投影数量为|a|cos=.

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