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3.2　空间向量运算的坐标表示及应用
第1课时　空间向量运算的坐标表示及平行(共线)和垂直的条件
【课前预习】
知识点一
1.标准正交基　p=xi+yj+zk
2.p=(x,y,z)　3.(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
诊断分析 (1)√　(2)√　(3)×
知识点二
(x1+x2,y1+y2,z1+z2)　(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
(λx1,λy1,λz1)　x1x2+y1y2+z1z2
诊断分析 (1)×　(2)×
知识点三
a=λb　x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2　a·b=0
x1x2+y1y2+z1z2=0
诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√
【课中探究】
例1　解:(1)∵CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点,∴B(0,1,0),C1(0,0,2),B1(0,1,2),M,N(1,0,1).
(2)由(1)知B(0,1,0),N(1,0,1),A1(1,0,2),
∴=(1,-1,1),=(1,-1,2),=(-1,1,-2).
变式　(1)D　(2)(-4,3,1)　[解析] (1)∵a=(-3,4,12),且=2a,∴=(-6,8,24),∵A(1,-2,0),∴点B的坐标是(-5,6,24),故选D.
(2)因为=(4,3,1),D为坐标原点,所以B1(4,3,1),又因为几何体ABCD-A1B1C1D1为长方体,所以A(4,0,0),C1(0,3,1),所以=(-4,3,1).
例2　解:2a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8)=(6,10,-8)+(6,3,24)=(12,13,16).
3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28).a·b=3×2+5×1+(-4)×8=-21.
变式　(1)C　(2)　(3)-8　[解析] (1)设C(x,y,z),则=(x-4,y-1,z-3).∵=(-2,-6,-2),=3,∴(-2,-6,-2)=(3x-12,3y-3,3z-9),∴解得∴点C的坐标为.
(2)因为向量a,b,c共面,所以存在x,y∈R,使得c=xa+yb,即解得
(3)由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以(c+a)·(2b)=4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.
例3　　-6　[解析] 若a⊥b,则a·b=-8-2+3x=0,得x=.若a∥b,则==,得x=-6.
变式　(1)　[解析] 设D(x,y,z),则=(x-1,y-4,z-3),=(2,1,1),=(x-1,y-2,z-1),因为D在线段AB上,且满足CD⊥AB,所以即解得所以点D的坐标为.
(2)解:①∵a+b=(3,-1,1),(a+b)∥c,∴(a+b)=μc,μ∈R,即3=μ(λ+4),且-1=-μλ,1=μλ,解得λ=2,μ=.
②∵ka+b=(k+2,-1,k),2a-b=(0,1,2),ka+b与2a-b互相垂直,∴(ka+b)·(2a-b)=2k-1=0,解得k=.3.2　空间向量运算的坐标表示及应用
第1课时　空间向量运算的坐标表示及平行(共线)和垂直的条件
一、选择题
1.已知点M1,M2与点M(1,-2,3)分别关于x轴和z轴对称,则= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(-2,0,6)
B.(2,0,-6)
C.(0,4,-6)
D.(0,-4,6)
2.已知{a,b,c}是空间向量的一组基,{a+b,a-b,c}是空间向量的另一组基,若向量p在{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在{a+b,a-b,c}下的坐标为 (　 )
A.(4,0,3) B.(1,2,3)
C.(3,1,3) D.(2,1,3)
3.已知向量a=(3,-2,1),b=,若a∥b,则实数m的值为 (　 )
A.3 B.-3
C. D.-
4.已知空间向量a=(2,x,1),b=(-1,2,1),若(a-b)⊥b,则x= (　 )
A. B.3
C. D.2
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则·的值为 (　 )
A.a2 B.2a2
C.3a2 D.a2
6.已知a=(2,-1,2),b=(-1,3,-3),c=(13,6,λ),若向量a,b,c共面,则λ= (　 )
A.2 B.3
C.4 D.6
7.(多选题)已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),则下列结论中正确的是 (　 )
A.若|a|=2,则m=±
B.若a⊥b,则m=-1
C.存在实数λ,使得a=λb
D.若a·b=-1,则a+b=(-1,-2,2)
8.(多选题)在长方体OABC-O'A'B'C'中,OA=1,OC=3,OO'=2,点E在线段AO的延长线上,且OE=,建立如图所示的空间直角坐标系,则下列向量的坐标表示正确的是 (　 )
A.=(3,0,0)
B.=(1,0,2)
C.=
D.=
二、填空题
9.已知点A(1,3,-1),B(4,6,5),若点P为线段AB上靠近A的三等分点,则点P的坐标为　　　　.
10.若向量a=(1,-2,-n),b=,c=共面,则n=　　　　.
11.有一个质点位于A(1,1,-2)处,在力F=(2,2,2)的作用下,该质点由A移动到B(3,4,-2+)时,力F所做的功的大小为　　　　.
12.已知在空间直角坐标系O-xyz中,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当·取得最小值时,点Q的坐标为　　　　.
三、解答题
13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,写出向量,,的坐标.
14.已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).
(1)当(λa+b)∥(a-3b)时,求实数λ的值;
(2)当(a-3b)⊥(λa+b)时,求实数λ的值.
15.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列计算结果一定等于0的是 (　 )
A.· B.·
C.· D.·
16.已知在空间直角坐标系中,A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,6),点M(x,y,2)(x>0,y>0)在平面ABC内,则+的最小值为　　　　. (共27张PPT)
§3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示
3.2 空间向量运算的坐标表示及应用
第1课时 空间向量运算的坐标表示及平行（共线）和
垂直的条件
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.掌握空间向量的线性运算及数量积的坐标表示.
2.会判断两个向量的共线或垂直，并能运用这些知识解决一些相关问题.
知识点一 空间向量的坐标
1.在空间直角坐标系中，分别沿轴、轴、轴正方向作单位向量, ,
，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基 ,这组基叫作
_____________.且对于任意一个向量，都存在唯一的三元有序实数组 ,
使得________________.
标准正交基
2.把三元有序实数组叫作向量在标准正交基 下的坐标，记作
____________.
3.一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的
坐标减去起点的坐标，即：若,,则 _______________
_________.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） 既可以表示向量,也可以表示点.( )
√
（2）已知轴、轴、轴正方向的单位向量分别为，，，若 ,
则向量的坐标为 .( )
√
（3）若,,则向量的坐标为 .( )
×
知识点二 空间向量运算的坐标表示
若, ,则
加法
减法
数乘
数量积
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知向量,,则 .( )
×
（2）已知向量,,,则向量 的坐
标为 .( )
×
知识点三 空间向量平行（共线）和垂直的条件
若,, ,则
共线
垂直
,,
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在空间直角坐标系中,向量的坐标与终点 的坐标相同.( )
×
（2）设,且,若,则 .( )
×
（3）若四边形是平行四边形,则与 的坐标相同.( )
√
探究点一 空间向量的坐标
例1 在直三棱柱中， ，
，，，分别为， 的中点.
建立如图所示的空间直角坐标系，求：
（1）点，，，， 的坐标；
解：， ，，
， 分别为，的中点，
，， ，， .
（2）向量，， 的坐标.
解：由（1）知，， ，
，， .
变式（1） 在空间直角坐标系中,已知点 和向量
,且,则点 的坐标为( )
D
A. B. C. D.
[解析] ,且,,,
点B的坐标是 ,故选D.
（2）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过 的三条棱所
在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则 的坐
标是_________.
[解析] 因为，为坐标原点，所以 ，
又因为几何体为长方体，所以,,
所以 .
［素养小结］
用坐标表示空间向量的步骤:
探究点二 空间向量的坐标运算
例2 设向量，，计算，， .
解: .
.
.
变式（1） 已知,，为线段上一点，且 ，则点
的坐标为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设,则 ,，
，
解得 点C的坐标为，， .
（2）已知向量，，，若,, 共面，
则实数 ___.
[解析] 因为向量,,共面，所以存在,，使得 ，
即解得
（3）已知向量,,,若 ,则实
数 ____.
[解析] 由已知得, ,
所以,解得 .
［素养小结］
利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则；进行向量坐标
运算时,可以先代入坐标再运算,也可先进行向量式的化简再代入坐标运算.
探究点三 空间向量平行（共线）和垂直的条件
例3 已知向量，，若，则___；若 ，
则 ____.
[解析] 若,则，得.
若,则 ,得 .
变式（1） [2024·浙江宁波高二期中] 点，， ，若
在线段上，且满足，则点 的坐标为_________.
[解析] 设，则， ,
，
因为在线段上，且满足 ，所以
即解得
所以点 的坐标为 .
（2）已知空间向量，， .
①若，求 ；
解：，，，，
即 ，且 ， ，解得， .
②若与相互垂直，求 .
解：，，与 互相垂直，
，解得 .
［素养小结］
判断空间向量是否平行（共线）或垂直，可以利用平行（共线）或垂直的充要
条件；已知两个向量平行（共线）或垂直求参数值，可以利用平行（共线）或
垂直的充要条件列方程（组）求解.
1.空间向量的坐标运算
（1）空间向量的坐标:一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点
坐标减去起点坐标.注意:向量的坐标与点的坐标表示方法不同,如向量
,点 .
（2）类比平面向量的坐标运算学习空间向量的坐标运算:空间向量的加法、减
法、数乘和数量积运算公式与平面向量的类似,学习中可以类比推广.推广时注意
向量坐标表示的元素个数不同,向量在平面上用二元有序实数对表示,如
,而在空间中,向量用三元有序实数组表示,如 .
2.空间向量数量积及其性质的坐标表示
两个空间向量平行、垂直与两个平面向量平行、垂直的表达式实质上是一致的.
例1 已知点,,为线段上一点且,则点 的坐标为 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设,为线段上一点且, ,
即,
点C的坐标为 .故选C.
例2 已知,,若,则实数 的值为( )
D
A. B. C. D.2
[解析] 由题意知,,
因为 ,所以,
解得 .
例3 [2024·衡水中学高二期中] 已知空间三点， ，
，设， .
（1）若，，求 ；
解：因为，且 ,
所以设 ，
得 ，
解得，则或 .
（2）若与互相垂直，求 .
解：因为， ，
所以 ，
.
又因为 ，
所以 ，
即 ，
解得或 .3.2　空间向量运算的坐标表示及应用
第1课时　空间向量运算的坐标表示及平行(共线)和垂直的条件
1.A　[解析] 依题意,点M(1,-2,3)关于x轴的对称点M1(1,2,-3),关于z轴的对称点M2(-1,2,3),所以=(-2,0,6).故选A.
2.C　[解析] ∵p在{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),∴p=4a+2b+3c,设p在{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,则解得∴p在{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3),故选C.
3.D　[解析] 因为a=(3,-2,1),b=,且a∥b,所以==,解得m=-.故选D.
4.A　[解析] 由题意可得a-b=(3,x-2,0),因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=-3+2(x-2)=0,解得x=.故选A.
5.B　[解析] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(a,0,0),B(a,a,0),C1(0,a,a),则=(-a,a,a),=(-a,0,a),所以·=a2+0+a2=2a2.故选B.
6.B　[解析] 向量a,b,c共面,则存在m,n∈R使c=ma+nb,
∴解得
故选B.
7.AD　[解析] 对于A,由|a|==2,解得m=±,故A正确;对于B,因为a⊥b,所以a·b=-2-m+1+2m=0,解得m=1,故B错误;对于C,假设存在实数λ,使得a=λb,则(1,-1,m)=(-2λ,(m-1)λ,2λ),即方程组无解,假设不成立,故C错误;对于D,由a·b=-2-m+1+2m=-1,解得m=0,所以a=(1,-1,0),b=(-2,-1,2),则a+b=(-1,-2,2),故D正确.故选AD.
8.BC　[解析] 由题意知O(0,0,0),O'(0,0,2),C(0,3,0),B'(1,3,2),E.对于A,因为O(0,0,0),C(0,3,0),所以=(0,3,0),故A不正确;对于B,因为C(0,3,0),B'(1,3,2),所以=(1,0,2),故B正确;对于C,因为B'(1,3,2),E,所以=,故C正确;对于D,因为C(0,3,0),E,所以=,故D不正确.故选BC.
9.(2,4,1)　[解析] 由题设,=(3,3,6),==(1,1,2),令P(x,y,z),则=(x-1,y-3,z+1),∴解得∴P(2,4,1).
10.-　[解析] 由a=(1,-2,-n),b=,c=共面,可设a=xb+yc,即(1,-2,-n)=+=,可得解得
11.14　[解析] 质点在力F作用下的位移为=(2,3,),则力F所做的功为F·=2×2+2×3+2×=14.
12.　[解析] 设Q(x,y,z),由点Q在直线OP上,可得存在实数λ使得=λ,即(x,y,z)=λ(1,1,2),可得Q(λ,λ,2λ),所以=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),则·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=2(3λ2-8λ+5),根据二次函数的性质,可得当λ=时,·取得最小值-,此时Q.
13.解:根据题意可得D(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),A1(2,0,2),因为E,F分别为棱BB1,DC的中点,所以E(2,2,1),F(0,1,0),所以=(0,1,0)-(2,2,1)=(-2,-1,-1),=(0,1,0)-(2,2,2)=(-2,-1,-2),=(2,2,1)-(2,0,2)=(0,2,-1).
14.解:∵a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),∴a-3b=(1,5,-1)-3(-2,3,5)=(1,5,-1)-(-6,9,15)=(7,-4,-16),λa+b=λ(1,5,-1)+(-2,3,5)=(λ,5λ,-λ)+(-2,3,5)=(λ-2,5λ+3,-λ+5).
(1)∵(λa+b)∥(a-3b),∴==,解得λ=-.
(2)∵(a-3b)⊥(λa+b),∴(7,-4,-16)·(λ-2,5λ+3,-λ+5)=0,即7(λ-2)-4(5λ+3)-16(-λ+5)=0,解得λ=.
15.C　[解析] 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设棱DA,DC,DD1的长度分别为a,b,c,则A(a,0,0),B(a,b,0),C(0,b,0),D(0,0,0),B1(a,b,c),C1(0,b,c),D1(0,0,c),∴=(-a,0,c),=(-a,0,-c),=(-a,-b,c),=(-a,b,0),=(0,b,0),=(-a,0,0).·=a2-
c2,当a≠c时,·≠0;·=a2-b2,当a≠b时,·≠0;·=0;·=a2≠0.故选C.
16.　[解析] 依题意得=(-2,3,0),=(0,-3,6),=(x-2,y,2),因为点M在平面ABC内,所以可设=λ+μ,则(x-2,y,2)=λ(-2,3,0)+μ(0,-3,6)=(-2λ,3λ-3μ,6μ),可得则3x+2y=4,则+=(3x+2y)=≥=,当且仅当x=y时取等号.3.2　空间向量运算的坐标表示及应用
第1课时　空间向量运算的坐标表示及平行(共线)和垂直的条件
【学习目标】
　　1.掌握空间向量的线性运算及数量积的坐标表示.
　　2.会判断两个向量的共线或垂直,并能运用这些知识解决一些相关问题.
◆ 知识点一　空间向量的坐标
1.在空间直角坐标系O-xyz中,分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i,j,k},这组基叫作　　　　　　.且对于任意一个向量p,都存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得　　　　　　.
2.把三元有序实数组(x,y,z)叫作向量p在标准正交基{i,j,k}下的坐标,记作　　　　　　.
3.一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标,即:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=　　　　　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)(x,y,z)既可以表示向量,也可以表示点.(　 )
(2)已知 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量分别为i,j,k,若a=i+2j+3k,则向量a的坐标为(1,2,3). (　 )
(3)若A(0,1,2),B(1,0,1),则向量的坐标为(-1,1,1). (　 )
◆ 知识点二　空间向量运算的坐标表示
若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则
加法 a+b=　　　　　　　
减法 a-b=　　　　　　　
数乘 λa=　　　　　　　　,λ∈R
数量积 a·b=　　　　　　　　
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知向量a=(1,-1,-2),b=(-4,2,0),则a+b=(3,-1,2). (　 )
(2)已知向量a=(3,5,1),b=(2,2,3),c=(4,-1,-3),则向量2a-3b+4c的坐标为(16,0,19). (　 )
◆ 知识点三　空间向量平行(共线)和垂直的条件
若b≠0,a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则
共线 a∥b 　　　　 　　　　　　　(λ∈R)
垂直 a⊥b 　　　　 　　　　　　　　
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在空间直角坐标系中,向量的坐标与终点B的坐标相同. (　 )
(2)设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)且b≠0,若a∥b,则==. (　 )
(3)若四边形ABCD是平行四边形,则与的坐标相同. (　 )
◆ 探究点一　空间向量的坐标
例1 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点.建立如图所示的空间直角坐标系,求:
(1)点B,C1,B1,M,N的坐标;
(2)向量,,的坐标.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 (1)在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且=2a,则点B的坐标为 (　 )
A.(-7,10,24) B.(7,-10,-24)
C.(-6,8,24) D.(-5,6,24)
(2)如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为(4,3,1),则的坐标是　　　　.
[素养小结]
用坐标表示空间向量的步骤:
◆ 探究点二　空间向量的坐标运算
例2 设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算2a+3b,3a-2b,a·b.
变式 (1)已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点,且=3,则点C的坐标为 (　 )
A. B.
C. D.
(2)已知向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c共面,则实数λ=　　　　.
(3)已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·(2b)=-2,则实数x=　　　　.
[素养小结]
利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则;进行向量坐标运算时,可以先代入坐标再运算,也可先进行向量式的化简再代入坐标运算.
◆ 探究点三　空间向量平行(共线)和垂直的
条件
例3 已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),若a⊥b,则x=　　　　;若a∥b,则x=　　　　.
变式 (1)[2024·浙江宁波高二期中] 点A(1,2,1),B(3,3,2),C(1,4,3),若D在线段AB上,且满足CD⊥AB,则点D的坐标为　　　　.
(2)已知空间向量a=(1,0,1),b=(2,-1,0),c=(λ+4,-λ,λ).
①若(a+b)∥c,求λ;
②若ka+b与2a-b相互垂直,求k.
[素养小结]
判断空间向量是否平行(共线)或垂直,可以利用平行(共线)或垂直的充要条件;已知两个向量平行(共线)或垂直求参数值,可以利用平行(共线)或垂直的充要条件列方程(组)求解.

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