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第2课时　用向量方法研究立体几何中的垂直关系
【课前预习】
知识点一
u1⊥u2　u1·u2=0　u1∥n1　u1=λn1　n1⊥n2
n1·n2=0
诊断分析 (1)√　(2)√　(3)√　(4)√
知识点二
一条斜线在这个平面内的投影　这条斜线　一条斜线　这条斜线在这个平面内的投影
诊断分析 (1)√　(2)√
【课中探究】
例1　(1)A　(2)C　[解析] (1)由a=λb(λ≠0),知a∥b.由b·c=0,知b⊥c,则b⊥c,所以a⊥c.故选A.
(2)由题意知n1≠λn2(λ∈R),且n1·n2=-6-3-20=-29≠0,所以α,β相交但不垂直,故选C.
变式　(1)C　(2)(-2,4,1)或(2,-4,-1)　[解析] (1)以A为原点,分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M,O,N,则·=·=0,∴ON与AM垂直,易得ON与AM异面,故ON与AM异面垂直.
(2)根据题意可得,=(-1,-1,2),=(1,0,2).设n=(x,y,z),∵n与平面ABC垂直,∴
可得又∵|n|==,
∴=,解得y=4或y=-4.当y=4时,x=-2,z=1;当y=-4时,x=2,z=-1.∴n的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1).
例2　证明:连接OP,OQ,以O为坐标原点,以OA,OC所在直线分别为x轴、z轴,以过点O且与平面AOC垂直的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则A(1,0,0),C(0,0,1),B.∵P为AC的中点,∴P,∴=,=(1,0,0),=.由已知可得==,∴=+=,∴=-=.∵·=0,∴⊥,即PQ⊥OA.
变式　证明:方法一:如图,以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,).∵D为BC的中点,∴D(1,1,0),∴=(1,1,0),=(0,0,),=(-2,2,0),∴·=1×(-2)+1×2+0×0=0,·=0×(-2)+0×2+×0=0,∴⊥,⊥,∴BC⊥AD,BC⊥AA1.
又AA1∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD.
∵BC 平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
方法二:同方法一建系后,C1(0,1,),可得=(0,0,),=(1,1,0),=(-2,2,0),=(0,-1,).设平面A1AD的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面BCC1B1的法向量为n2=(x2,y2,z2).由得
取y1=-1,则x1=1,z1=0,∴n1=(1,-1,0).由得取y2=1,则x2=1,z2=,∴n2=.∵n1·n2=1-1+0=0,∴n1⊥n2,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
拓展　解:如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),E,B1(1,1,1),D1(0,0,1),则=(0,-1,-1),=.
(1)假设存在点P(1,1,z1)满足题意,于是=(1,1,z1-1),所以所以即矛盾.故在B1B上不存在点P,使D1P⊥平面B1AE.
(2)假设在平面AA1B1B内存在点N,使D1N⊥平面B1AE.设N(1,y,z2),则因为=(1,y,z2-1),所以解得故在平面AA1B1B内存在点N,使D1N⊥平面B1AE.
例3　(1)D　(2)A　[解析] (1)对于A,当直线l与平面α相交时,不满足l⊥l',故A错误;对于B,当直线l与平面α相交时,不满足l与l'在平面α内的投影垂直,故B错误;对于C,当向量a和平面α不平行时,不满足a⊥l,故C错误;对于D,由三垂线定理的逆定理得D正确.故选D.
(2)方法一:以D为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),C(0,2,0),O(1,1,0),M(0,0,1),N(0,1,2),则=(-2,2,0),=(-1,-1,1),=(0,1,1),所以·=2-2+0=0,·=0-1+1=0,所以OM⊥AC,OM⊥MN.故选A.
方法二:连接OD,因为OM在底面ABCD内的投影是OD,AC⊥OD,所以由三垂线定理得AC⊥OM.过点O作OO'⊥CD于O',连接MO',NO'.设正方体的棱长为2,则MN=MO'=,NO'=2,所以MN2+O'M2=O'N2,所以MN⊥MO',由三垂线定理得MN⊥MO.故选A.
变式　证明:方法一:以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,2),B(0,1,0),C1(0,0,2),M,可得=(-1,1,-2),=,∵·=0,
∴A1B⊥C1M.
方法二:由题意可知BB1⊥平面A1B1C1,故A1B在平面A1B1C1内的投影为A1B1.在△A1B1C1中,∵C1A1=C1B1,M是A1B1的中点,∴C1M⊥A1B1,∴由三垂线定理可得A1B⊥C1M.第2课时　用向量方法研究立体几何中的垂直关系
一、选择题
1.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线OA上有一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C.(-2,2,0) D.(2,-2,0)
2.u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1)分别为平面α,β的法向量,若α⊥β,则y+z的值是 (　 )
A.-3 B.6
C.-6 D.-12
3.若直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),平面α的一个法向量为u=(-2,2,-4),则 (　 )
A.l∥α B.l⊥α
C.l α D.l与α斜交
4.已知向量a,b是平面α内的两个不相等的非零向量,非零向量c是直线l的一个方向向量,则“c·a=0且c·b=0”是“l⊥α”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则 (　 )
A.EF至多与A1D,AC之一垂直
B.EF与A1D,AC都垂直
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
6.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为 (　 )
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.不确定
7.(多选题)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的是 (　 )
A.两条不重合直线l1,l2的一个方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1),则l1∥l2
B.直线l的一个方向向量是a=(1,-1,2),平面α的一个法向量是u=(6,4,-1),则l⊥α
C.两个不同的平面α,β的一个法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则α⊥β
D.直线l的一个方向向量是a=(0,3,0),平面α的一个法向量是u=(0,-5,0),则l∥α
8.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则 (　 )
A.BD1⊥A1D
B.A1G⊥EF
C.A1D⊥平面AEF
D.A1G∥平面AEF
二、填空题
9.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,-3,0)在平面α内,若点B(m,0,2-m)在平面α内,则m=　　　　.
10.已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为　　　　.
11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是棱BB1上的动点,要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为　　　　.
12.若正三棱锥P-ABC的侧面互相垂直,则三棱锥的高与底面边长之比为　　　　.
三、解答题
13.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.证明:当AB=BC时,EF⊥AC.
14.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4, E,F分别是棱AB,BC的中点, EF∩BD=G.求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1.
15.如图,在正四面体ABCD中,E,F是棱AC的三等分点,P是棱AB的中点,G是直线BD上的动点,则 (　 )
A.存在点G,使PG⊥EF成立
B.存在点G,使FG⊥EP成立
C.不存在点G,使平面EFG⊥平面ACD成立
D.不存在点G,使平面EFG⊥平面ABD成立
第15题图
16.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=a,若PA⊥平面ABCD,在BC边上取点E,使PE⊥DE,则满足条件的点E有两个时,a的取值范围是　　　　.
第16题图(共38张PPT)
§4 向量在立体几何中的应用
4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系
第2课时 用向量方法研究立体几何中的垂直关系
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直的判定定理.
知识点一 用空间向量描述空间线面的垂直关系
设不重合的两条直线,的方向向量分别为,,不重合的两个平面 , 的法
向量分别为, ,则
垂直关系 对应线面 图形 满足条件
线线垂直 _____________________________________________________
垂直关系 对应线面 图形 满足条件
线面垂直 _____________________________________________________
面面垂直 _______________________________________________
续表
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若两条直线的方向向量垂直,则这两条直线垂直.( )
√
（2）直线的方向向量与平面的法向量的方向相同时,直线与平面垂直.( )
√
（3）两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.( )
√
（4）若直线,的方向向量分别为,,则 .( )
√
知识点二 三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的____________________________垂
直，则它也和__________垂直.
三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的__________垂直，则
它也和____________________________垂直.
一条斜线在这个平面内的投影
这条斜线
一条斜线
这条斜线在这个平面内的投影
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）三垂线定理及其逆定理说明的是平面内的一条直线、平面的一条斜线和该
斜线在平面内的投影三者之间的关系.( )
√
（2）三垂线定理及其逆定理可以直接由线线垂直得到线线垂直.( )
√
探究点一 空间向量与垂直关系
例1（1） 已知非零向量，，分别为直线，， 的方向向量，且
，，则与 的位置关系一定是( )
A
A.垂直 B.平行 C.相交 D.异面
[解析] 由，知.由，知，则，所以 .故选A.
（2）若平面 , 的法向量分别为, ,则( )
C
A. B.
C. , 相交但不垂直 D.以上均不正确
[解析] 由题意知,且,
所以 , 相交但不垂直，故选C.
变式（1） 如图所示，在正方体中， 是
底面正方形的中心，是的中点，是 的中
点，则直线， 的位置关系是( )
C
A.平行 B.相交 C.异面垂直 D.异面不垂直
[解析] 以A为原点，分别以，，的方向为，， 轴的正方向建立空
间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，， ，，
则，
与垂直，易得 与异面，故与 异面垂直.
（2）在中，,,.若向量与平面 垂
直，且，则 的坐标为_____________________.
或
[解析] 根据题意可得，,.设，
与平面垂直， 可得
又 ，，
解得或.
当时，, ；
当时，,
的坐标为或 .
［素养小结］
在探究空间的垂直关系时,通常的做法是看到直线找直线的方向向量,看到平面找
平面的法向量,然后通过已知条件得到直线的方向向量与直线的方向向量、直线
的方向向量与平面的法向量、平面的法向量与平面的法向量之间的关系,从而确
定线线、线面、面面之间的位置关系.
探究点二 利用空间向量证明垂直关系
例2 如图，在四面体中，，， ，且
，设为的中点，在棱上且 ，求证：
.
证明：连接，，以为坐标原点，以， 所在直
线分别为轴、轴，以过点且与平面垂直的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ，，.
为的中点， ，
，， .
由已知可得 ，,
，
.， ，即 .
变式 某三棱锥被平行于底面 的平面所截得的几何体如图所示,截面为
,已知 , 平面, ,
, 为的中点.求证:平面 平面 .
证明:方法一:如图,以为坐标原点,,,的方向分别为轴、轴、 轴的正
方向,建立空间直角坐标系,则,,,
为 的中点,,,, ,
,
,,,
, .
又, 平面 .
平面, 平面 平面 .
方法二:同方法一建系后, ，
可得,, ,
.
设平面 的法向量为,
平面 的法向量为.
由得 取,则,, .
由得取,则 ,,,1,.
,, 平面 平面 .
［素养小结］
空间垂直关系的解题策略
几何法 向量法
线线 垂直 证明两直线的方向向量互相垂直
线面 垂直 （1）证明直线的方向向量分别与平面
内两条相交直线的方向向量垂直;
（2）证明直线的方向向量与平面的法
向量是平行向量
几何法 向量法
面面 垂直 证明两个平面的法向量互相垂直
续表
拓展 如图，在棱长为1的正方体中，点为 的中点.
解：如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、 轴
建立空间直角坐标系，
则，，， ，
则， .
（1）在上是否存在一点，使 平面
解： 假设存在点满足题意，于是 ，
所以所以即矛盾.
故在上不存在点 ，使 平面 .
（2）在平面内是否存在一点，使 平面
解： 假设在平面内存在点，使 平面.
设 ，则
因为，所以 解得
故在平面内存在点，使 平面 .
探究点三 三垂线定理及其逆定理的应用
例3（1） 下列说法中正确的是( )
D
A.若直线与平面 外的一条直线在平面 内的投影垂直，则
B.若直线与平面 外的一条直线垂直，则与在平面 内的投影垂直
C.若向量和直线在平面 内的投影垂直，则
D.若非零向量和平面 平行，且和直线垂直，直线不与平面 垂直，则 垂
直于在平面 内的投影
[解析] 对于A，当直线与平面 相交时，不满足 ，故A错误；
对于B，当直线与平面 相交时，不满足与在平面 内的投影垂直，故B错误；
对于C，当向量和平面 不平行时，不满足 ，故C错误；
对于D，由三垂线定理的逆定理得D正确.
故选D.
（2）在正方体中，是底面 的中
心，,分别是棱,的中点，则直线 ( )
A
A.与, 都垂直
B.垂直于，但不垂直于
C.垂直于，但不垂直于
D.与, 都不垂直
[解析] 方法一：以D为坐标原点，以,,的方向分别为,, 轴的正方向
建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则， ，，
，，则， ，
，所以，
，所以， .故选A.
方法二：连接，因为在底面内的投影是， ,
所以由三垂线定理得.过点作于,连接， .
设正方体的棱长为2，则，，所以，
所以 ,由三垂线定理得 .故选A.
变式 如图，在直三棱柱中，， ，
，是的中点.求证： .
证明：方法一：以为原点，，， 所在直线分
别为轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，,, ，
可得，,,，
， .
方法二：由题意可知 平面，
故 在平面内的投影为.
是的中点，，
由三垂线定理可得 .
［素养小结］
三垂线定理及其逆定理在求解判断和证明线线垂直问题时，有明显的优势，它
使得线线垂直可以直接推出线线垂直，而不用再去证明线面垂直.在具体应用时
一定要抓住三垂线定理及其逆定理成立的条件.
1.空间垂直关系的向量表示
（1）线线垂直
设直线的方向向量为,直线的方向向量为 ,则
.
（2）线面垂直
设直线的方向向量为,平面 的法向量为 ,则
且,, .
（3）面面垂直
若平面 的法向量为,平面 的法向量为 ,则
.
2.三垂线定理及其逆定理学生很容易搞混，在运用过程中要注意区分.三垂线定
理及其逆定理都是直接由线线垂直得到线线垂直，绕过了线面垂直的中间过程，
故在使用中可以简化步骤.
例1 设,分别是平面 , 的法向量.若 ,则 等
于( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] ,, .
例2 [2024·广东潮州高二期末]已知， ，若
，，且 平面，则 等于( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 因为，所以，即 ，
所以.
因为 平面，所以，且 ，
即，且 ，
解得，，于是 .故选D.
例3 如图，在三棱锥中，，是的中点， 平面
，垂足落在线段上，已知,,, .
（1）求证： ；
证明：以为原点，过点且平行于的直线为轴， 所
在直线为轴，所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
则,,, ，
故， ，
，
，即 .
（2）若点是线段上一点，且，试证明平面 平面 .
解： 平面， 平面， ,
,，，为上一点，且 ，
由（1）可知 ，
，， .
设平面的法向量为 ，
则即
令，则 .
设平面的法向量为，则即
令，则 .
由 ，
得， 平面 平面 .第2课时　用向量方法研究立体几何中的垂直关系
1.B　[解析] 设=λ,则=λ(-1,1,0)=(-λ,λ,0),连接OB,则=-=(-λ,λ-1,-1),因为BH⊥OA,所以·=λ+λ-1=0,所以λ=,则=,可得点H的坐标为.故选B.
2.B　[解析] ∵u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1)分别为平面α,β的法向量,α⊥β,∴u·v=-6+y+z=0,∴y+z=6.故选B.
3.B　[解析] ∵直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),平面α的一个法向量为u=(-2,2,-4),∴u=-2a,∴l⊥α.故选B.
4.B　[解析] 当a,b不共线时,由c·a=0且c·b=0,可推出l⊥α;当a,b为共线向量时,由c·a=0且c·b=0,不能够推出l⊥α.所以“c·a=0且c·b=0”不是“l⊥α”的充分条件.若l⊥α,则一定能够推出c·a=0且c·b=0.所以“c·a=0且c·b=0”是“l⊥α”的必要不充分条件.故选B.
5.B　[解析] 分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为3,则A(3,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0),A1(3,0,3),E(1,0,1),F(2,1,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),∴=(-3,0,-3),=(-3,3,0),=(1,1,-1),=(-3,-3,3),∴·=0,·=0,∥,∴⊥,⊥,∴A1D⊥EF,AC⊥EF,EF∥BD1.故选B.
6.B　[解析] 由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA,如图所示,以D为原点,建立空间直角坐标系,设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0),故=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0),故·=0,·=0,即⊥,⊥,因为DQ∩DC=D,故PQ⊥平面DCQ,因为PQ 平面PQC,故平面PQC⊥平面DCQ.故选B.
7.AC　[解析] 对于A,两条不重合直线l1,l2的一个方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1),则b=-a,所以l1∥l2,选项A正确;对于B,直线l的一个方向向量是a=(1,-1,2),平面α的一个法向量是u=(6,4,-1),则a·u=1×6-1×4+2×(-1)=0,所以l∥α或l α,选项B错误;对于C,两个不同的平面α,β的一个法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则u·v=2×(-3)+2×4-1×2=0,所以α⊥β,选项C正确;对于D,直线l的一个方向向量是a=(0,3,0),平面α的一个法向量是u=(0,-5,0),则u=-a,所以l⊥α,选项D错误.故选AC.
8.AD　[解析] 以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(1,2,0),F(0,2,1),G(2,2,1),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2).对于选项A,=(-2,-2,2),=(-2,0,-2),∴·=4-4=0,∴BD1⊥A1D,故选项A正确;对于选项B,=(0,2,-1),=(-1,0,1),∴·=-1,∴A1G与EF不垂直,故选项B错误;对于选项C,设平面AEF的法向量为m=(x,y,z),=(-1,2,0),=(-1,0,1),由取x=2,可得y=1,z=2,则m=(2,1,2),∵=(-2,0,-2)与m不平行,∴A1D与平面AEF不垂直,故选项C错误;对于选项D,∵=(0,2,-1),∴m·=2-2=0,∴m⊥,∵A1G 平面AEF,∴A1G∥平面AEF,故选项D正确.故选AD.
9.-2　[解析] ∵平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,-3,0)在平面α内,点B(m,0,2-m)在平面α内,∴=(m+1,3,2-m),且·n=0,∴-2(m+1)-6+2-m=0,∴m=-2.
10.(-1,0,2)　[解析] 由题意得=(-x,1,-z),=(-1,-1,-1),=(2,0,1),由⊥,得·=x-1+z=0,由⊥,得·=-2x-z=0,解得故点P的坐标为(-1,0,2).
11.　[解析] 以C1为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.由题意得B1(0,1,0),D,C1(0,0,0),A(1,0,2),设F(0,1,t),0≤t≤2,则=,=(-1,1,-2),=(0,1,t).∵AB1⊥平面C1DF,∴
即解得t=,∴线段B1F的长为.
12. 　[解析] 设三棱锥的高为h,底面边长为1,底面三角形的中心为O,建立如图所示的空间直角坐标系,则点P(0,0,h),A,B,C,则=,=,=,设平面PAB的一个法向量为m=(x,y,z),则即
令x=,得y=3,z=,则m=.同理可得平面PAC的一个法向量为.则3-9+=0,解得h=.故三棱锥的高与底面边长之比为.
13.证明:设AA1=a,AB=BC=b,以C1为原点,以C1D1,C1B1,C1C所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(b,b,a),C(0,0,a),E,F,则=(-b,-b,0),=.
∵·=b2-b2+0=0,
∴⊥,∴AC⊥EF.
14.证明:以D为原点, 以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),B1(2,2,4),E(2,,0),F(,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),
因此=(0,-,-4),=(-,,0).
设平面B1EF的法向量为n=(x,y,z),则
解得令y=1,得n=.连接AC,因为BB1⊥平面ABCD,所以BB1⊥AC,又因为BD⊥AC且BD∩BB1=B,所以AC⊥平面BDD1B1,所以平面BDD1B1的一个法向量为=(-2,2,0).而n·=1×(-2)+1×2+×0=0,即n⊥,所以平面B1EF⊥平面BDD1B1.
15.B　[解析] 将正四面体补充成正方体,并建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为2,则A(0,2,2),B(2,0,2),C(2,2,0),P(1,1,2),E,F.设G(a,0,a),则=(a-1,-1,a-2),=,假设⊥,则×(a-1)+0+×(a-2)=0,此方程无解,所以不存在点G,使PG⊥EF成立,A错误.=,=,假设⊥,则×+2+×=0,解得a=-,即在直线BD上存在点G,使FG⊥EP成立,B正确.设平面EFG的法向量为m=(x,y,z),则即令x=1,则m=(1,a-1,1).同理可得平面ACD的一个法向量为n=(1,-1,1),假设平面EFG⊥平面ACD,则m·n=1-(a-1)+1=0,解得a=3,所以存在点G,使平面EFG⊥平面ACD成立,C错误.同理可得D错误.故选B.
16.a>6　[解析] 以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设PA=b,BE=m,则P(0,0,b),D(0,a,0),E(3,m,0),可得=(3,m,-b),=(3,m-a,0).∵PE⊥DE,∴·=0,∴9+m(m-a)=0,即m2-am+9=0.由题意可知方程有两个不同的根,∴Δ>0,即a2-4×9>0,∴a>6.第2课时　用向量方法研究立体几何中的垂直关系
【学习目标】
　　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
　　2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直的判定定理.
◆ 知识点一　用空间向量描述空间线面的垂直
关系
设不重合的两条直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,不重合的两个平面α,β的法向量分别为n1,n2,则
垂直关系 对应线面 图形 满足条件
线线 垂直 l1与l2 l1⊥l2 　　　 　　　　
线面 垂直 l1与α l1⊥α 　　　 λ∈R,　　　　
面面 垂直 α与β α⊥β 　　　 　　　　
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两条直线的方向向量垂直,则这两条直线垂直. (　 )
(2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同时,直线与平面垂直. (　 )
(3)两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直. (　 )
(4)若直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则l1⊥l2. (　 )
◆ 知识点二　三垂线定理及其逆定理
三垂线定理:若平面内的一条直线与平面的　　　　　　　　　　　　　　　　垂直,则它也和　　　　　　垂直.
三垂线定理的逆定理:若平面内的一条直线和这个平面的　　　　　　垂直,则它也和　　　　　　　　　　　　　　垂直.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三垂线定理及其逆定理说明的是平面内的一条直线、平面的一条斜线和该斜线在平面内的投影三者之间的关系. (　 )
(2)三垂线定理及其逆定理可以直接由线线垂直得到线线垂直. (　 )
◆ 探究点一　空间向量与垂直关系
例1 (1)已知非零向量a,b,c分别为直线a,b,c的方向向量,且a=λb(λ≠0),b·c=0,则a与c的位置关系一定是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.垂直 B.平行
C.相交 D.异面
(2)若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则 (　 )
A.α∥β
B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直
D.以上均不正确
变式 (1)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是 (　 )
A.平行 B.相交 C.异面垂直 D.异面不垂直
(2)在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n与平面ABC垂直,且 |n|=,则n的坐标为　　　　　　　.
[素养小结]
在探究空间的垂直关系时,通常的做法是看到直线找直线的方向向量,看到平面找平面的法向量,然后通过已知条件得到直线的方向向量与直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、平面的法向量与平面的法向量之间的关系,从而确定线线、线面、面面之间的位置关系.
◆ 探究点二　利用空间向量证明垂直关系
例2 如图,在四面体ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1,设P为AC的中点,Q在棱AB上且AB=3AQ,求证:PQ⊥OA.
变式 某三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为△A1B1C1,已知∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D为BC的中点.求证:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
[素养小结]
空间垂直关系的解题策略
几何法 向量法
线线 垂直 (1)证明两直线所成的角为90°; (2)若直线与平面垂直,则此直线与平面内所有直线垂直 证明两直线的方向向量互相垂直
线面 垂直 对于直线l,m,n和平面α, (1)若l⊥m,l⊥n,m α,n α,m与n相交,则l⊥α; (2)若l∥m,m⊥α,则l⊥α (1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直; (2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量
面面 垂直 对于直线l,m和平面α,β, (1)若l⊥α,l β,则α⊥β; (2)若l⊥α,m⊥β,l⊥m,则α⊥β 证明两个平面的法向量互相垂直
拓展 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BC的中点.
(1)在B1B上是否存在一点P,使D1P⊥平面B1AE
(2)在平面AA1B1B内是否存在一点N,使D1N⊥平面B1AE
◆ 探究点三　三垂线定理及其逆定理的应用
例3 (1)下列说法中正确的是 (　 )
A.若直线l与平面α外的一条直线l'在平面α内的投影垂直,则l⊥l'
B.若直线l与平面α外的一条直线l'垂直,则l与l'在平面α内的投影垂直
C.若向量a和直线l在平面α内的投影垂直,则a⊥l
D.若非零向量a和平面α平行,且和直线l垂直,直线l不与平面α垂直,则a垂直于l在平面α内的投影
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM (　 )
A.与AC,MN都垂直
B.垂直于AC,但不垂直于MN
C.垂直于MN,但不垂直于AC
D.与AC,MN都不垂直
变式 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2, M是A1B1的中点.求证:A1B⊥C1M.
[素养小结]
三垂线定理及其逆定理在求解判断和证明线线垂直问题时,有明显的优势,它使得线线垂直可以直接推出线线垂直,而不用再去证明线面垂直.在具体应用时一定要抓住三垂线定理及其逆定理成立的条件.

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