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2026届高三微专题10.9 圆锥曲线的综合应用二
1.圆锥曲线中的最值、范围问题总体上主要有两种解题方法：
⑴是利用几何法：即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
⑵是利用代数法：即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、均值不等式方法等进行求解，而解答题部分主要使用代数法.
2.圆锥曲线中的证明、探究问题的主要思路：
(1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如：证明直线经过某个点、条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
⑵解决圆锥曲线中的探究性问题，主要思路：①假设相应的条件成立,进行必要的推理与论证后加以判断；②探究题设结论问题时,可借助结论的情形进行必要的讨论.
1.【人教A版选择性必修一 习题3.1 第14题 P116】已知椭圆：，若一组斜率为的平行直线被椭圆所截线段的中点均在直线上，则的斜率为( )
A. B. C. D.
2.【人教A版选择性必修一 习题3.3 第13题 P139】人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，探照灯、手电筒就是利用这个原理设计的已知抛物线的焦点为，从点出发的光线经抛物线上第一象限内的一点反射后的光线所在直线方程为，若入射光线的斜率为，则抛物线方程为 ．
(
考点
一
圆锥曲线中的最值、范围问题
)【方法储备】
1.几何法：题目中的条件带有明显的几何特征,数形结合，从“形”的视角来确定相应的取值范围问题；
2.代数法：题目中给出的条件和结论的几何特征不明显,则考虑先建立目标函数,再求这个函数的最值,求函数最值常见的方法有配方法、基本不等式法、三角换元法、导数法.
【典例精讲】
例1.(2025·陕西省西安市·模拟题)过抛物线上的一点作切线，设与轴相交于点，为的焦点，直线交于另一点，则面积的最小值为( )
A. B. C. D.
例2.(2024·辽宁省沈阳市月考)（多选） 已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆的上顶点和右顶点分别为，，若为椭圆上任意一点，且，关于坐标原点对称，则( )
A.
B. 面积的最大值为
C. 四边形四边的平方和的最小值为
D. 椭圆上存在无数个点，使得
例3. (2025·云南省昆明市·联考题)已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点．
证明：直线过定点
设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
【拓展提升】
练1-1.(2025·广东省·月考试卷)已知曲线是平面内到定点与到定直线的距离之和等于的点的轨迹，若点在上，对给定的点，用表示的最小值，则的最小值为 ．
练1-2.(2024·福建省龙岩市模拟题)（多选）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，则下列结论中正确的是( )
A. 若，则的最小值为
B. 当时，
C. 若，则的取值范围为
D. 在直线上存在点，使得
练1-3.(2025·湖北省武汉市·模拟题)设抛物线，直线交于，两点过原点作的垂线，交直线于点对任意，直线，，的斜率成等差数列．
求的方程
若直线，且与相切于点，证明：的面积不小于．
(
考点二 圆锥曲线中的证明、探究问题
)【方法储备】
1.圆锥曲线中的证明问题：
①证明位置关系：证明相切、垂直、过定点等；②证明数量关系：如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等.根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
2.圆锥曲线中的探究问题
往往可以先假设所求的元素存在,然后推理论证,检验说明假设是否正确.这类题型存在两类问题：一是判断位置关系,二是依据位置关系确定参数的范围.这两类问题在解题方法上是一致的,都要将直线方程与圆锥曲线方程联立,利用判别式及根与系数的关系进行求解.
【典例精讲】
例4.(2025·山东省临沂市·模拟题)已知抛物线的准线与椭圆相交所得线段长为．
求抛物线的方程；
设圆过，且圆心在抛物线上，是圆在轴上截得的弦当在抛物线上运动时，弦的长是否有定值？说明理由；
过作互相垂直的两条直线交抛物线于、、、，求四边形的面积最小值．
例5. (2024·重庆市市辖区月考试卷) 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为为坐标原点，线段的中点为，且．
求的方程；
已知点均在直线上，以为直径的圆经过点，圆心为点，直线分别交椭圆于另一点，证明直线与直线垂直．
例6. (2025·浙江省·模拟题)已知是椭圆的右焦点，椭圆离心率，且椭圆上任意一点与点距离的最大值为．
求椭圆的方程
点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点．
求的最小值
设，分别为椭圆的左、右顶点，不垂直轴的直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点，问直线与直线的交点是否在一条定直线上若是，求出该直线方程若不是，请说明理由．
【拓展提升】
练2-1.(2024·江苏省盐城市模拟题) 已知，为椭圆左右两个顶点，动点是椭圆上异于，的一点，点是右焦点．当点的坐标为时，．
求椭圆的方程．
已知点的坐标为，直线与椭圆交于另一点，判断直线与直线的交点是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．
练2-2.(2025·河南省·模拟题)已知等轴双曲线，的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为设，两点分别在，上，满足直线，的斜率之积为，点为上异于的另一点，过分别作平行于，的直线，交，于，两点．
求双曲线，的方程；
证明：；
设，，证明：为定值．

练2-3.(2025·广东省汕头市·联考)在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，直线与相切，与圆相交于，两点当垂直于轴时，．
求的方程
对于给定的点集，，若中的每个点在中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为．
(ⅰ)若，分别为线段与圆上任意一点，为圆上一点，当的面积最大时，求
(ⅱ)若，均存在，记两者中的较大者为已知，，均存在，证明：．

1.(2025·江苏省镇江市·模拟题)若直线与圆相切于点，且交椭圆于，两点，为坐标原点，射线与椭圆交于点，设的面积与的面积分别为，，的最大值为 ；当取得最大值时，的值为 ．
2.(2025·河南省信阳市·模拟题)在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，设的面积为，内切圆半径为，当时，记顶点的轨迹为曲线．
求的方程；
已知点，，，在上，且直线与相交于点，记，的斜率分别为，．
设的中点为，的中点为，证明：存在唯一常数，使得当时，；
若，当最大时，求四边形的面积．
【答案解析】
1.【人教A版选择性必修一 习题3.1 第14题 P116】
解：设弦的中点坐标为，在直线上，
设直线与椭圆相交于，两点，
由，消去得，
，
解得：，
，，
为弦的中点，
，，，
，则，
由消去，得，
直线的方程，，
直线的斜率为．
故选：．
2.【人教A版选择性必修一 习题3.3 第13题 P139】
解：从点出发的光线第一象限内抛物线上一点反射后的光线所在直线方程为，
可得，的焦点坐标为，
入射光线的斜率为，
所以，解得或舍去，
所以抛物线方程为：．故答案为：.
例1.解：设，由抛物线的对称性，不妨设，
因为直线与抛物线相切，故直线的方程为
令，得点的坐标为设直线的方程为，
联立得，
所以有，于是．
则
令，
则．
当时，，单调递减当时，，单调递增，
故，
所以的最小值为．
故选C．
例2.解：对于选项A，连接，，，，
则四边形为平行四边形，
则，即选项A错误；
对于选项B，设，则，
则，即选项B正确；
对于选项C，由，
又，
即，当且仅当时取等号，
由选项A可知四边形为平行四边形，
则四边形四边的平方和的最小值为，即选项C错误；
对于选项D，由椭圆的性质可得，
又，
即，即，
即椭圆上存在无数个点，使得，即选项D正确．
故选BD．
例3.解：(证明：由题意可得，
设直线的方程为，，设，，，，
由，在轴上方可知，，
联立，
，，
，
依题意，为的中点设，
，，
，
设与直线垂直的直线的方程为：，
联立
则，
可得，，
依题意，是线段的中点，则，
则直线的直线方程为：，
令，则，
故直线过定点；
解：直线的解析式为：，直线的解析式为：，
又，，，在抛物线上，则
由得：，即，
同理可得，
直线和解析式可变形为：，，
联立和解析式可得：，
则，
；
则点到直线的距离为：，
，
．，
当且仅当即时取，
所以面积的最小值为．
练1-1.解：设，当时，，
，
，，即
当时，，
，
，，
即，
所以点的轨迹方程为
设点到线的距离为，如图所示，
直线与曲线部分交于点，与直线交于点，
则，
由，，
则，
，
则的最小值为．
故答案为：．
练1-2.解：由题意可得，
对设，由抛物线的性质可得，
因为，所以可得当时，即，此时，
所以可得取得最小值为，故A错误；
对设，，
，
，
①，
由结合抛物线的定义可得：，②
联立①②可得：，，
，故B正确
对，
令，，
所以，
所以可得，故C正确；
对：当的斜率不存在时，，，
设，则，
若，
即可得不成立，所以可得在直线上不存在点，使得，故D错误；
故选BC．
练1-3.解：设点，，
由题可知，当时，显然有
当时，直线的方程为，点．
联立直线与的方程得，
，所以，，
因为直线，，的斜率成等差数列，
所以．
即，
化简得．
将代入上式得，
则，所以曲线的方程为．
设直线，联立的方程，得．
由，得，点，
设的中点为，
因为，，则点．
因为，所以点，，三点共线，且点为的中点，
所以面积为面积的
记的面积为，点到直线的距离，
所以，
当时，等号成立．
所以命题得证．
例4.解:由已知，抛物线的准线与椭圆相交线段的一个端点坐标是，
把代入椭圆方程化简得，解得，
所以抛物线的方程为；
当在抛物线上运动时，弦的长为定值，理由如下：
设在抛物线上，可知到轴距离为，
根据圆的弦长公式可知：，
由已知，，
所以，
则在抛物线上运动时弦的长为定值；
若过点且相互垂直的两条直线分别与两条坐标轴垂直，
则其中与轴重合的直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设过的的两条直线的方程分别为、，其中，
设直线交抛物线于点，，
由得，
则，
由根与系数的关系可得，则，
同理可得，
所以，四边形的面积
，
当且仅当，即时，等号成立，
即四边形的面积的最小值为．
例5.解：由题意，，，，
由，得，即，可得，
又，解得，，
椭圆的方程为；
证明：设，，可得，
以为直径的圆经过点，，即，
，
，：，
联立，得．
，得，
，则；
同理可得
，
又，
．
又，．
，即．
例6.解：因为椭圆的离心率，且椭圆上任意一点与椭圆的右焦点距离的最大值为，
所以，解得，，因此，所以椭圆的方程为；
因为点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点，
所以点，而，因此，
因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
因此的最小值为；
因为不垂直轴，且与椭圆交于另一点，
所以设直线的方程为：，，
由得：，则，，
因此，
因为、，所以直线的方程为：，
直线的方程为：，
因为直线与直线交于点，
所以，
即点，
因此直线的方程为与直线联立得，
即，解得，
因为直线与直线的交点为，所以，即点在定直线上．
练2-1.解：设椭圆的右焦点为，左焦点为，，
，解得，
，
，，，
椭圆的方程为．
设的直线方程为联立椭圆方程，消去得．
设，，，
则，．
，
又，，
直线的方程为，直线的方程为．
联立得，
．
又，
．
直线与直线的交点在定直线上．
练2-2.解：设，，，
因此，所以，
即，的方程分别为，；
设点，，
因此，则，
又，，
所以，
因此，，，
所以；
由题意，
设点，，，
因此，
又，从而，
整理得，
由可知，且，，
因此为定值．
练2-3.解：由题意知，
在中，令得，
，，则，，
的方程为．
由知，则圆，圆心为，半径为，
当斜率存在时，
设直线的方程为，，
，
，
则，
设到的距离为，则．
，所以．
当点到线段的距离为时，的面积最大，
则
，
令，
，
当时，，单调递增
当时，，单调递减，
当时，取得最大值，此时，
此时，，即，．
（ii）当斜率不存在时，由知．
因为，所以．
取圆的半径与线段交于，半径与圆交于，如图，
则线段上的点、，到圆上的点的距离最小值分别为，，
当半径于时，线段上的点到圆上点的距离最小值中，为最大值，为，
故的面积最大时，．
，
，
，
，
同理，
．
1.解：由直线与圆相切得：
，所以．
设，，
将直线代入椭圆的方程得：
，
，
因为，所以且．
所以，
则，
设点到直线的距离为，
故的面积为：，
当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为．
设，由直线与圆相切于点，可得，
所以直线的方程为，
则，可得，
所以，
因为，所以，
所以．
故答案为：；．
2.解：由题意得，
易知，
由椭圆定义可知，动点在以，为焦点，且长轴长为的椭圆上，
又不能在直线上，的方程为： ；
法一证明：设，，，
易知直线的方程为，
联立
得，，
，，
即，
同理可得，，
，
欲使，则，
即，，
存在唯一常数，使得当时，；
法二证明：设，，，
易知的斜率不为零，否则与重合，欲使，
则将在轴上，又为的中点，
则轴，这与过矛盾，
故，同理有，
则，可得，
易知，，
且，，
，即，
同理可得，，
欲使，则，
，，
存在唯一常数，使得当时，；
由易知，且，
，
即，同理可得，，
，，
记，
，
当且仅当，即时取等，
由椭圆的对称性，不妨设此时，，
且直线和所成角为，
则，不难求得，
此时，易知，且，
四边形的面积为．

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