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8．6.2　第1课时　直线与平面垂直的判定
【课标要求】　1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并加以证明.2.会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直.3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．
【导学】
学习目标一　直线与平面垂直的定义
　师问：如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC.随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？
生答：
例1 (多选)下列命题中，不正确的是(　　)
A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
总结：直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质. 是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；是性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a?α?l⊥a”. 这是证明线线垂直的一种方法．
跟踪训练1　(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．若直线l垂直于α，则直线l垂直于α内任一直线
B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行
C．若a∥b，a?α，l⊥α，则l⊥b
D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α
学习目标二　直线与平面垂直的判定定理
　师问：(1)过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD(如图)，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)，折痕AD与桌面垂直吗？
(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？你认为保证一条直线l与一个平面α垂直的条件是什么？
生答：
例2 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上异于A，B的任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.
总结：应用判定定理时，要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．
跟踪训练2　如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝a，A1A＝2a，D为棱B1B的中点．求证：A1D⊥平面ADC.
学习目标三　直线与平面所成的角
　师问：当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面所成角怎样定义？
生答：
例3 如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值．
求直线与平面所成角的一般步骤
跟踪训练3　如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．
【导练】
1．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．在平面α内 D．无法确定
2．直线a与平面α斜交，那么在α内与a垂直的直线(　　)
A．没有
B．有一条
C．有无数条
D．有n条(n为大于1的整数)
3．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
4．如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________．
【导思】
如图，在直四棱柱A1B1C1D1?ABCD中，当底面四边形ABCD满足________条件时，有A1C⊥B1D1.(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．)
8．6.2　直线与平面垂直
第1课时　直线与平面垂直的判定
导　学
学习目标一　生答：旗杆所在直线AB始终与影子BC所在直线垂直．
例1　解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D不正确．
答案：ABD
跟踪训练1　解析：由线面垂直的定义知，A正确；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错误；C显然是正确的；而D中，a可能在α内，所以D错误．故选AC.
答案：AC
学习目标二　生答：(1)不垂直．
(2)折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面垂直．直线l与平面α内的两条相交直线垂直．
例2　证明：设圆O所在的平面为α，
∵PA⊥α，且BM?α，
∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM.
由于直线PA∩AM＝A，PA，AM?平面PAM，
∴BM⊥平面PAM，而AN?平面PAM，
∴BM⊥AN.
又∵AN⊥PM，
∴AN与PM，BM两条相交直线互相垂直，PM，BM?平面PBM，
故AN⊥平面PBM.
跟踪训练2　证明：由题意可知AA1⊥平面ABC，又AC?平面ABC，所以AA1⊥AC，
又∠BAC＝90°，所以AC⊥AB，
又AB∩AA1＝A，AB，AA1?平面A1ABB1，
所以AC⊥平面A1ABB1，又A1D?平面A1ABB1，
所以AC⊥A1D.
因为D为BB1的中点，BB1＝2a，AB＝A1B1＝a，
在△A1DA中，A1D＝2a，AD＝2a，AA1＝2a，所以A1D2＋AD2＝A1A2，
所以∠A1DA＝90°，即A1D⊥AD，
而AC∩AD＝A，AC，AD?平面ADC，
故有A1D⊥平面ADC.
学习目标三　生答：铅笔和它在桌面上的射影所成的角．
例3　
解析：如图所示，取AA1的中点M，连接EM，BM，
因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.
又在正方体ABCD?A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，
所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2，
则EM＝AD＝2，BE＝22+22+12＝3.
于是在Rt△BEM中，sin ∠EBM＝EMBE＝23，
即直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值为23.
跟踪训练3　解析：由题意知A是M在平面ABC上的射影，∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面CAB上的射影为AC，
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BM sin ∠MBC＝5sin 60°＝5×32＝532.
在Rt△MAB中，MA＝MB2?AB2＝52?42＝3.
在Rt△MAC中，sin ∠MCA＝MAMC＝3532＝235.
即MC与平面CAB所成角的正弦值为235.
导　练
1．解析：由线面垂直的判定定理知，当平面α内的两条直线相交时，则l⊥α；再由线面平行的性质定理和线线垂直的定义知，当l∥α或l?α时，都有无数条直线与l垂直．故选D.
答案：D
2．解析：如图，
过点B作BC⊥α，垂足为C，连接AC，
则直线a在平面α内的射影为AC.
在平面α内过点A作AC的垂线b，则b⊥平面ABC，
而a?平面ABC，所以a⊥b，
又因为平面α内有无数条直线与直线b平行，
所以在平面α内与a垂直的直线有无数条．故选C.
答案：C
3．解析：∵OA⊥OB，OA⊥OC且OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，∴OA⊥平面OBC.故选C.
答案：C
4．解析：
连接EB，
∵BB1⊥平面ABCD，∴∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成角，
在Rt△FBE中，BF＝12BB1＝1，BE＝AB2+AE2＝22+12＝5，
∴tan ∠FEB＝BFBE＝55.
答案：55
导　思
解析：当底面四边形ABCD满足AC⊥BD.
如图所示，连接 BD，AC,
因为A1A⊥平面 ABCD，BD?平面 ABCD, 所以A1A⊥BD，
因为AC⊥BD，A1A∩AC＝C，A1A，AC?平面A1AC，
所以BD⊥平面A1AC，因为A1C?平面 A1AC，
所以 A1C⊥BD，因为 BD∥B1D1，所以A1C⊥B1D1.
答案：AC⊥BD(答案不唯一)

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