资源简介

8．6.2　第2课时　直线与平面垂直的性质
【课标要求】　1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的性质定理，并加以证明.2.会应用性质定理判断两条直线的平行.3.了解空间中距离的概念，会求空间中的距离．
【导学】
学习目标一　直线与平面垂直的性质定理
　师问：(1)马路旁的路灯灯柱，若将灯柱看作一条直线，地面看作平面，灯柱所在直线与地面所在平面有何位置关系？灯柱所在的直线间是什么位置关系？
(2)在空间中，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系如何？
生答：
例1 如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
总结：线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据．证明两直线平行还有以下方法：(1)利用线线平行定义；(2)利用基本事实4；(3)利用线面平行的性质定理；(4)利用面面平行的性质定理．
跟踪训练1　如图所示，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a?β，a⊥AB，求证：a∥l.
学习目标二　空间中的距离问题
　师问：空间中，常会有几种距离问题？
生答：
例2 如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，PA＝2，点E，F分别为PB，PD的中点．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求点P到平面AEF的距离．
总结：空间中的三种距离：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离，常常转化为点到平面的距离，然后利用直线与平面垂直的判定或性质作出垂线段，求出垂线段的长，或利用“等体积法”求解．
跟踪训练2　若正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面边长为1，直线AC1与底面ABCD所成角的大小是60°，则A1C1到底面ABCD的距离为________．
【导练】
1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　)
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面ABCD，则有(　　)
A．BB1⊥l B．BB1∥l
C．BB1与l异面 D．BB1与l相交
3．如图，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形有(　　)
A.1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．如图，已知AP⊥BP，AP⊥PC，∠ABP＝∠ACP＝∠BAC＝60°，PA＝1，D是BC中点，则点B到平面APD的距离是________．
【导思】
在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝BC＝1，AD＝2，PB与平面ABCD所成角为π4，底面ABCD为直角梯形，∠BAD＝∠ABC＝π2，则点A到平面PBC的距离为(　　)
A．2 B．2
C．22 D．12
第2课时　直线与平面垂直的性质
导　学
学习目标一　生答：(1)垂直，灯柱所在的直线都是平行的．
(2)平行．
例1　证明：∵AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
跟踪训练1　证明：∵平面α∩平面β＝l，∴l?α.
又∵EA⊥α，∴l⊥EA，同理l⊥EB.
又EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.
∵EB⊥β，a?β，∴EB⊥a.
又a⊥AB，EB∩AB＝B，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.
学习目标二　生答：点面距、线面距、面面距．
例2　解析：(1)证明：由底面ABCD为正方形，得CB⊥AB，又CB⊥BP，AB∩BP＝B，AB，BP?平面ABP，
于是CB⊥平面ABP，而PA?平面ABP，则CB⊥PA，同理CD⊥PA，
又CB∩CD＝C，CB，CD?平面ABCD，
所以PA⊥平面ABCD.
(2)由(1)得PA⊥AB，点E为PB的中点，在Rt△PAB中，AE＝2，点F为PD的中点，同理AF＝2，
在△PBD中，EF＝12BD＝2，因此S△AEF＝12×2×2×32＝32，
在Rt△PAB中，S△APE＝12×12×2×2＝1，
由(1)知CB⊥平面ABP，则AD⊥平面ABP，于是点F到平面APE的距离为12AD＝1.
设点P到平面AEF的距离为h，由VP?AEF＝VF?AEP，得13×32×h＝13×1×1，解得h＝233，
所以点P到平面AEF的距离为233.
跟踪训练2　
解析：如图，连接AC.
正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面边长为1，则AD＝DC＝1，所以AC＝2，
且C1C⊥底面ABCD，则直线AC1与底面ABCD所成角即∠C1AC＝60°，
则C1C＝AC·tan 60°＝2×3＝6，
则在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，A1C1到底面ABCD的距离为C1到底面ABCD的距离C1C＝6.
答案：6
导　练
1．解析：因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m.故选C.
答案：C
2．解析：因为l⊥平面ABCD，且BB1⊥平面ABCD，直线l与直线BB1不重合，所以BB1∥l.故选B.
答案：B
3．解析：由PA⊥平面ABC，而AB?平面ABC，AC?平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，
又∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，而PC?平面PAC，∴BC⊥PC，
4个面均为直角三角形．故选D.
答案：D
4.
解析：因为AP⊥BP，AP⊥PC，∠ABP＝∠ACP，所以Rt△APC≌Rt△APB，
所以PB＝PC，AB＝AC，
又D是BC中点，所以BC⊥PD，BC⊥AD，
PD∩AD＝D，PD，AD?平面PAD，所以BC⊥平面APD，BD的长就是点B到平面APD的距离．
由已知AB＝AC＝BC＝233，BD＝33.
答案：33
导　思
解析：
在平面PAB中过A作AE⊥PB，垂足为E，因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA为PB与平面ABCD所成角，则∠PBA＝π4，又AB?平面ABCD，所以PA⊥AB，又PA＝1，所以AB＝1，所以PB＝2，AE＝12PB＝22.因为∠ABC＝π2，则BC⊥AB，因为BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，又AB∩PA＝A，AB，PA?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，因为AE?平面PAB，所以BC⊥AE，又AE⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB?平面PBC，所以AE⊥平面PBC，所以AE为点A到平面PBC的距离，即所求为AE＝22.故选C.
答案：C

展开更多......

收起↑