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8．6.3　第1课时　平面与平面垂直的判定
【课标要求】　1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角的平面角的大小.2.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的判定定理，并加以证明.3.会应用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直．
【导学】
学习目标一　二面角
　师问：同学们在打开课本154页的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉，你认为应该怎样刻画不同的面面“夹角”呢？
生答：
例1 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P?BC?A的大小．
总结：求二面角的平面角的大小的一般步骤
(1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线．
(2)证：证明所作的角满足定义．
(3)求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小．
跟踪训练1　如图，在正方体ABCD?A′B′C′D′中：
(1)二面角D′?AB?D的大小为________．
(2)二面角A′?AB?D的大小为________．
学习目标二　平面与平面垂直的定义
　师问：教室中墙面与地面有怎样的位置关系？你认为应该怎样定义两个平面垂直？
生答：
例2 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
证明：平面AEC⊥平面AFC.
用定义证明两个平面垂直的步骤
跟踪训练2　如图所示，在四面体ABCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.
求证：平面ABD⊥平面BCD.
学习目标三　平面与平面垂直的判定定理
　师问：建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直，你能描述这个操作过程吗？
生答：
例3 如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面AA1C1C为菱形，∠A1AC＝60°，且AB⊥AA1，BC1⊥A1C.
求证：平面ABC⊥平面A1ACC1.
总结：通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．
跟踪训练3　如图所示，四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD.
【导练】
1．在二面角α?l?β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α?l?β的平面角，则必须具有的条件是(　　)
A．AO⊥BO，AO?α，BO?β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO?α，BO?β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β
2．下列不能确定两个平面垂直的是(　　)
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C．一个平面经过另一个平面的一条垂线
D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
3．已知三棱锥A?BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有(　　)
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ADC⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ABC⊥平面ADB
4．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝22AA1，E为CC1的中点，则二面角E?BD?C的平面角的大小为________．
【导思】
如图，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，BD＝BC，BD⊥AC，M是棱BB1上一点．
(1)求证：MD⊥AC；
(2)当M在BB1上的何处时，有平面DMC1⊥平面CC1D1D.
指津：(1)证明BB1⊥AC，结合BD⊥AC可得AC⊥平面BB1D1D，即得证．
(2)取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于点O，连接OM，BN，证得BN⊥平面CC1D1D，可得当点M为棱BB1的中点时，OM⊥平面CC1D1D.
温馨提示：请完成课时作业35FL0]
8．6.3　平面与平面垂直
第1课时　平面与平面垂直的判定
导　学
学习目标一　生答：用二面角的平面角来刻画二面角的大小．
例1　解析：由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，PA⊥AC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC?平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P?BC?A的棱，
∴∠PCA是二面角P?BC?A的平面角．
由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P?BC?A的大小是45°.
跟踪训练1　解析：(1)在正方体ABCD?A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，
因此∠D′AD为二面角D′?AB?D的平面角．
在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，
所以二面角D′?AB?D的大小为45°.
(2)因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，
因此∠A′AD为二面角A′?AB?D的平面角，又∠A′AD＝90°，
所以二面角A′?AB?D的大小为90°.
答案：45°　90°
学习目标二　生答：垂直．一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
例2　
证明：如图，连接BD，交AC于点G，连接EG，FG，EF.
在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝3.
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，
可知AE＝EC.
又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.
同理可得FG⊥AC，所以∠EGF为二面角E?AC?F的平面角．
在Rt△EBG中，可得BE＝EG2?BG2＝2，故DF＝22.
在Rt△FDG中，可得FG＝DG2+DF2＝62.
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，可得EF＝322.
从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.
即二面角E?AC?F的平面角为90°，
所以平面AEC⊥平面AFC.
跟踪训练2　
证明：∵AB＝AD＝CB＝CD＝a，
∴△ABD与△BCD是等腰三角形．
如图，取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE，
∴∠AEC为二面角A?BD?C的平面角．
在Rt△ABE中，AB＝a，
BE＝12BD＝22a，∴AE＝AB2?BE2＝22a，
同理CE＝22a.
在△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a，
∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，
即二面角A?BD?C的平面角为90°，
∴平面ABD⊥平面BCD.
学习目标三　生答：铅锤所在直线垂直于地面，那么经过铅锤所在直线的墙面垂直于地面．
例3　证明：连接AC1，如图，
由AA1C1C是菱形，所以AC1⊥CA1.
又BC1⊥CA1，BC1∩AC1＝C1，
所以CA1⊥平面ABC1，故CA1⊥AB，
又AA1⊥AB，CA1∩AA1＝A1，
所以AB⊥平面AA1C1C，又AB?平面ABC，
所以平面ABC⊥平面A1ACC1.
跟踪训练3　证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，
又∵CD?平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.
导　练
1．解析：根据二面角平面角的定义，二面角平面角的顶点在棱上，两个边分别在两个半平面内，且都垂直于棱，故排除A，B，C，所以必须具备的条件是D.故选D.
答案：D
2．解析：对于A，两个平面所成二面角是直二面角，两个平面垂直，故正确；对于B，一个平面垂直于另一个平面内的一条直线，即这条直线垂直于这个平面，所以经过这条直线的平面与另一个平面垂直，故正确；
对于C，一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，故正确；对于D，如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，平面A1DCB1内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1DCB1与平面ABCD显然不垂直，故不正确．故选D.
答案：D
3．解析：
画出图象如图所示，由于AD⊥BC，AD⊥CD，所以AD⊥平面BCD，而AD?平面ADC，所以平面ADC⊥平面BCD.故选B.
答案：B
4．解析：连接AC交BD于点F，连接EF.
∵AB＝BC，∴底面ABCD是正方形，则AC⊥BD即CF⊥BD，
又CC1⊥底面ABCD，CE⊥BD，CE∩CF＝C，
∴BD⊥平面CFE，EF?平面CFE，∴BD⊥EF，
∴∠CFE为二面角E?BD?C的平面角．
不妨设AB＝BC＝1，则AA1＝2，CE＝22，CF＝12AC＝22，
tan ∠CFE＝CECF＝2222＝1，又∠CFE∈[0，π]，∴∠CFE＝π4.
答案：π4
导　思
解析：(1)证明：在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，则BB1⊥AC，
而BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，BD，BB1?平面BB1D1D，于是AC⊥平面BB1D1D，而MD?平面BB1D1D，
所以MD⊥AC.
(2)当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.
如图，取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于点O，连接OM，BN，
显然NN1∥CC1，则O是NN1的中点，由N是DC的中点，BD＝BC，得BN⊥DC，
在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，DD1?平面CC1D1D，
于是平面ABCD⊥平面CC1D1D，而平面ABCD∩平面CC1D1D＝CD，BN?平面ABCD，则BN⊥平面CC1D1D.
当点M为棱BB1的中点时，BM∥CC1∥ON，且BM＝12CC1＝ON，
因此BMON是平行四边形，即BN∥OM，有OM⊥平面CC1D1D，又OM?平面DMC1，则平面DMC1⊥平面CC1D1D，
所以点M为棱BB1的中点时，有平面DMC1⊥平面CC1D1D.

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