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3.2　离散型随机变量的方差
【课前预习】
知识点一
1.标准差　2.离散程度　集中　分散　4.p(1-p)
诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√
知识点二
a2DX　0
诊断分析 (1)√　(2)√　(3)×
【课中探究】
例1　D　[解析] 由题意得,Eξ=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,∴Dξ=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3.2)2×0.5=3.56.故选D.
变式　　[解析] 依题意,ξ2的取值为0,1,且P(ξ2=0)=,P(ξ2=1)=,则ξ2的期望Eξ2=0×+1×=,所以ξ2的方差Dξ2=×+×=.
例2　C　[解析] ∵DX=2,∴D(3X+2)=9DX=18.故选C.
变式　(1)D　(2)C　[解析] (1)根据方差和均值的性质可得E(2-2X)=-2EX+2=4,解得EX=-1;由D(2-2X)=4DX=4,解得DX=1.故选D.
(2)由分布列的性质,可得a+b+2b-a=1,解得b=,所以EX=a+2×+3=-2a+,则DX=×a+×+×=-4a2+a+=-4+.因为0≤a≤1,0≤-a≤1,所以a∈,则当a=时,DX取得最大值,又D(3X-1) =9DX,所以D(3X-1)的最大值为9×=6.故选C.
例3　解:设投资项目一、项目二分别获利X万元、Y万元,
则X的可能取值有30,-15,且P(X=30)=,P(X=-15)=,Y的可能取值有50,-30,0,且P(Y=50)=,P(Y=-30)=,P(Y=0)=,
所以EX=30×+(-15)×=20,EY=50×+(-30)×+0×=20,所以EX=EY.
DX=(30-20)2×+(-15-20)2×=350,DY=(50-20)2×+(-30-20)2×+(0-20)2×=1400,则DX变式　解:甲保护区内每个季度发生违规事件次数X的均值EX=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,方差DX=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保护区内每个季度发生违规事件次数Y的均值EY=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,方差DY=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因为EX=EY,DX>DY,所以两个保护区内每个季度发生的违规事件次数的均值相同,但甲保护区发生的违规事件次数相对分散,乙保护区发生的违规事件次数相对集中,故乙保护区的管理水平更高.3.2　离散型随机变量的方差
1.D　[解析] 因为离散型随机变量X的均值EX反映了X取值的平均水平,而非波动水平,离散型随机变量X的方差DX不能反映X取值的变化趋势或平均水平,可以反映X取值的波动水平,所以A,B,C错误,D正确.故选D.
2.B　[解析] 由题意得D(5ξ)=25Dξ=20,所以Dξ==0.8.故选B.
3.D　[解析] 由分布列的性质得0.4+0.1+x=1,解得x=0.5,∴Eξ=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,∴Dξ=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3.2)2×0.5=3.56,∴ξ的标准差为=.故选D.
4.D　[解析] 由0.2+0.3+0.4+a=1,解得a=0.1,则P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=0.4+0.1=0.5,EX=0×0.2+1×0.3+2×0.4+3×0.1=1.4,DX=(0-1.4)2×0.2+(1-1.4)2×0.3+(2-1.4)2×0.4+(3-1.4)2×0.1=0.84,故选D.
5.C　[解析] X的可能取值为1,2,3,易知P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,所以EX=.Y的可能取值为0,1,2,易知P(Y=0)==,P(Y=1)==,P(Y=2)==,所以EY=.所以EX>EY.易知X+Y=3,所以DX=D(3-Y)=DY.故选C.
6.B　[解析] 设P(X=1)=p,P(X=2)=q,由题意得EX=0×+p+2q=1,+p+q=1,解得p=,q=,所以DX=×(0-1)2+×(1-1)2+×(2-1)2=.故选B.
7.BC　[解析] 因为E(2X+3)=7,D(2X+3)=16,所以2EX+3=7,4DX=16,所以EX=2,DX=4.故选BC.
8.BC　[解析] 投资股票甲每股收益的期望EX=-1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,方差DX=(-1-1.1)2×0.1+(0-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.6=1.29.投资股票乙每股收益的期望EY=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1,方差DY=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6.所以EX>EY,DX>DY,则投资股票乙每股收益的期望较小,投资股票甲比投资股票乙的风险高.故选BC.
9.　[解析] 由题意知EX=1×+2×+3×+4×=,则DX=×+×+×+×=,所以D=DX=.
10.　[解析] 由题意得2b=a+c,a+b+c=1,c-a=,以上三式联立解得a=,b=,c=,故Dξ=×+×+×=.
11.6　[解析] 由题意知,EX=(1+2+3)×=2,则DX=×[(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2]=,所以D(3X+5)=32DX=9×=6.
12.　[解析] 由题意知,乙投篮的次数ξ的取值为0,1,2,则P(ξ=0)=×=,P(ξ=1)=×+×=,P(ξ=2)=×=.故ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
则Eξ=0×+1×+2×=,所以Dξ=×+×+×=.
13.解:由题意得++p=1,解得p=,
因为EX=0×+1×+x=,所以x=2.
(1)DX=×+×+×=.
(2)因为Y=3X-2,所以DY=D(3X-2)=9DX=5.
14.解:由分布列的性质知,a+0.8+0.1=1,解得a=0.1,0.1+0.2+0.4+b+0.1=1,解得b=0.2,则EX=(-1)×0.1+0×0.8+1×0.1=0,EY=(-2)×0.1+(-1)×0.2+0×0.4+1×0.2+2×0.1=0,所以EX=EY,即甲、乙两种品牌手表的日走时误差均值相同.
DX=(-1)2×0.1+02×0.8+12×0.1=0.2,DY=(-2)2×0.1+(-1)2×0.2+02×0.4+12×0.2+22×0.1=1.2,所以DX故甲、乙两种品牌手表的日走时误差均值相同,甲品牌手表的日走时误差的方差较小,性能更稳定.
15.2-2　[解析] 随机变量ξ服从两点分布,设成功的概率为p,可得Eξ=p,Dξ=p(1-p),其中016.解:(1)设P(X=0)=a,P(X=40)=b,
依题意得解得
所以X的分布列为
X 0 20 40
P 0.1 0.3 0.6
则DX=(0-30)2×0.1+(20-30)2×0.3+(40-30)2×0.6=180.
(2)由题意得Y的分布列为
Y 10 20 30
P 0.3 0.4 0.3
则EY=10×0.3+20×0.4+30×0.3=20,DY=(10-20)2×0.3+(20-20)2×0.4+(30-20)2×0.3=60.
由EX>EY可知投放平台广告所获收益的期望较大,
由DX>DY可知投放平台广告的收益更不稳定.
综上所述,若公司期望高收益,则选择投放平台广告;若公司期望收益稳定,则选择投放传统广告.3.2　离散型随机变量的方差
【学习目标】
　　通过具体实例,理解离散型随机变量的方差.
◆ 知识点一　离散型随机变量的方差
1.设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称DX=E(X-EX)2=(xi-EX)2·pi(i=1,2,…,n)为随机变量X的方差,其算术平方根为随机变量X的　　　　,记为σX.
2.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度,反映了随机变量取值的　　　　.方差或标准差越小,随机变量的取值越　　　　;方差或标准差越大,随机变量的取值越　　　　.
3.方差也可以用公式DX=EX2-(EX)2计算.
4.两点分布的方差
若X服从参数为p的两点分布,则DX=　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大,随机变量的取值越稳定. (　 )
(2)离散型随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离期望的平均程度. (　 )
(3)离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的波动水平. (　 )
◆ 知识点二　方差的性质
设X为随机变量,a,b,C为常数.
D(aX+b)=　　　　,DC=　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果X是离散型随机变量,且Y=3X+2,那么EY=3EX+2,DY=9DX. (　 )
(2)若a是常数,则Da=0. (　 )
(3)如果随机变量X的方差DX=,那么D(2X+1)=2×=. (　 )
◆ 探究点一　离散型随机变量的方差
例1 已知随机变量ξ的分布列如下表,则Dξ= (　 )
ξ 1 3 5
P 0.4 0.1 0.5
A.0.95 B.3.2
C.0.7 D.3.56
变式 [2024·广州高二期末] 随机变量ξ有3个不同的取值,且其分布列为
ξ -1 0 1
P
则Dξ2的值为　　　　.
[素养小结]
求离散型随机变量的方差的方法
(1)根据题目条件先求分布列;(2)由分布列求出均值,再由方差公式求方差.当分布列中的概率值是待定常数时,应先由分布列的性质求出待定常数再求方差.
◆ 探究点二　方差的性质
例2 已知随机变量X满足DX=2,则D(3X+2)= (　 )
A.6 B.8
C.18 D.20
变式 (1)已知随机变量X满足E(2-2X)=4,D(2-2X)=4,则下列说法正确的是 (　 )
A.EX=-1,DX=-1
B.EX=1,DX=1
C.EX=-1,DX=4
D.EX=-1,DX=1
(2)已知随机变量X的分布列如下,则D(3X-1)的最大值为 (　 )
X 1 2 3
P a b 2b-a
A. B.3
C.6 D.5
[素养小结]
关于方差性质的四点说明:
设X为随机变量,a,b为常数.
(1)当a=0时,D(aX+b)=Db=0,即常数的方差等于0.
(2)当a=1时,D(aX+b)=D(X+b)=DX,即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身.
(3)当b=0时,D(aX+b)=D(aX)=a2DX,即随机变量与常数之积的方差,等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积.
(4)当a,b均为非零常数时,随机变量η=aX+b的方差Dη=D(aX+b)=a2DX.
◆ 探究点三　方差的实际应用
例3 某公司计划在2024年年初将100万元用于投资,现有两个项目供选择.
项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和.
项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,,.
请你根据所学的知识,为投资公司选择一个项目进行投资,并说明理由.
变式 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相同,而两个保护区内每个季度发生的违规事件次数的分布列分别为
甲保护区:
X 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
乙保护区:
Y 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
试评定这两个保护区的管理水平.
[素养小结]
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤:
(1)比较均值:离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中, 需先计算均值,看一下谁的平均水平高.
(2)在均值相等的情况下计算方差:方差反映了离散型随机变量取值的离散程度.通过计算方差,分析一下谁的离散程度较低.
(3)下结论:依据均值和方差的意义得出结论.3.2　离散型随机变量的方差
一、选择题
1.下列说法正确的是 (　 )
A.离散型随机变量X的均值EX反映了X取值的波动水平
B.离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的变化趋势
C.离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的平均水平
D.离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的波动水平
2.设ξ是随机变量,且D(5ξ)=20,则Dξ= (　 )
A.0.4 B.0.8
C.4 D.20
3.已知随机变量ξ的分布列如下表所示:
ξ 1 3 5
P 0.4 0.1 x
则ξ的标准差为 (　 )
A.3.56 B.
C.3.2 D.
4.[2024·吉林延边汪清四中高二期末] 已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数):
X 0 1 2 3
P 0.2 0.3 0.4 a
则下列结论正确的是 (　 )
A.a=0.2 B. P(X≥2)=0.7
C.EX=1.5 D.DX=0.84
5.在一个箱子中装有除颜色外完全相同的3个白球和2个黑球,现从中不放回地摸取3个球,设摸得的白球个数为X,黑球个数为Y,则 (　 )
A.EX>EY,DX>DY
B.EX=EY,DX>DY
C.EX>EY,DX=DY
D.EX=EY,DX=DY
6.[2024·山西太原高二期中] 若随机变量X的取值为0,1,2,且P(X=0)=,EX=1,则DX= (　 )
A. B.
C. D.1
7.(多选题)已知随机变量X满足E(2X+3)=7,D(2X+3)=16,则下列结论正确的是 (　 )
A.EX= B.EX=2
C.DX=4 D.DX=8
8.(多选题)投资甲、乙两种股票,每股收益(单位:元)的分布列分别如表1和表2所示.
表1　股票甲每股收益X的分布列
X -1 0 2
P 0.1 0.3 0.6
表2　股票乙每股收益Y的分布列
Y 0 1 2
P 0.3 0.4 0.3
则下列结论中正确的是 (　 )
A.投资股票甲每股收益的期望较小
B.投资股票乙每股收益的期望较小
C.投资股票甲比投资股票乙的风险高
D.投资股票乙比投资股票甲的风险高
二、填空题
9.若随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
则D=　　　　.
10.[2024·山东嘉祥萌山中学高二月考] 已知随机变量ξ的分布列为
ξ -1 0 1
P a b c
其中a+c=2b,若Eξ=,则Dξ=　　　　.
11.已知随机变量X 的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,则D(3X+5)=　　　　.
12.甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继续投篮,否则由对方投篮,第一次由甲投篮.已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为,.记前3次投篮中,乙投篮的次数为ξ,则ξ的方差为　　　　.
三、解答题
13.[2024·山西运城稷山中学高二月考] 已知随机变量X的分布列为
X 0 1 x
P p
且EX=.
(1)求DX的值;
(2)若Y=3X-2,求DY的值.
14.已知有甲、乙两种品牌的手表,它们的日走时误差分别为X,Y(单位:秒),其分布列分别如下,
甲品牌手表的日走时误差分布列
X -1 0 1
P a 0.8 0.1
乙品牌手表的日走时误差分布列
Y -2 -1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 b 0.1
试比较甲、乙两种品牌手表的性能.
15.[2024·吉林长春南关区实验中学高二期末] 若随机变量ξ服从两点分布,则的最大值为　　　　.
16.某短视频软件经过几年的快速发展,深受人们的喜爱,该软件除了有娱乐属性外,也可通过平台推送广告.某公司为了宣传新产品决定投放广告,现有以下两种方案.
方案一:投放该平台广告,记其收益为X万元,据市场调研,X的可能取值为0,20,40,且P(X=20)=0.3,期望EX=30.
方案二:投放传统广告,记其收益为Y万元,据市场调研,Y的可能取值为10,20,30,概率分别为0.3,0.4,0.3.
(1)请写出方案一中X的分布列,并求方差DX;
(2)请你根据所学的知识给出建议,该公司应该投放哪种广告 并说明理由.(共27张PPT)
§3 离散型随机变量的均值与方差
3.2 离散型随机变量的方差
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
通过具体实例,理解离散型随机变量的方差.
知识点一 离散型随机变量的方差
1.设离散型随机变量 的分布列为
X … …
P … …
则称为随机变量 的方差,其
算术平方根为随机变量的________,记为 .
标准差
2.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度,反
映了随机变量取值的__________.方差或标准差越小,随机变量的取值越______;
方差或标准差越大,随机变量的取值越______.
离散程度
集中
分散
3.方差也可以用公式 计算.
4.两点分布的方差
若服从参数为的两点分布,则 _________.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）离散型随机变量的方差越大,随机变量的取值越稳定.( )
×
（2）离散型随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离期望的平均程度.( )
√
（3）离散型随机变量的方差反映了 取值的波动水平.( )
√
知识点二 方差的性质
设为随机变量，,, 为常数.
______, ___.
0
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）如果是离散型随机变量,且,那么, .( )
√
（2）若是常数,则 .( )
√
（3）如果随机变量的方差,那么 .( )
×
探究点一 离散型随机变量的方差
例1 已知随机变量的分布列如下表，则 ( )
1 3 5
P 0.4 0.1 0.5
D
A.0.95 B.3.2 C.0.7 D.3.56
[解析] 由题意得， ，
.故选D.
变式 [2024·广州高二期末] 随机变量 有3个不同的取值，且其分布列为
0 1
P
则 的值为____.
[解析] 依题意，的取值为0，1，且，，
则 的期望，
所以 的方差 .
［素养小结］
求离散型随机变量的方差的方法
（1）根据题目条件先求分布列；（2）由分布列求出均值，再由方差公式求方差.
当分布列中的概率值是待定常数时，应先由分布列的性质求出待定常数再求方差.
探究点二 方差的性质
例2 已知随机变量满足，则 ( )
C
A.6 B.8 C.18 D.20
[解析] ， .故选C.
变式（1） 已知随机变量满足， ，则下列说法
正确的是( )
D
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 根据方差和均值的性质可得，解得 ；
由,解得 .故选D.
（2）已知随机变量的分布列如下，则 的最大值为( )
1 2 3
C
A. B.3 C.6 D.5
[解析] 由分布列的性质，可得，解得 ，
所以，
则 .
因为,，所以,，则当时，取得最大值 ，
又，所以的最大值为 .故选C.
［素养小结］
关于方差性质的四点说明：
设为随机变量，, 为常数.
（1）当时, ,即常数的方差等于0.
（2）当时, ,即随机变量与常数之和的方差等
于这个随机变量的方差本身.
（3）当时, ,即随机变量与常数之积的方差,等
于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积.
（4）当,均为非零常数时,随机变量 的方差
.
探究点三 方差的实际应用
例3 某公司计划在2024年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择．
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，
也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和 .
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，可
能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，， ．
请你根据所学的知识，为投资公司选择一个项目进行投资，并说明理由.
解：设投资项目一、项目二分别获利万元、 万元，
则的可能取值有30，，且，，
的可能取值有50，，0，且，， ，
所以， ，
所以 .
，
，则 ，
所以投资项目一、项目二获得的利润的期望相等，但投资项目一更稳妥，因此
选择项目一进行投资较好.
变式 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量
也大致相同,而两个保护区内每个季度发生的违规事件次数的分布列分别为
甲保护区:
0 1 2 3
0.3 0.3 0.2 0.2
乙保护区:
0 1 2
0.1 0.5 0.4
试评定这两个保护区的管理水平.
解：甲保护区内每个季度发生违规事件次数 的均值
,
方差 .
乙保护区内每个季度发生违规事件次数 的均值
,
方差
因为, ,
所以两个保护区内每个季度发生的违规事件次数的均值相同,
但甲保护区发生的违规事件次数相对分散,乙保护区发生的违规事件次数相对集
中,故乙保护区的管理水平更高.
［素养小结］
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤:
（1）比较均值:离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,
因此,在实际决策问题中, 需先计算均值,看一下谁的平均水平高.
（2）在均值相等的情况下计算方差:方差反映了离散型随机变量取值的离散程
度.通过计算方差,分析一下谁的离散程度较低.
（3）下结论:依据均值和方差的意义得出结论.
1.对随机变量 的方差、标准差的五点说明
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的.
（2）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量 的取值的稳定性和波动、
集中与离散程度.
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更为广泛.
（4）越小,随机变量 的取值越稳定,波动越小.
（5）方差也可以用公式 计算.
2.离散型随机变量的方差与样本方差之间的关系
（1）区别:随机变量的方差是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本方差是一
个随机变量,它随样本抽取的不同而变化.
（2）联系:对于简单的随机样本,随着样本容量的增加,样本方差越来越接近于随
机变量（即总体）的方差.
3.均值、方差的实际应用中注意的问题
（1）利用均值和方差的意义可以分析、解决实际问题,一般先求问题中两个随
机变量的均值,但不要误认为均值相等时,两者都一样好,这时,还应看它们相对于
均值的偏离程度,稳定者就更好,如果我们希望比较稳定时,这时应先考虑方差,再
考虑均值是否相当接近即可.
（2）离散型随机变量的均值和方差的应用要根据题目要求合理回答,有时答案
是开放的,只要能自圆其说就行了.
例1 已知随机变量 的分布列如表所示：
0 1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.1 0.3
求随机变量 的均值和方差.
解：由随机变量的分布列，得，解得 ．
，
．
例2 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两
名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量， ，甲、乙两名射手
在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10环,9环,8环,7环的概率分别为
,，,，乙射中10环,9环,8环的概率分别为,, .
（1）求， 的分布列；
解：依题意，，解得
乙射中的环数大于6环，乙射中10环,9环,8环的概率分别为,,，
乙射中7环的概率为，
， 的分布列分别为
10 9 8 7
0.5 0.3 0.1 0.1
10 9 8 7
0.3 0.3 0.2 0.2
（2）求， 的数学期望与方差，以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人
参加奥运会.
解：由（1）可得 ，
，
说明甲平均射中的环数比乙高；
说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定.
甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会.

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