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§4　二项分布与超几何分布
4.1　二项分布
第1课时　二项分布
一、选择题
1.已知随机变量X服从二项分布B,则P(X=2)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.
2.[2024·北京西城区高二期末] 某一批种子的发芽率为,从中随机选择3颗种子进行播种,那么恰有2颗种子发芽的概率为 (　 )
A. B. C. D.
3.下列说法错误的是 (　 )
A.若一次试验中事件A发生的概率为p,X为n重伯努利试验中事件A发生的次数,则X~B(n,p)
B.在n重伯努利试验中,各次试验的结果相互没有影响
C.对于n重伯努利试验,各次试验中事件发生的概率可以不同
D.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n重伯努利试验中,这个事件恰好发生k次的概率P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n
4.设随机变量X~B(2,p),若P(X≥1)=,则p的值为 (　 )
A. B. C. D.
5.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则随机事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是 (　 )
A.[0.4,1) B.(0,0.4]
C.(0,0.6] D.[0.6,1)
6.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将3次遇到灰色障碍物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到灰色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是,则小球落入A袋中的概率为 (　 )
A. B. C. D.
7.(多选题)下列试验中不是n重伯努利试验的是 (　 )
A.从含有6个红球,4个白球的袋中,不放回地摸取5次,每次摸出一个球,观察摸到红球的个数
B.某同学连续投篮10次,前几次的命中率较低,之后的命中率越来越高
C.全班30名同学,每人投篮一次
D.在相同的条件下,甲射击10次
8.(多选题)某种产品在进入市场前每件必须进行两轮检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知该产品中的每件第一轮检测不合格的概率为,第二轮检测不合格的概率为,两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售,则每件产品获利40元;若产品不能销售,则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品,记一箱产品获利X元,则下列说法正确的是 (　 )
A.该产品中的每件能销售的概率为
B.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数,则ξ~B
C.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数,则P(ξ=3)=
D.P(X=-80)=
二、填空题
9.一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个球,记下颜色后放回,直到红球出现4次时停止取球,设停止时共取了X次球,则P(X=6)=　　　　　　.(填表达式即可)
10.[2024·浙江宁波九校高二联考] 现有一枚质地不均匀的硬币,若随机抛掷它两次均正面朝上的概率为,则随机抛掷它两次得到一次正面、一次反面朝上的概率为　　　　.
11.已知随机变量X~B(2,p),Y服从0-1分布,若P(X≥1)=0.64,P(Y=1)=p,则P(Y=0)的值为　　　　.
12.某单位组织知识竞赛,按照比赛规则,每位参赛者要回答5道题.假设在5道题中,甲答对每道题的概率都是,且每道题答对与否互不影响,则甲恰好答对其中两道题的概率为　　　　;若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对,则乙在答完前两道题时,这两道题都答对的概率为　　　　.
三、解答题
13.甲、乙两位同学进行三分投篮比赛,甲每次投中的概率为,乙每次投中的概率为,每人分别进行3次投篮.
(1)记甲投中的次数为ξ,求ξ的分布列;
(2)求乙至多投中2次的概率.
14.[2024·福建福州八中高二期末] 牛排主要分为菲力牛排、肉眼牛排、西冷牛排、T骨牛排,某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取100盒,利用牛排的分类标准得到的数据如下:
牛排种类 菲力牛排 肉眼牛排 西冷牛排 T骨牛排
数量/盒 20 30 20 30
(1)用分层随机抽样的方法从这100盒牛排中抽取10盒,再从抽取的10盒牛排中随机抽取4盒,求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率;
(2)将频率视为概率,用样本估计总体,从这批牛排中随机抽取3盒,若X表示抽到的菲力牛排的数量,求X的分布列.
15.如果随机变量X~B,那么P(X=k)取得最大值时,k=　　　　.
16.[2024·辽宁沈阳五校协作体联考] 某校组织数学知识竞赛活动,比赛共有4道必答题,答对一题得4分,答错一题扣2分.学生甲参加了这次活动,假设每道题甲能答对的概率都是,且各题答对与否互不影响.设甲答对的题数为Y,甲答完4道题后的总得分为X.
(1)试建立X关于Y的函数关系式,并求P(X<0);
(2)求X的分布列 .(共27张PPT)
§4 二项分布与超几何分布
4.1 二项分布
第1课时 二项分布
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.通过具体实例,了解伯努利试验.
2.掌握二项分布及其概率公式,并能解决简单的实际问题.
知识点一 重伯努利试验
1.伯努利试验的概念
只有____________________的试验叫作伯努利试验.
两个相互对立的结果
2. 重伯努利试验的定义及特征
（1）定义:一般地，在相同条件下重复做 次伯努利试验，且每次试验的结果
都不受其他试验结果的影响，称这样的次__________试验为 重伯努利试验.
独立重复
（2）特征:
①同一个伯努利试验重复做_____；
②各次试验的结果__________.
次
相互独立
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在伯努利试验中,关注的是事件是否发生,而在 重伯努利试验中,关注的是
事件 发生的次数.( )
√
（2） 重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果.( )
√
（3）进行重伯努利试验,各次试验中事件 发生的概率可以不同.( )
×
知识点二 二项分布
一般地,在重伯努利试验中，用表示这 次试验中成功的次数，且每次成功的
概率均为,则 的分布列可以表示为______________________________________
______.若一个随机变量的分布列如上所述,则称服从参数为, 的二项分布,简
记为___________.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两点分布是参数 时的二项分布.( )
√
（2）已知随机变量,则 .( )
×
探究点一 对二项分布的理解
例1 判断下列随机变量 是否服从二项分布，如果服从二项分布，请写出其参
数， 分别是什么.
（1）投掷一枚质地均匀的骰子5次， 为点数6出现的次数；
解：投掷一枚质地均匀的骰子5次， 为点数6出现的次数，满足独立重复试验的
条件，服从二项分布，且， .
（2）从装有除颜色外完全相同的5个红球和5个白球的袋中，有放回地随机摸球，
直到摸出白球为止， 为摸到白球时的摸球次数；
解：虽然是有放回地摸球，但是随机变量 是摸到白球时的摸球次数，也就是说
前面摸出的一定是红球，最后一次摸出的是白球，不符合二项分布的定义.
（3）命中率为0.6的射手甲对同一目标进行10次射击， 为甲命中目标的次数；
解：命中率为0.6的射手甲对同一目标进行10次射击， 为甲命中目标的次数，
满足独立重复试验的条件，服从二项分布，且， .
（4）100件产品中包含10件次品，有放回地随机抽取5次，每次抽取1个， 为抽
到次品的件数.
解：100件产品中包含10件次品，有放回地随机抽取5次，每次抽取1个， 为抽
到次品的件数，满足独立重复试验的条件，服从二项分布，且， .
变式 （多选题）下列随机变量 服从二项分布的是( )
ABD
A.将一枚质地均匀的硬币抛掷1次，正面向上的次数记为
B.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷3次，正面向上的次数记为
C.从7名男同学、3名女同学中选出5名优秀学生，选出的女生的人数记为
D.某运动员罚球2次，每次罚球的命中率都是，记罚球命中的次数为
[解析] 二项分布需满足如下条件：每次试验只有两种结果（事件要么发生，要
么不发生）；
次试验相互独立；每次试验中，事件发生的概率是一个常数；
随机变量是这 次独立重复试验中事件发生的次数.
很显然A，B，D都满足上述条件，C选项不满足次试验相互独立，
故C中的不服从二项分布．故选 ．
［素养小结］
判断随机变量 是否服从二项分布的方法：（1）要看试验是否在相同的条件下
可以重复进行；（2）每次试验是否相互独立，互不影响.
探究点二 重伯努利试验中事件发生的概率
例2 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷6次，求：
（1）恰好出现4次正面朝上的概率；
解：由题意知，抛掷一枚质地均匀的硬币，正、反面朝上的概率均为，
设 表示正面朝上的次数，则，，故 .
（2）正面朝上最多出现2次的概率；
解：由（1）可知，， ，
故 .
（3）至少出现一次正面朝上的概率．
解：至少出现一次正面朝上的概率为 ．
变式（1） 已知在每次比赛中,运动员胜运动员的概率都是 ,假设每次比赛
结果互不影响,则在五次比赛中运动员 恰有三次获胜的概率是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得，所求概率为 ，故选B.
（2）有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次，每次取1件，若 表示
取得次品的次数，则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为 .
从中取3次，为取得次品的次数，则, ,
,
故选D.
［素养小结］
（1） 重伯努利试验的关注点
判断时注意各次试验之间是相互独立的,并且每次试验的结果只有两种
（即要么发生,要么不发生）,在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等,然
后用相关公式求概率.
（2）利用二项分布求解“至多”“至少”“否定性”问题的概率时，一般转化为几个
互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率.
探究点三 二项分布的简单应用
例3 [2024·河北唐山乐亭高平中学高二期末] 某种植户对一块地上的
个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为 ，且每粒种子是
否发芽相互独立．如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否
则需要补种．
（1）求每个坑不需要补种的概率；
解：由题可知，每个坑需要补种的概率为 ，
则每个坑不需要补种的概率为 ．
（2）当时，用表示需要补种的坑的个数，求 的分布列．
解：易知的所有可能取值为0，1，2，3，4，且, ，
因此， ，
， ，
，
所以 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
变式 假设每次测量中，出现正误差与负误差的概率都是 ，且每次测量互不影
响，设3次测量中，出现正误差的次数为，写出 的分布列.
解：由题意得,，则 ，
， ，
,
故 的分布列为
X 0 1 2 3
P
［素养小结］
二项分布的实际应用问题的求解步骤：
（1）根据题意设出随机变量；
（2）分析随机变量是否服从二项分布；
（3）求出参数和 的值；
（4）根据二项分布的概率计算公式求解.
1.二项分布与两点分布的关系
（1）两点分布的试验次数只有一次,试验结果只有两种:事件发生 或不
发生;二项分布的前提是在重伯努利试验中,试验次数为 （每次试验的
结果也只有两种:事件发生或不发生）,试验结果有种:事件 恰好发生0次,1
次,2次, , 次.
（2）二项分布是两点分布的一般形式,两点分布是一种特殊的二项分布,即
的二项分布.
2.在重伯努利试验中,设事件发生的次数为,在每次试验中事件 发生的概率
均为,那么在重伯努利试验中,事件恰好发生 次的概率
,,1,2, , .
3.二项分布均值公式的直观解释:在一次试验中,试验成功的概率是,则在 重伯努
利试验中,试验成功的平均次数为 .
例1 判断下列试验是不是 重伯努利试验.
（1）依次投掷四枚均匀且质地不同的硬币，3次正面向上；
解：由于试验的条件不同（质地不同），因此不是 重伯努利试验；
（2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
解：某人射击且击中的概率是稳定的，因此是 重伯努利试验；
（3）口袋中装有除颜色外完全相同的5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中
抽取5个球，恰好抽出4个白球.
解：每次抽取，抽到白球的可能性不相等，因此不是 重伯努利试验.
例2 某人射击1次击中目标的概率为0.6.经过3次射击,此人恰有2次击中目标的
概率为______.
0.432
[解析] 本题符合独立重复试验，是二项分布问题，
所以此人恰有2次击中目标的概率为 .
例3 某批产品中有 的不合格品，进行有放回地重复抽样检查，共取5件样
品，其中不合格品件数为，试确定 的分布列.
解： 的可能取值为0,1,2,3,4,5，
抽取一件产品为不合格品的概率为 ，
则 ，
，
，
，
，
，
所以 的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
例4 已知甲、乙、丙三名同学同时解答一道试题,每人均有 的概率解答正确,且
三个人解答正确与否相互独立,在三人中至少有两人解答正确的条件下,甲解答不
正确的概率为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 记事件A表示“三人中至少有两人解答正确”,事件B表示“甲解答不正确”,
则, ,
所以 ,故选C.§4　二项分布与超几何分布
4.1　二项分布
第1课时　二项分布
【课前预习】
知识点一
1.两个相互对立的结果
2.(1)独立重复　(2)①n次　②相互独立
诊断分析 (1)√　(2)√　(3)×
知识点二
P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)　X~B(n,p)
诊断分析 (1)√　(2)×
【课中探究】
例1　解:(1)投掷一枚质地均匀的骰子5次,X为点数6出现的次数,满足独立重复试验的条件,X服从二项分布,且n=5,p=.
(2)虽然是有放回地摸球,但是随机变量X是摸到白球时的摸球次数,也就是说前面摸出的一定是红球,最后一次摸出的是白球,不符合二项分布的定义.
(3)命中率为0.6的射手甲对同一目标进行10次射击,X为甲命中目标的次数,满足独立重复试验的条件,X服从二项分布,且n=10,p=0.6.
(4)100件产品中包含10件次品,有放回地随机抽取5次,每次抽取1个,X为抽到次品的件数,满足独立重复试验的条件,X服从二项分布,且n=5,p=0.1.
变式　ABD　[解析] 二项分布需满足如下条件:每次试验只有两种结果(事件要么发生,要么不发生);n次试验相互独立;每次试验中,事件发生的概率是一个常数;随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.很显然A,B,D都满足上述条件,C选项不满足n次试验相互独立,故C中的X不服从二项分布.故选ABD.
例2　解:(1)由题意知,抛掷一枚质地均匀的硬币,正、反面朝上的概率均为,设X表示正面朝上的次数,则X~B,故P(X=4)=××=.
(2)由(1)可知,X~B,
故P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=++=.
(3)至少出现一次正面朝上的概率为1-=.
变式　(1)B　(2)D　[解析] (1)由题意可得,所求概率为××=,故选B.
(2)因为是有放回地取产品,所以每次取产品取到次品的概率为=.从中取3次,X为取得次品的次数,则X~B,P(X≤2)=P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)=××+××+×=,故选D.
例3　解:(1)由题可知,每个坑需要补种的概率为×+××=,
则每个坑不需要补种的概率为1-=.
(2)易知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,且X~B,
因此P(X=0)=×=,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)=××=,P(X=4)=×=,所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
变式　解:由题意得X~B,则P(X=0)=×=,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)=×=,故X的分布列为
X 0 1 2 3
P§4　二项分布与超几何分布
4.1　二项分布
第1课时　二项分布
1.C　[解析] P(X=2)=××=.故选C.
2.C　[解析] 由题意可知,种子发芽的颗数X~B,所以恰好有2颗种子发芽的概率为××=,故选C.
3.C　[解析] 一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验为n重伯努利试验,在n重伯努利试验中,各次试验的结果相互之间没有影响,各次试验中事件发生的概率相同,故B中说法正确,C中说法错误;由二项分布的定义可知,A中说法正确,D中说法正确.故选C.
4.A　[解析] ∵X~B(2,p),∴P(X=0)=(1-p)2,∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=,解得p=或p=(舍去),故选A.
5.A　[解析] 由题知,随机事件A发生的次数服从二项分布,则p(1-p)3≤p2(1-p)2,解得p≥0.4,又06.C　[解析] 当小球3次遇到灰色障碍物时,若有1次向左和2次向右下落或2次向左和1次向右下落,则小球将落入A袋,所以所求概率为××+××=.故选C.
7.ABC　[解析] 对于A,每次摸到红球的概率不相等,不是n重伯努利试验;对于B,该同学每次的命中率不相等,不是n重伯努利试验;对于C,全班每名同学投篮的命中率不相等,不是n重伯努利试验;对于D,在相同的条件下,甲射击10次,每次的命中率都相等,是n重伯努利试验.故选ABC.
8.ABD　[解析] 对于选项A,该产品中的每件能销售的概率为×=,故选项A正确;对于选项B,由选项A可得每件产品能销售的概率均为,一箱中有4件产品,则ξ~B,故选项B正确;对于选项C,由题意得P(ξ=3)=××=,故选项C不正确;对于选项D,由题意知,当X=-80时,4件产品中有2件能销售,有2件不能销售,所以P(X=-80)=××=,故选项D正确.故选ABD.
9.　[解析] 由题意可知,每次取球时取到白球的概率为,取到红球的概率为.在第4次取到红球时,若共取了6次球,则最后一次取到红球且在前5次中有3次取到红球,故P(X=6)=.
10.-1 　[解析] 设抛掷这枚硬币一次,正面朝上的概率为p,则反面朝上的概率为1-p,则抛掷它两次均正面朝上的概率为p2=,可得p=,所以随机抛掷它两次得到一次正面、一次反面朝上的概率为p(1-p)=2××=-1.
11.0.6　[解析] P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=p(1-p)+p2=0.64,解得p=0.4或p=1.6(舍去),则P(Y=0)=1-P(Y=1)=1-p=1-0.4=0.6.
12.　　[解析] 设甲能够答对X道题,则X~B,所以P(X=2)==.若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对,则乙在答完前两道题时,这两道题都答对的概率为=.
13.解:(1)ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ=0)=×=,P(ξ=1)=××=,P(ξ=2)=××=,P(ξ=3)=×=,则ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
(2)“乙至多投中2次”的对立事件为“乙3次全部投中”,则乙至多投中2次的概率为1-×=.
14.解:(1)用分层随机抽样的方法从这100盒牛排中抽取10盒,则抽到的T骨牛排有3盒,非T骨牛排有7盒,再从中随机抽取4盒,则恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率为==.
(2)这100盒牛排中菲力牛排有20盒,所以从中随机抽取1盒,抽到菲力牛排的频率为=,
将此频率视为概率,则从这批牛排中随机抽取3盒,抽到的菲力牛排的数量X~B,
则P(X=0)=××=,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)=××=.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
15.10　[解析] 因为X~B,所以P(X=k)==·,由组合数的性质可知当k=10时,最大,此时P(X=k)取得最大值.
16.解:(1)由题意得,X=4Y-2(4-Y)=6Y-8,由X=6Y-8<0,得Y<,所以Y的可能取值为0,1,因为Y~B,所以P(X<0)=P(Y=0)+P(Y=1)=+××=.
(2)由题意得,Y~B.
结合(1)可得X,Y的对应值如表所示:
Y 0 1 2 3 4
X -8 -2 4 10 16
于是,P(X=-8)=P(Y=0)==,
P(X=-2)=P(Y=1)=××=,
P(X=4)=P(Y=2)=××=,
P(X=10)=P(Y=3)=××=,
P(X=16)=P(Y=4)==.
所以X的分布列为
X -8 -2 4 10 16
P§4　二项分布与超几何分布
4.1　二项分布
第1课时　二项分布
【学习目标】
　　1.通过具体实例,了解伯努利试验.
　　2.掌握二项分布及其概率公式,并能解决简单的实际问题.
◆ 知识点一　n重伯努利试验
1.伯努利试验的概念
只有　　　　　　　　　的试验叫作伯努利试验.
2.n重伯努利试验的定义及特征
(1)定义:一般地,在相同条件下重复做n次伯努利试验,且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响,称这样的n次　　　　　　试验为n重伯努利试验.
(2)特征:
①同一个伯努利试验重复做　　　　;
②各次试验的结果　　　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在伯努利试验中,关注的是事件A是否发生,而在n重伯努利试验中,关注的是事件A发生的次数. (　 )
(2)n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果. (　 )
(3)进行n重伯努利试验,各次试验中事件A发生的概率可以不同. (　 )
◆ 知识点二　二项分布
一般地,在n重伯努利试验中,用X表示这n次试验中成功的次数,且每次成功的概率均为p,则X的分布列可以表示为　　　　　　　　　　　　　　.若一个随机变量X的分布列如上所述,则称X服从参数为n,p的二项分布,简记为　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两点分布是参数n=1时的二项分布. (　 )
(2)已知随机变量X~B,则P(X=2)=. (　 )
◆ 探究点一　对二项分布的理解
例1 判断下列随机变量X是否服从二项分布,如果服从二项分布,请写出其参数n,p分别是什么.
(1)投掷一枚质地均匀的骰子5次,X为点数6出现的次数;
(2)从装有除颜色外完全相同的5个红球和5个白球的袋中,有放回地随机摸球,直到摸出白球为止,X为摸到白球时的摸球次数;
(3)命中率为0.6的射手甲对同一目标进行10次射击,X为甲命中目标的次数;
(4)100件产品中包含10件次品,有放回地随机抽取5次,每次抽取1个,X为抽到次品的件数.
变式 (多选题)下列随机变量X服从二项分布的是 (　 )
A.将一枚质地均匀的硬币抛掷1次,正面向上的次数记为X
B.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷3次,正面向上的次数记为X
C.从7名男同学、3名女同学中选出5名优秀学生,选出的女生的人数记为X
D.某运动员罚球2次,每次罚球的命中率都是0.6,记罚球命中的次数为X
[素养小结]
判断随机变量X是否服从二项分布的方法:(1)要看试验是否在相同的条件下可以重复进行;(2)每次试验是否相互独立,互不影响.
◆ 探究点二　n重伯努利试验中事件发生的概率
例2 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷6次,求:
(1)恰好出现4次正面朝上的概率;
(2)正面朝上最多出现2次的概率;
(3)至少出现一次正面朝上的概率.
变式 (1)已知在每次比赛中,运动员A胜运动员B的概率都是,假设每次比赛结果互不影响,则在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
(2)有8件产品,其中4件是次品,从中有放回地取3次,每次取1件,若X表示取得次品的次数,则P(X≤2)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.
[素养小结]
(1)n重伯努利试验的关注点
判断时注意各次试验之间是相互独立的,并且每次试验的结果只有两种(即要么发生,要么不发生),在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等,然后用相关公式求概率.
(2)利用二项分布求解“至多”“至少”“否定性”问题的概率时,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件求概率.
◆ 探究点三　二项分布的简单应用
例3 [2024·河北唐山乐亭高平中学高二期末] 某种植户对一块地上的n(n∈N*)个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为,且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽,则不需要进行补种,否则需要补种.
(1)求每个坑不需要补种的概率;
(2)当n=4时,用X表示需要补种的坑的个数,求X的分布列.
变式 假设每次测量中,出现正误差与负误差的概率都是,且每次测量互不影响,设3次测量中,出现正误差的次数为X,写出X的分布列.
[素养小结]
二项分布的实际应用问题的求解步骤:
(1)根据题意设出随机变量;
(2)分析随机变量是否服从二项分布;
(3)求出参数n和p的值;
(4)根据二项分布的概率计算公式求解.

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